Exercicis: Cossos de revolució

Imagina que tens una cartolina rectangular de $10\text{ cm}$ de base i $15\text{ cm}$ d'altura. Si la fas girar ràpidament sobre un dels seus costats de $15\text{ cm}$ (el costat marcat com a eix de gir a la figura), quin cos de revolució es genera? Dibuixa el cos resultant i indica quant mesuren el seu radi i la seva altura.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una llauna de refresc estàndard té forma cilíndrica. Si el radi de la seva base mesura $3,25\text{ cm}$ i la seva altura és de $12\text{ cm}$, calcula l'àrea de l'etiqueta de paper que envolta lateralment la llauna (àrea lateral). Utilitza $\pi \approx 3,14$.

Per a una disfressa de mag, un estudiant ha fabricat un barret amb forma de con. Si el radi de la base és de $10\text{ cm}$ i l'altura del barret és de $24\text{ cm}$, utilitza el teorema de Pitàgores per calcular la longitud de la generatriu ($g$) del con.

Una pilota de tennis té un diàmetre aproximat de $6,7\text{ cm}$. Calcula la superfície total de feltre necessària per cobrir la pilota, tractant-la com una esfera perfecta. Expressa el resultat en $\text{cm}^2$.

Calcula el volum d'un dipòsit d'aigua cilíndric que té un radi de $2\text{ metres}$ i una altura de $5\text{ metres}$. Si $1\text{ m}^3$ equival a $1000\text{ litres}$, quants litres d'aigua pot contenir el dipòsit?

Un cucurutxo de gelat té forma de cone. El radi de l'obertura superior és de $3\text{ cm}$ i la seva profunditat (altura) és de $10\text{ cm}$. Quin volum de gelat hi cap exactament a l'interior del cucurutxo? (Considera que el gelat queda enrasat amb la vora, sense sobresortir).

Si metem una taronja per la meitat, obtenim dues semiesferes. Si el radi de la taronja és de $4\text{ cm}$, calcula el volum d'una d'aquestes meitats.

Observa el desenvolupament pla següent d'un cos de revolució.

1. a) De quin cos es tracta?
2. b) Si el radi del cercle és $R = 5\text{ cm}$ i l'altura del rectangle és $H = 10\text{ cm}$, calcula l'àrea total de la figura.

Per a una festa major al seu poble, la Sara vol folrar amb paper brillant la part exterior de $20$ barrets cònics de cartó. Cada barret té un radi de la base de $9\text{ cm}$ i una alçària de $12\text{ cm}$ (els barrets són buits i no porten base). El seu company Hugo fa els càlculs següents per esbrinar el paper d'un sol barret:

Per tant, l'Hugo conclou que per als $20$ barrets necessitaran exactament $20 \cdot 339,12 = 6.782,4\text{ cm}^2$ de paper.

1. a) Identifica i explica els dos errors conceptuals que ha comès l'Hugo: un a la fórmula de la superfície que ha emprat i un altre en no calcular una mesura clau del con.
2. b) Corregeix els càlculs trobant primer la generatriu del con mitjançant el teorema de Pitàgores i determina la quantitat real mínima de paper brillant que necessiten per als $20$ barrets.

L'ajuntament d'una localitat vol restaurar i pintar una escultura esfèrica d'acer instal·lada en una rotonda, el diàmetre de la qual mesura exactament $4\text{ m}$. El pintor encarregat disposa de pots de pintura antioxidant on el fabricant indica que cada pot cobreix $12\text{ m}^2$.

1. a) Estima mentalment, sense calculadora i arrodonint $\pi \approx 3$, la superfície exterior de l'esfera i quants pots farien falta com a mínim. Explica els passos del teu càlcul mental.
2. b) Fes el càlcul precís utilitzant la fórmula de l'àrea de l'esfera ($A = 4\pi r^2$) amb el valor de $\pi$ de la calculadora (arrodonint l'àrea a dos decimals).
3. c) Comprova i compara el resultat real amb la teva estimació: hauria estat suficient comprar els pots estimats amb $\pi \approx 3$ o el pintor s'hauria quedat sense pintura abans d'acabar? Justifica per què es produeix aquesta diferència en arrodonir $\pi$.

