Exercicis: Volum d'un cos geomètric

Un paquet que conté un teclat "gamer" té forma d'ortoedre. Les seves dimensions són $45\text{ cm}$ de llargària, $15\text{ cm}$ d'amplària i $5\text{ cm}$ d'altura. Calcula el volum d'aire que ocupa la caixa en centímetres cúbics.

Una llauna de refresc cilíndrica té un diàmetre de $6\text{ cm}$ i una altura de $12\text{ cm}$. Calcula el seu volum utilitzant el valor de $\pi \approx 3,14$.

Una piràmide de vidre decorativa té una base quadrada de $8\text{ cm}$ de costat i una altura de $10\text{ cm}$. Calcula el volum de vidre necessari per fabricar-la.

El professor d'educació física guarda les pilotes d'handbol en una caixa. Si cada pilota té un radi de $9\text{ cm}$, calcula el volum d'una d'elles errodonent a dos decimals. (Utilitza $\pi \approx 3,14$).

Un cucurutxo de gelat té forma de cone. El radi de la base és de $3\text{ cm}$ i la seva altura és de $12\text{ cm}$. Calcula quants centímetres cúbics de gelat hi caben a l'interior (sense que sobresorti res per dalt).

Calcula el volum d'un prisma la base del qual és un triangle rectangle de catets $6\text{ cm}$ i $8\text{ cm}$, sabent que l'altura del prisma és de $15\text{ cm}$.

Un aquari té forma d'ortoedre amb les mides següents: $60\text{ cm}$ de llargària, $30\text{ cm}$ d'amplària i $40\text{ cm}$ d'alçària. Calcula quants litres d'aigua caben a l'aquari si s'omple per complet. (Recorda que $1\text{ dm}^3 = 1\text{ litre}$).

Un tros de formatge té forma de cilindre amb un radi de $10\text{ cm}$ i una altura de $8\text{ cm}$. Si metem el formatge exactament per la meitat verticalment, quin serà el volum de cadascuna de les dues parts resultants? (Utilitza $\pi \approx 3,14$).

En Marcos vol calcular la capacitat en litres d'un termo cilíndric que utilitza per portar aigua a l'institut. Amb un regle en mesura l'exterior i obté $8\text{ cm}$ de diàmetre i $20\text{ cm}$ d'alçària. Al seu quadern escriu:

$V = \pi \cdot 8^2 \cdot 20 \approx 3,14 \cdot 64 \cdot 20 = 4\,019,2\text{ cm}^3 \approx 40,2\text{ L}$

i conclou que al termo hi caben una mica més de $40\text{ litres}$ d'aigua. Identifica els dos errors comesos per en Marcos (un de geomètric i un altre de conversió d'unitats), explica amb claredat per què són incorrectes i calcula la capacitat real aproximada del termo en litres arrodonint a dues xifres decimals.

Al poliesportiu del teu barri inflaran una pilota gegant de gimnàstica (esfèrica) que té un diàmetre de $60\text{ cm}$. Abans de posar-te a calcular amb decimals:

1. a) Estima raonadament una cota superior per a la seva capacitat: si la pilota estigués encaixada exactament dins d'una caixa cúbica de $60\text{ cm}$ d'aresta, quants litres d'aire contindria aquesta caixa? A partir d'aquesta cota, raona si et sembla possible que la pilota superi els $150\text{ L}$.
2. b) Calcula ara el volum exacte de la pilota en decímetres cúbics (litres), prenent $\pi \approx 3,14$.
3. c) Compara el valor obtingut amb la teva estimació prèvia i comprova si la teva intuïció era correcta justificant la relació geomètrica entre l'esfera i el cub.

L'ajuntament d'una ciutat ha instal·lat jardineres de ciment amb forma de prisma hexagonal regular. Si cada costat de l'hexàgon de la base mesura $30 \text{ cm}$ i l'altura de la jardinera és de $60 \text{ cm}$, calcula el volum de terra (en litres) necessari per omplir-la per complet.

