Exercicis: Successions de nombres reals

Observa les llistes ordenades de nombres següents. La teva tasca és identificar la regla lògica que segueix cadascuna i escriure els tres termes que continuen la sèrie:

• a) $2, 4, 6, 8, \dots$

• b) $1, 4, 9, 16, \dots$

• c) $10, 7, 4, 1, \dots$

• d) $3, 6, 12, 24, \dots$

En matemàtiques, utilitzem fórmules per definir el valor de qualsevol posició en una successió sense haver d'escriure tota la llista. Això s'anomena terme general ($a_n$).

Calcula els quatre primers termes ($a_1, a_2, a_3, a_4$) i el terme que ocupa la posició 10 ($a_{10}$) per a les successions següents definides pel seu terme general:

• a) $a_n = 3n + 1$

• b) $b_n = n^2 - 2$

Les successions moltes vegades sorgeixen de patrons geomètrics. Observa la imatge següent que mostra com creix un triangle format per punts.

Compta el nombre de punts de cada figura per formar una successió numèrica.

1. Escriu els primers 4 termes d'aquesta successió.

2. Quants punts tindrà la figura 5?

3. Sense dibuixar, podries dir quants punts s'afegeixen per passar de la figura 4 a la figura 5?

Imagina que estàs entrenant per a una cursa de fons. El teu entrenador anota els quilòmetres que corres cada setmana per portar un control del teu progrés. La llista de les últimes 6 setmanes és la següent:

Considerant aquesta llista com una successió numèrica ($a_n$):

1. Quin és el valor del terme $a_1$? Què representa en el context de l'entrenament?

2. Quin és el valor del terme $a_4$?

3. Si segueixes el mateix ritme d'increment, quants quilòmetres correràs la setmana 7 ($a_7$)?

Relaciona a la teva llibreta cadascuna de les successions següents amb el seu terme general correcte. Tingues en compte que $n$ representa la posició (1, 2, 3...).

Successions:

• A: $2, 4, 6, 8, \dots$

• B: $1, 3, 5, 7, \dots$

• C: $5, 10, 15, 20, \dots$

• D: $1, 4, 9, 16, \dots$

Termes generals:

• 1: $a_n = 2n - 1$

• 2: $a_n = n^2$

• 3: $a_n = 2n$

• 4: $a_n = 5n$

A vegades, per saber el valor d'un terme, necessitem conèixer l'anterior. Això s'anomena llei de recurrència.

Donada una successió on el primer terme és $a_1 = 5$ i la regla per obtenir els següents és:

(Això significa: "el terme actual és igual al terme anterior més 3").

Calcula els termes $a_2, a_3, a_4$ i $a_5$.

Un "streamer" de videojocs decideix començar a estalviar per comprar un equip nou.

El primer mes estalvia 50 €, el segon mes estalvia 100 €, el tercer mes estalvia 200 € i el quart mes estalvia 400 €.

1. Escriu la successió formada pels diners estalviats cada mes.

2. Observes alguna regularitat? Quina operació fas per passar d'un mes al següent?

3. Calcula quant estalviarà el mes 5 i el mes 6 si manté aquesta tendència.

No totes les successions estan formades per nombres enters (com ara 1, 2, 3...). També poden tenir fraccions o nombres decimals. Observa la successió de nombres reals següent:

1. Escriu els tres termes següents.

2. Quin creus que és el terme general $a_n$? Tria l'opció correcta:

   • Opció A: $a_n = \frac{1}{n}$

   • Opció B: $a_n = \frac{1}{n+1}$

   • Opció C: $a_n = n + 1$

La Marta vol esbrinar si el número 39 forma part de la successió que té com a terme general $a_n = 5n - 6$. Al seu examen escriu el següent:

«Per comprovar-ho, calculo $a_{39} = 5 \cdot 39 - 6 = 195 - 6 = 189$. Com que l'operació dóna un resultat exacte, concloc que el número 39 sí que pertany a la successió i ocupa la posició 189».

1) Identifica i explica detalladament l'error conceptual que ha comès la Marta en confondre l'índex de posició $n$ amb el valor del terme $a_n$.

2) Planteja i resol l'equació adequada per determinar si el número 39 pertany realment a la successió, indicant quina posició ocupa si la resposta és afirmativa.

3) Raona si el número 50 pertany o no a aquesta mateixa successió tenint en compte quin tipus de nombres han de ser obligatòriament els índexs de posició $n$.