Un estudi de fotografia utilitza un reflector amb forma de con per concentrar la llum. Si el reflector té una altura de $12\text{ cm}$ i el diàmetre de la seva obertura circular és de $10\text{ cm}$, calcula la superfície total de material reflectant necessària per fabricar-lo (sense comptar la tapa de la base).

Una marca de suplements vitamínics dissenya les seves càpsules amb forma de cilindre i dues semiesferes als extrems. La longitud total de la càpsula és de $22\text{ mm}$ i el diàmetre del cilindre central és de $8\text{ mm}$. Calcula el volum total de la càpsula en mil·límetres cúbics.

Un got de vidre té forma de cilindre amb un radi intern de $3,5\text{ cm}$. Si hi aboquem un refresc que ocupa un volum de $250\text{ cm}^3$, quina altura aconseguirà el líquid dins del got? Arrodoneix el resultat a les centèsimes.

Calcula l'àrea lateral i el volum d'un tronc de con (com un poal de crispetes) les bases del qual tenen radis de $10\text{ cm}$ i $6\text{ cm}$, sabent que la seva altura és de $15\text{ cm}$. Nota: Hauràs de calcular primer la generatriu mitjançant el teorema de Pitàgores.

Un dipòsit esfèric de gas té un diàmetre exterior de $6\text{ metres}$. Els enginyers volen aplicar una capa de pintura antioxidant que costa $14,50\text{ €}$ per cada metre quadrat. Quant costarà pintar la superfície total del dipòsit? (Utilitza $\pi \approx 3,14$).

Es genera un cos de revolució en fer girar un rectangle de base $4\text{ cm}$ i altura $7\text{ cm}$ al voltant d'un dels seus costats llargs.

1. Quina figura geomètrica s'obté?

2. Calcula la seva àrea total.

3. Si giren al voltant del costat curt, tindria el mateix volum? Justifica la teva resposta fent els càlculs.

En una gelateria serveixen una bola de gelat perfectament esfèrica de $6\text{ cm}$ de diàmetre sobre un cucurutxo en forma de con de $10\text{ cm}$ d'altura i el mateix diàmetre que la bola. Si el gelat es desfà i queda contingut exactament dins del cucurutxo, es vessarà o quedarà espai lliure? Respon comparant els volums de l'esfera i el con.

Una empresa de missatgeria utilitza tubs cilíndrics de cartró per enviar plànols. Si cada tub té una àrea lateral de $942\text{ cm}^2$ i una altura de $50\text{ cm}$:

1. Calcula el radi de la base del tub.

2. Calcula la quantitat de cartró necessària per fabricar les dues tapes circulars de cada tub. (Utilitza $\pi \approx 3,14$).

La Societat de Salvament i Seguretat Marítima (SASEMAR) revisa una boia d'abalisament cilindricocònica al port de Gijón. La boia consta d'un cos cilíndric inferior d'$1,2\text{ m}$ de diàmetre i $1,5\text{ m}$ d'alçària, rematat a la part superior per una punta cònica del mateix diàmetre i una alçària de $0,8\text{ m}$. S'ha d'aplicar una pintura nàutica especial a tota la superfície exterior visible: la paret lateral del cilindre, la base plana circular inferior submergida i la superfície lateral del con (la unió circular entre el cilindre i el con és interna i no es pinta).

1. a) Calcula la generatriu de la punta cònica.
2. b) Calcula l'àrea total exterior que s'ha de pintar (expressa el resultat arrodonit a dues xifres decimals).
3. c) Cada pot de pintura nàutica cobreix un màxim de $4,5\text{ m}^2$ per capa. Si les normes tècniques exigeixen aplicar dues capes completes i els pots es venen únicament sencers a $28,50\text{ \euro}$ la unitat, quants pots s'han d'adquirir i quin serà el cost final del material?