(Dada: recorda que primer has de trobar l'apotema de la base utilitzant el teorema de Pitàgores).

Un terme per a cafè té forma cilíndrica. El radi de la base mesura $4 \text{ cm}$ i l'altura total és de $25 \text{ cm}$. Si el terme està ple fins al $80 \%$ de la seva capacitat, quants gots de $150 \text{ ml}$ es poden omplir completament?

(Pren $\pi \approx 3,14$ i recorda que $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ litre}$).

Una piràmide de vidre per a decoració té una base quadrada de $12 \text{ cm}$ de costat. Si l'aresta lateral (el segment que uneix el vèrtex superior amb un vèrtex de la base) mesura $10 \text{ cm}$, calcula el volum de vidre que conté la peça.

(Nota: hauràs d'aplicar el teorema de Pitàgores dues vegades: primer per trobar la diagonal de la base i després per trobar l'altura de la piràmide).

Es vol fabricar un gelat amb forma de cone la generatriu del qual mesura $15 \text{ cm}$ i el radi de la seva base és de $6 \text{ cm}$. Calcula el volum de gelat que hi cap a l'interior del cone. Si en servir-lo s'hi afegeix una semiesfera perfecta de gelat sobre la base (del mateix radi), quin serà el volum total del gelat?

Un dipòsit d'aigua té forma de tronc de cone. El radi de la base major és de $3 \text{ m}$, el radi de la base menor és de $1,5 \text{ m}$ i l'altura del dipòsit és de $4 \text{ m}$. Calcula la capacitat del dipòsit en metres cúbics.

(Suggeriment: pots fer servir la fórmula del volum del tronc de cone o veure'l com la diferència entre dos cones).

Tres boles metàl·liques de radi $3 \text{ cm}$ es refonen per crear una única esfera de mida més gran. Suposant que no es perd material en el procés, quin serà el radi de la nova esfera resultant? Arrodoneix el resultat a les centèsimes.

Un got cilíndric de $6 \text{ cm}$ de diàmetre interior conté aigua fins a una altura de $10 \text{ cm}$. S'hi introdueix una pedra de forma irregular i el nivell de l'aigua puja fins als $12,5 \text{ cm}$ sense arribar a vessar. A la figura, la línia discontínua marca el nivell inicial de l'aigua i la línia blava contínua, el nivell final.

Quin és el volum de la pedra expressat en centímetres cúbics?

Calcula el volum d'un cos geomètric format per un cilindre de $10 \text{ cm}$ d'altura i $4 \text{ cm}$ de radi, que té a la part superior una piràmide quadrangular la base de la qual està inscrita en la circumferència del cilindre i l'altura de la qual és de $6 \text{ cm}$.

(Pista: el costat del quadrat de la base de la piràmide coincideix amb el costat d'un quadrat inscrit en una circumferència de radi $4 \text{ cm}$).

Una empresa de cosmètics de València vol comercialitzar un nou perfum en un量 frasc amb forma de piràmide recta de base quadrada. L'equip de disseny estableix que el frasc ha de contenir exactament $100\text{ mL}$ de colònia (ple fins al vèrtex) i que, perquè sigui còmode de subjectar amb una mà, el costat de la base quadrada ha de mesurar $5\text{ cm}$.

1. a) Expressa el volum requerit en centímetres cúbics.
2. b) Planteja una equació a partir de la fórmula del volum de la piràmide i calcula l'altura interior que ha de tenir el frasc.
3. c) Si per abaratir costos decideixen mantenir la mateixa altura que has calculat però substituir el frasc piramidal per un envàs cilíndric la base del qual tingui un radi igual a la meitat del costat del quadrat original ($r = 2,5\text{ cm}$), tindrà més o menys capacitat que el frasc piramidal? Justifica la teva resposta comparant les fórmules sense necessitat de calcular el volum numèric del cilindre.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) ha registrat en una estació de La Mancha una precipitació de $45\text{ mm}$ (equivalent a $45\text{ L/m}^2$) durant una tempesta de tardor. Un agricultor té a la seva parcel·la un dipòsit rectangular per recollir aigua de pluja, obert per dalt, de $4\text{ m}$ de llarg, $2,5\text{ m}$ d'ample i $1,2\text{ m}$ de profunditat, inicialment buit. Just al costat, té un pluviòmetre casolà amb forma cilíndrica de $10\text{ cm}$ de diàmetre interior i $30\text{ cm}$ d'alçària, també obert i buit.