Dissenya el terme general $a_n$ d'una successió de nombres reals que compleixi simultàniament aquestes tres condicions:

1. El seu primer terme és una fracció concreta: $a_1 = \frac{1}{2}$.

2. Tots els termes són estrictament positius i cada terme és menor que l'anterior (és a dir, $a_1 > a_2 > a_3 > \dots > 0$).

3. A mesura que la posició $n$ es fa molt gran, els termes s'aproximen cada cop més a 0, però sense arribar mai a ser zero ni a prendre valors negatius.

Escriu l'expressió algebraica del teu terme general $a_n$, comprova que compleix les condicions calculant de forma explícita els termes $a_1, a_2, a_3$ i $a_4$, i justifica breument per què cap terme de la teva fórmula no podrà ser mai igual a 0.

Donada la successió el terme general de la qual ve donat per l'expressió algebraica $a_n = \frac{n^2 - 1}{n + 1}$, calcula els quatre primers termes i el terme que ocupa la posició 15. Observes alguna curiositat en simplificar l'expressió algebraica inicial?

A continuació es presenten diverses seqüències numèriques que segueixen un patró lògic. La teva tasca consisteix a identificar la regla de formació i escriure els tres termes següents per a cadascuna:

• a) $4, \ 7, \ 10, \ 13, \ ...$

• b) $3, \ -6, \ 12, \ -24, \ ...$

• c) $1, \ 4, \ 9, \ 16, \ 25, \ ...$

• d) $\frac{1}{2}, \ \frac{2}{3}, \ \frac{3}{4}, \ \frac{4}{5}, \ ...$

Observa la construcció geomètrica següent formada per llumins.

1. Dibuixa a la teva llibreta la Figura 4 seguint la mateixa lògica de construcció.

2. Escriu la successió numèrica que representa el nombre total de llumins necessaris per construir cada figura ($a_1, a_2, a_3, a_4$).

3. Descriu amb les teves pròpies paraules com augmenta el nombre de llumins en passar d'una figura a la següent.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una successió es defineix per una llei de recurrència quan els seus termes s'obtenen operant amb els anteriors. Considera la successió definida de la manera següent:

• El primer terme és $a_1 = 2$.

• El segon terme és $a_2 = 3$.

• Qualsevol terme següent es calcula multiplicant els dos termes immediatament anteriors: $a_n = a_{n-1} \cdot a_{n-2}$.

Calcula els termes $a_3, a_4, a_5$ i $a_6$. Creus que aquesta successió creix de pressa o a poc a poc?

En un supermercat, un empleat està apilant llaunes de conserva formant una estructura triangular per a una promoció.

• A la fila superior (fila 1) hi col·loca 1 llauna.

• A la fila immediatament inferior (fila 2) hi col·loca 3 llaunes.

• A la fila 3 hi col·loca 5 llaunes.

• A la fila 4 hi col·loca 7 llaunes.

Escriu la successió que representa el nombre de llaunes per fila i troba una fórmula general ($a_n$) que ens permeti saber quantes llaunes hi haurà a la fila $n$ sense haver de comptar-les una per una.

Troba el terme general ($a_n$) de les successions següents. Tingues en compte que algunes poden ser aritmètriques, geomètriques o de quadrats perfectes:

• a) $5, \ 10, \ 15, \ 20, \ ...$

• b) $3, \ 6, \ 12, \ 24, \ ...$

• c) $\frac{1}{2}, \ \frac{1}{4}, \ \frac{1}{8}, \ \frac{1}{16}, \ ...$

• d) $1, \ 8, \ 27, \ 64, \ ...$

María està entrenant per a una marató. El primer dia corre durant 15 minuts. El seu entrenador li ha preparat un pla en què cada dia ha de córrer 4 minuts més que el dia anterior.

1. Escriu la successió que representa els minuts que corre María durant els primers 5 dies.

2. Si manté aquest pla d'entrenament, quants minuts haurà de córrer el dia número 20? Utilitza el terme general per calcular-ho.

Tenim una successió el terme general de la qual és $b_n = n^2 - 3n + 2$.

1. Calcula els 5 primers termes.

2. Existeix algun terme de la successió que valgui 0? Si és així, quina posició o quines posicions ocupa? Justifica la teva resposta resolent l'equació corresponent.