Una empresa de conserves vegetals a Múrcia dissenya un nou pot cilíndric de llauna amb tapa superior i inferior. Per requisits de resistència i apilament, s'estableix que l'alçària del cilindre ha de ser exactament el triple que el radi de la base ($h = 3r$). A més, per ajustar-se al pressupost de fabricació, l'àrea total de xapa emprada a cada pot ha de ser d'exactament $128\pi\text{ cm}^2$ (uns $402,12\text{ cm}^2$).

1. a) Escriu l'expressió algebraica de l'àrea total del cilindre en funció únicament del radi $r$, planteja l'equació corresponent i troba el valor exacte del radi i de l'alçària de l'envàs.
2. b) Calcula quin percentatge de l'àrea total de la llauna correspon a la superfície lateral i quin percentatge a les dues bases planes.
3. c) Raona si aquests percentatges canviarien si decidíssim duplicar el radi i l'alçària de l'envàs mantenint la proporció $h = 3r$.

Un dissenyador de llums vol crear un pantall de llum amb forma de tronc de con. El pantall té una altura de $24 \text{ cm}$, un diàmetre superior de $18 \text{ cm}$ i un diàmetre inferior de $30 \text{ cm}$. Per calcular el cost del material, necessita saber l'àrea de la superfície lateral. Tanmateix, per fabricar-lo a partir d'una peça plana, primer ha de determinar l'altura del con complet original del qual procedeix el tronc. Calcula aquesta altura total i l'àrea lateral del pantall (sense les bases).

Una copa de gelat té forma de con invertit de $12 \text{ cm}$ d'altura i $10 \text{ cm}$ de diàmetre a la boca. Es omple de batut de xocolata exactament fins a la meitat de la seva altura. Un estudiant afirma que la copa està «mig plena», però un altre diu que hi ha molt menys de la meitat del volum total. Calcula quin percentatge del volum total de la copa ocupa realment el batut per comprovar qui té raó.

Es vol construir un dipòsit d'acer per a aigua que combini un cilindre de $4 \text{ m}$ d'altura i $3 \text{ m}$ de radi amb una semiesfera perfecta a la seva part superior. Si el cost de l'acer és de $45 \text{ €}$ per metre quadrat de superfície exterior i el segellat de la unió entre la semiesfera i el cilindre costa $15 \text{ €}$ per cada metre lineal de circumferència, calcula el pressupost total per als materials de la superfície externa del dipòsit (incloent-hi la base inferior plana).

Un corró de pastisseria de pedra té forma cilíndrica amb un radi de $4 \text{ cm}$ i una longitud de $25 \text{ cm}$. Es vol desar en una caixa cilíndrica de manera que el corró hi encaixi exactament (tangent a les parets i bases). Si es decideix substituir aquest corró per un altre que tingui la meitat de radi però el doble de longitud:

1. Variarà el volum de la pedra utilitzada? Justifica la resposta amb càlculs.

2. Quin dels dos corrons requeriria una caixa amb més àrea de superfície total?

Calcula el volum de la figura generada en fer girar $360^\circ$ el trapezi rectangle següent al voltant del costat $AB$. El costat $AD$ mesura $6 \text{ cm}$ (base menor), el costat $BC$ mesura $10 \text{ cm}$ (base major) i l'altura del trapezi (costat $AB$) mesura $8 \text{ cm}$. Identifica el cos resultant i calcula la seva àrea total.

Dues ciutats, $P$ i $Q$, es troben sobre el mateix paral·lel a una latitud de $60^\circ \text{ N}$. La ciutat $P$ té una longitud de $15^\circ \text{ E}$ i la ciutat $Q$ de $45^\circ \text{ E}$. Sabent que el radi de la Terra és d'aproximadament $6371 \text{ km}$:

1. Calcula el radi del paral·lel $60^\circ \text{ N}$ (Pista: utilitza trigonometria o recorda que en el triangle format, el radi del paral·lel és $R \cdot \cos(60^\circ)$).