1. a) Calcula quants litres d'aigua han caigut directament dins del dipòsit rectangular durant la tempesta.
2. b) Quina alçària en centímetres ha assolit l'aigua acumulada dins del dipòsit rectangular? I quina alçària haurà assolit a l'interior del pluviòmetre cilíndric? Raona la teva resposta a partir de la definició de «mil·límetres de pluja».
3. c) Quin percentatge de la capacitat total del dipòsit rectangular ha quedat ocupat amb aquesta tempesta?

Una empresa de disseny de mobiliari urbà ha projectat una paperera de formigó amb forma de tronc de piràmide quadrangular regular. Les dimensions externes de la base superior són de $40\text{ cm}$ de costat, les de la base inferior són de $30\text{ cm}$ de costat i l'altura total és de $80\text{ cm}$. Perquè sigui funcional, l'interior està buit amb la mateixa forma, però deixant unes parets d'un gruix constant de $5\text{ cm}$ als laterals i a la base inferior (la part superior està oberta). Calcula el volum de formigó necessari per fabricar cada paperera en decímetres cúbics ($dm^3$).

Un escultor vol crear una peça d'acer inoxidable que consisteix en un cub de $20\text{ cm}$ d'aresta al qual se li han extret vuit tetraedres a les cantonades. Cada tetraedre es forma unint el vèrtex del cub amb els punts mitjans de les tres arestes que concorren en aquest vèrtex (un truncament mitjà). Determina el volum final de l'escultura. Quin percentatge del volum del cub original s'ha eliminat?

Es té un rellotge de sorra format per dos cones idèntics units pels seus vèrtexs, dins d'un cilindre protector de vidre. Els cones tenen un radi de base de $6\text{ cm}$ i una altura de $10\text{ cm}$. Si el dipòsit superior està ple de sorra fins a la meitat de la seva altura, calcula el volum de sorra en $cm^3$. Si la sorra cau al dipòsit inferior a un ritme constant de $5\text{ cm}^3$ per minut, quant de temps trigarà a buidar-se la part superior? (Recorda aplicar la semblança de cones per trobar el radi de la superfície de la sorra).

Una esfera de plom de $10\text{ cm}$ de radi es refon per fabricar petits cilindres de $2\text{ cm}$ de diàmetre i $3\text{ cm}$ d'altura. Suposant que en el procés de fosa es perd un $5\%$ del material, quants cilindres complets es podran fabricar? Si cada cilindre té una massa de $107\text{ g}$, quina és la densitat del plom utilitzat en $g/cm^3$?

Una sitja de cereals té una forma composta: una part central cilíndrica de $12\text{ m}$ d'altura i $4\text{ m}$ de diàmetre, rematada a la part superior per una semiesfera i a la part inferior per un cone de descàrrega de $3\text{ m}$ d'altura. Calcula la capacitat total de la sitja en metres cúbics. Si la sitja s'omple al $85\%$ de la seva capacitat, quantes tones de blat contindrà si la densitat del blat és de $750\text{ kg/m}^3$?

El principi de Cavalieri estableix que si dos cossos tenen la mateixa altura i l'àrea de les seves seccions a qualsevol altura és igual, aleshores tenen el mateix volum. Utilitza aquesta idea per comparar el volum d'una esfera de radi $R$ amb el volum comprès entre un cilindre de radi $R$ i altura $2R$, i un doble cone inscrit en ell. Demostra matemàticament que el volum de l'esfera és efectivament $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ calculant primer el volum del cilindre i restant-hi el dels dos cones.