En una ciutat espanyola, el servei municipal de lloguer de bicicletes elèctriques aplica la tarifa següent per a usuaris no abonats: en desenganxar la bicicleta es cobra una tarifa base de $0,70$ €, que cobreix els primers 15 minuts de trajecte. A partir d'aquí, per cada nou tram de 15 minuts (o fracció) que comenci, s'afegeixen $0,40$ € al cost total.

Definim la successió $C_n$ com l'import total en euros a pagar per un trajecte que dura $n$ trams de 15 minuts (on $n = 1$ correspon a un viatge de fins a 15 minuts, $n = 2$ a un viatge d'entre 16 i 30 minuts, etc.).

1) Escriu els quatre primers termes de la successió: $C_1, C_2, C_3$ i $C_4$.

2) Dedueix l'expressió algebraica del terme general $C_n$ en funció del nombre de trams $n$.

3) Un usuari revisa l'extracte bancari de l'aplicació i veu que li han cobrat exactament $3,50$ € per un únic viatge. Planteja l'equació corresponent amb el terme general, troba el valor de $n$ i interpreta el resultat indicant entre quins minuts va estar compresa la durada del seu desplaçament.

Es defineix una successió de nombres reals mitjançant la llei de recurrència següent: el seu primer terme és $a_1 = 3$ i cada terme següent s'obté multiplicant l'anterior per 2 i restant-ne 1, és a dir, $a_n = 2 \cdot a_{n-1} - 1$ per a tot $n \ge 2$.

1) Estima: Sense fer càlculs llargs sobre el paper, estima de manera intuïtiva si el desè terme ($a_{10}$) superarà el valor de $1\,000$. Justifica breument en què et bases per a la teva predicció.

2) Calcula: Obtén de manera ordenada els cinc primers termes de la successió ($a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$) aplicant pas a pas la llei de recurrència.

3) Dedueix i comprova: Compara els valors obtinguts amb les potències de dos ($2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32, \dots$). Dedueix una fórmula directa per al terme general $a_n$ en funció de $n$, calcula amb aquesta fórmula el valor exacte de $a_{10}$ i valora si la teva estimació inicial ha estat encertada.

Observa la construcció de figures geomètriques següent formada per petits quadrats.

• La Figura 1 és un sol quadrat central.

• La Figura 2 es forma afegint un quadrat a cada costat lliure de la figura anterior (a dalt, a baix, a l'esquerra, a la dreta).

• La Figura 3 segueix el mateix patró, afegint quadrats només als costats exteriors lliures de la figura anterior.

Es demana:

1. Dibuixa a la teva llibreta la Figura 4.

2. Escriu la successió formada pel nombre total de quadrats de les 5 primeres figures.

3. Raona i troba una expressió algebraica per al terme general $a_n$ que permeti calcular el nombre de quadrats de la figura que ocupa la posició $n$.

4. Calcula quants quadrats tindria la Figura 20 sense necessitat de dibuixar-la.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estudia les successions de nombres reals següents. Has d'identificar el patró lògic de construcció i trobar el terme general $a_n$ en funció de $n$ per a cadascuna d'elles.

• Successió A: $0, \frac{3}{2}, \frac{8}{3}, \frac{15}{4}, \frac{24}{5}, \dots$

• Successió B: $-2, 4, -8, 16, -32, \dots$

• Successió C: $2, 5, 10, 17, 26, \dots$

En informàtica i disseny d'algorismes és comú trobar-se amb la successió de Collatz, també coneguda com la conjectura $3n+1$. Encara que sembla senzilla, és un dels problemes oberts més famosos de les matemàtiques.

La regla de formació és recurrent. Donat un nombre natural inicial $a_1$, els termes següents s'obtenen així:

• Si el terme anterior $a_{n-1}$ és parell, el següent és la meitat: $a_n = \frac{a_{n-1}}{2}$.

• Si el terme anterior $a_{n-1}$ és senar, el següent s'obté multiplicant per 3 i sumant 1: $a_n = 3 \cdot a_{n-1} + 1$.

• Escriu la successió completa començant per $a_1 = 13$ fins que arribis al nombre 1.

• Quants termes té la successió generada (longitud de l'òrbita) fins a assolir l'1 per primera vegada?

• Comprova què passa si continues aplicant la regla un cop has arribat a l'1. Descriu el cicle que es forma.

Tenim un polígon regular de $n$ costats. Volem estudiar la successió formada pel nombre total de diagonals que té aquest polígon a mesura que augmenta el seu nombre de costats.