2. Troba la distància mínima entre les dues ciutats mesurada sobre l'arc d'aquest paral·lel.

Un envàs de perfum té forma d'esfera de radi $R = 5 \text{ cm}$. L'envàs està contingut dins d'una caixa amb forma de cilindre directe que té el mateix radi i la mateixa altura que el diàmetre de l'esfera.

1. Calcula la diferència entre el volum de la caixa cilíndrica i el volum de l'esfera.

2. Demostra que l'àrea lateral del cilindre és igual a l'àrea de la superfície de l'esfera.

S'ha submergit totalment una bola de plom esfèrica de $6 \text{ cm}$ de diàmetre en un recipient cilíndric de $10 \text{ cm}$ de radi que contenia aigua.

1. Quant ha pujat el nivell de l'aigua al recipient després d'introduir la bola?

2. Si després d'això, fossa la bola de plom i en fabriquem un con la base del qual té el mateix radi que l'esfera original ($3 \text{ cm}$), quina altura tindrà el con?

Per fabricar la pantalla d'un llum de disseny amb forma de tronc de con obert per totes dues bases, un taller d'il·luminació a València parteix de les mides següents: radi superior $r = 10\text{ cm}$, radi inferior $R = 25\text{ cm}$ i alçària vertical del tronc $h = 20\text{ cm}$. Dos membres de l'equip tècnic proposen mètodes diferents per calcular els metres quadrats de roba necessaris (àrea lateral):

• Mètode d'Alba: Calcular directament la generatriu del tronc mitjançant el triangle rectangle format per l'alçària i la diferència de radis, i aplicar la fórmula de l'àrea lateral del tronc: $A_L = \pi \cdot (R + r) \cdot g$.

• Mètode de Bruno: Prolongar el tronc fins a completar el con original. Calcular per semblança de triangles la generatriu del con complet i la del con superior fictici, i obtenir l'àrea lateral restant totes dues àrees còniques: $A_L = A_{L,\text{gran}} - A_{L,\text{petit}}$.

1. a) Aplica el Mètode d'Alba per obtenir el valor exacte de l'àrea lateral.
2. b) Aplica el Mètode de Bruno: planteja la proporció de semblança per trobar les generatrius necessàries i calcula l'àrea lateral per diferència.
3. c) Compara tots dos mètodes: coincideixen exactament els resultats? Justifica quin dels dos procediments resulta més eficient per a aquest càlcul numèric i explica en quina fase del disseny real (per exemple, en retallar el patró pla de roba abans de corbar-lo) resulta imprescindible conèixer les mides obtingudes amb el mètode de Bruno.

El Centre d'Estudis de Física del Cosmos projecta una cúpula de protecció per a un nou sensor a l'Observatori de Javalambre (Terol). La base circular de formigó sobre la qual s'assentarà l'estructura té un radi fix de $4\text{ m}$. Els arquitectes analitzen dues cobertes que assoleixen la mateixa alçària màxima de $4\text{ m}$ sobre el terra:

• Opció A (Semiesfèrica): Una cúpula amb forma de semiesfera de radi $r = 4\text{ m}$.

• Opció B (Cònica): Una coberta cònica amb radi de la base $r = 4\text{ m}$ i alçària zenital $h = 4\text{ m}$.

1. a) Calcula l'àrea de la superfície exterior exposada a la intempèrie per a cadascuna de les dues opcions (sense incloure el terra circular). Expressa els resultats en funció de $\pi$ i amb aproximació decimal a les centèsimes.
2. b) Demostra algebraicament que la raó entre l'àrea de la coberta cònica i l'àrea de la cúpula semiesfèrica és un valor constant independent del radi, sempre que l'alçària del con coincideixi amb el seu radi ($h = r$). Quina és aquesta raó exacta expressada amb radicals?
3. c) Si el revestiment aïllant exterior costa $130\text{ \euro/m}^2$, calcula l'estalvi econòmic exacte que suposa triar l'opció amb menys superfície exterior. Tenint en compte el clima d'alta muntanya amb nevades intenses, quin avantatge físic addicional presenta l'opció geomètrica més econòmica respecte a l'evacuació del pes de la neu acumulada?