Un envàs de perfum té la forma d'un octaedre regular de $6\text{ cm}$ d'aresta. Això no obstant, el vidre té un gruix de $2\text{ mm}$ a totes les seves cares. El fabricant afirma que l'envàs pot contenir $80\text{ ml}$ de fragància ($1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$). Realitza els càlculs necessaris per comprovar si l'afirmació és vertadera. (Dada: el volum d'un octaedre d'aresta $a$ és $V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3$. Hauràs de considerar com afecta el gruix a l'aresta del buit interior).

Es vol submergir una peça metàl·lica amb forma de piràmide hexagonal regular en un recipient cilíndric de $15\text{ cm}$ de radi que conté aigua. La piràmide té una aresta de la base de $10\text{ cm}$ i una aresta lateral de $20\text{ cm}$. En introduir la peça completament, quants mil·límetres pujarà el nivell de l'aigua al recipient? (Recorda que primer has de calcular l'altura de la piràmide utilitzant el teorema de Pitàgores dues vegades).

Per remodelar una plaça per a vianants a Zaragoza, es projecten jardineres massisses de formigó. Cada peça exterior és un prisma recte de base quadrada de $80\text{ cm}$ de costat i $60\text{ cm}$ d'alçària. A la cara superior es buida un forat semiesfèric de $30\text{ cm}$ de radi per dipositar-hi la terra de les plantes. Dos encarregats d'obra proposen mètodes diferents per encarregar el volum total de formigó per a 10 jardineres:

• Mètode A: Calcular el volum del prisma massís, calcular el volum de la semiesfera que es retira, restar ambdós volums per a una jardinera i multiplicar el resultat per 10.

• Mètode B: Aproximar la semiesfera per un cilindre de radi $30\text{ cm}$ i profunditat $30\text{ cm}$, i descompondre el formigó en quatre prismes rectangulars laterals al voltant del forat més un prisma quadrangular inferior com a base de suport.

1. a) Analitza la idoneïtat matemàtica d'ambdós mètodes. Quin dels dos mètodes és exacte i quin introdueix un error d'aproximació en el volum de formigó? Justifica per què el mètode descartat no és rigorós.
2. b) Seguint el mètode adequat, calcula el volum total de formigó necessari per fabricar les 10 jardineres (en $\text{m}^3$, arrodonint a dos decimals).
3. c) Sabent que la densitat del formigó utilitzat és de $2\,400\text{ kg/m}^3$, determina si un camió amb una càrrega útil màxima de $7\,500\text{ kg}$ podrà transportar les 10 jardineres en un únic viatge o si sobrepassarà el límit autoritzat. Justifica-ho amb càlculs.

En un laboratori de ciències d'un institut es vol determinar experimentalment el volum corporal d'un estudiant per estimar la seva composició corporal, aplicant el principi d'immersió en aigua. S'utilitza un dipòsit cilíndric d'$1\text{ m}$ de diàmetre interior parcialment ple d'aigua.

1. a) Quan l'alumne s'introdueix completament dins de l'aigua (submergint el cap i expulsant l'aire pulmonar), el nivell de l'aigua al dipòsit ascendeix exactament $8,5\text{ cm}$. Modela matemàticament la situació i calcula el volum del cos de l'alumne en decímetres cúbics (litres), prenent $\pi \approx 3,14$.
2. b) Si la massa de l'estudiant és de $68\text{ kg}$, calcula la seva densitat mitjana global en $\text{kg/L}$. Tenint en compte que el teixit muscular i ossi té una densitat mitjana aproximada d'$1,1\text{ kg/L}$ i el teixit gras de $0,9\text{ kg/L}$, raona si el valor obtingut és fisiològicament coherent i explica si aquest estudiant, amb els pulmons buits, tendiria a flotar o a enfonsar-se en aigua dolça (densitat de l'aigua: $1\text{ kg/L}$).
3. c) Planteja i resol el problema invers: si al mateix dipòsit cilíndric s'introdueix un pes de gimnàs de ferro massís el volum del qual és de $4,5\text{ dm}^3$, quants mil·límetres augmentarà el nivell de l'aigua? Arrodoneix a un decimal.