• $a_3$ (triangle, 3 costats): 0 diagonals.

• $a_4$ (quadrat, 4 costats): 2 diagonals.

• $a_5$ (pentàgon, 5 costats): 5 diagonals.

• Dibuixa un hexàgon regular ($n=6$) i traça totes les seves diagonals. Quin és el valor de $a_6$?

• Observa que per passar de $a_3$ a $a_4$ sumem 2; de $a_4$ a $a_5$ sumem 3; de $a_5$ a $a_6$ sumem 4. Seguint aquest patró de creixement, calcula quantes diagonals tindrà un decàgon ($n=10$).

• El terme general d'aquesta successió ve donat per la fórmula quadràtica $a_n = \frac{n(n-3)}{2}$. Utilitza aquesta fórmula per comprovar el teu resultat de l'apartat anterior.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Considera la successió definida per la llei de recurrència següent:

Aquesta és la famosa successió de Fibonacci.

1. Calcula els 10 primers termes de la successió.

2. Estudiarem el comportament del quocient (divisió) entre dos termes consecutius. Calcula els valors següents amb 4 xifres decimals:

   • $\frac{a_2}{a_1}$

   • $\frac{a_3}{a_2}$

   • $\frac{a_6}{a_5}$

   • $\frac{a_{10}}{a_9}$

3. Observes que els resultats s'acosten a un nombre concret? Investiga quin nombre irracional famós s'aproxima en dividir termes consecutius d'aquesta successió quan $n$ és molt gran.

Imagina un videojoc de plataformes en 2D. El personatge es troba al peu d'una escala de $n$ esglaons.

El personatge té dues maneres de pujar:

• Pujar 1 esglaó d'un salt.

• Pujar 2 esglaons d'un supersalt.

Volem saber de quantes maneres diferents ($F_n$) pot arribar al capdamunt de l'escala.

• Si hi ha 1 esglaó ($n=1$): Només hi ha 1 manera (salt de 1). $F_1 = 1$.

• Si hi ha 2 esglaons ($n=2$): Pot fer (1+1) o (2). Hi ha 2 maneres. $F_2 = 2$.

• Si hi ha 3 esglaons ($n=3$): Pot fer (1+1+1), (1+2) o (2+1). Hi ha 3 maneres. $F_3 = 3$.

• Calcula de quantes maneres diferents pot pujar una escala de 4 esglaons ($F_4$) i de 5 esglaons ($F_5$). Descriu-les (per exemple: 1+2+1+1).

• Troba la relació que hi ha entre $F_n$, $F_{n-1}$ i $F_{n-2}$.

• Si l'escala tingués 10 esglaons, de quantes maneres diferents la podria pujar?

Es defineix el triangle de Sierpinski mitjançant un procés iteratiu (que es repeteix) d'eliminació d'àrees.

Partim d'un triangle equilàter negre d'àrea $A = 64 \text{ cm}^2$ (Iteració 0).

• Iteració 1: Unim els punts mitjans dels costats i retallem el triangle central invertit (aquest triangle blanc s'elimina). Ens queden 3 triangles negres més petits.

• Iteració 2: Repetim el procés amb cadascun dels 3 triangles negres restants.

Es demana:

1. Escriu la successió $T_n$ que representa el nombre de triangles negres a cada pas (pas 0, pas 1, pas 2, pas 3). Quin tipus de successió és?

2. Escriu la successió $S_n$ que representa l'àrea negra total que queda a la figura a cada pas.

3. Calcula quina àrea negra quedarà a la figura després de realitzar la iteració número 5.

Observa la següent successió de nombres periòdics:

Tot i que sembla que simplement "s'afegeixen uns", analitzarem el seu valor fraccionari.

1. Escriu els tres primers termes de la successió en forma de fracció irreductible.

2. Troba el terme general $a_n$ expressat com a fracció.

3. Calcula la suma dels dos primers termes $a_1 + a_2$ i expressa el resultat com a fracció.

4. Investiga i raona: Varia el terme $a_n$ quan $n$ és un nombre molt gran (per exemple, amb 100 uns) o es manté constant? Justifica la teva resposta.

Per calcular el terme que ocupa la posició número 80 ($a_{80}$) a la successió que comença per $5, 11, 17, 23, 29, \dots$, dos estudiants de 3r d'ESO proposen camins diferents:

• Mètode A (Hugo): Defineix la successió mitjançant una llei de recurrència: $a_1 = 5$ i $a_n = a_{n-1} + 6$, i proposa utilitzar un full de càlcul o calcular a mà successivament cada terme fins a arribar al lloc 80.

• Mètode B (Lucía): Cerca una expressió algebraica directa per al terme general $a_n$ en funció de la posició $n$, i calcula $a_{80}$ substituint directament $n = 80$.

1) Aplica el mètode de la Lucía: dedueix raonadament la fórmula del terme general $a_n$ a partir de la regularitat dels termes donats i calcula el valor exacte de $a_{80}$.

2) Compara críticament tots dos mètodes: en quina situació pràctica seria preferible o més intuïtiu utilitzar el mètode de l'Hugo, i per què per respondre a la pregunta plantejada el mètode de la Lucía és significativament més avantatjós?

3) Analitza la successió de Fibonacci ($1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$). Explica per què a 3r d'ESO no resulta viable utilitzar el mètode de la Lucía amb aquesta successió i resulta indispensable recórrer a la llei de recurrència.

Un laboratori biomèdic a Granada analitza la proliferació d'un cultiu cel·lular disposat en una placa amb una estructura geomètrica concèntrica:

• En l'etapa inicial ($n = 1$) hi ha una única cèl·lula central ($c_1 = 1$).

• En l'etapa $n = 2$, al voltant de la cèl·lula central es forma un primer anell amb 8 cèl·lules noves ($c_2 = 8$).

• En l'etapa $n = 3$, el següent anell exterior requereix 16 cèl·lules noves ($c_3 = 16$).

• En l'etapa $n = 4$, el següent anell exterior necessita 24 cèl·lules noves ($c_4 = 24$).

Sigui $c_n$ la successió que indica el nombre de cèl·lules noves afegides exclusivament a l'anell exterior de l'etapa $n$ (per a $n \ge 2$).

1) Escriu la llei de recurrència que relaciona $c_n$ amb $c_{n-1}$ per a $n \ge 3$, i troba l'expressió algebraica directa del terme general $c_n$ en funció de $n$ vàlida per a tot $n \ge 2$.

2) Problema invers: El microscopi del laboratori només permet observar amb nitidesa un anell exterior si aquest té com a màxim 200 cèl·lules. Planteja la inequació corresponent i calcula quina és l'etapa $n$ més avançada que es pot observar de manera completa i quantes cèl·lules exactes tindrà aquest anell exterior.

3) Demostració algebraica: Un investigador conjectura que la suma de cèl·lules noves de dos anells exteriors consecutius qualssevol, $c_n + c_{n+1}$ (amb $n \ge 2$), és sempre un múltiple de 8 però mai no pot ser un múltiple de 16. Demostra algebraicament si l'afirmació de l'investigador és vertadera o falsa analitzant l'expressió resultant d'aquesta suma.

Repte del tema. Fins on arriba un rebot? Modela la física de la teva pilota preferida aplicant successions de nombres reals.

1. Presa de dades: Deixa caure una pilota des de $100\text{ cm}$ d'alçària al costat d'una paret marcada amb una cinta mètrica. Grava-ho a càmera lenta amb el teu mòbil i anota l'alçària màxima assolida en els primers 4 rebots ($a_1, a_2, a_3, a_4$).

2. Modelització: En un full de càlcul o GeoGebra, registra les teves dades i calcula els quocients entre termes consecutius ($a_{n}/a_{n-1}$) per obtenir la raó mitjana $r$ (fes servir decimals amb coma, com ara $0,75$). Escriu el terme general de la teva progressió: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.

3. Anàlisi i predicció: Prediu l'alçària del vuitè rebot i calcula la suma infinita de les alçàries $S = \frac{a_1}{1-r}$ i, a partir d'ella, la distància vertical teòrica total recorreguda en els rebots, $2S$ (cada rebot és una pujada i una baixada).

4. Informe final: Elabora un document breu amb la teva taula, gràfica de la successió i una conclusió raonada: per què la pilota s'atura a la pràctica abans del que prediu el model matemàtic?

Es valorarà:

• Rigor en l'obtenció de la raó $r$, la fórmula del terme general i la suma.

• Ús correcte del full de càlcul o GeoGebra per tabular i graficar la successió.

• Justificació crítica de les diferències entre el model teòric i la realitat física.