Exercicis: Poliedres

Observa el cub següent i numera els seus elements fonamentals. Indica quantes cares, vèrtexs i aristes té en total. Fes-ho al teu quadern.

Comprova si es compleix el Teorema d'Euler en un prisma de base triangular. Per fer-ho, compta els seus elements i aplica la fórmula:

$C + V = A + 2$

on $C$ és el nombre de cares, $V$ el de vèrtexs i $A$ el d'arestes.

Classifica el cos geomètric següent indicant si és un prisma o una piràmide. Raona la teva resposta fixant-te en les seves cares laterals i en les seves bases.

Quin és el nom del políedre regular que té 4 cares que són triangles equilàters? Dibuixa un esquema senzill de la seva forma i indica quants vèrtexs té.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Relaciona cadascun dels 5 Poliedres Regulars (Sòlids Platònics) amb el polígon que forma les seves cares:

• Tetraedre

• Cub (Hexaedre)

• Octaedre

• Dodecaedre

• Icosaedre

Els polígons disponibles són: Triangle equilàter, Quadrat i Pentàgon regular.

Un fabricant de caixes de regal vol dissenyar-ne una amb forma d'ortoedre. Si les dimensions de la base són $10\text{ cm}$ i $15\text{ cm}$, i l'altura és de $20\text{ cm}$, indica quantes de les seves cares són iguals entre si.

Si tenim un poliedre convex amb 12 cares i 20 vértexs (un dodecaedre), utilitza el teorema d'Euler per calcular el nombre d'arestes que té.

Observa el dibuix d'aquesta piràmide quadrangular. Identifica i anomena el segment marcat amb la lletra $h$ (que va del vértex al centre de la base) i el segment marcat amb la lletra $a$ (altura d'una cara lateral).

Lucas està estudiant les propietats d'una piràmide recta la base de la qual és un heptàgon regular (polígon de 7 costats). A la seva llibreta afirma el següent: «Com que la base té 7 costats, la piràmide té exactament 7 cares, 7 vèrtexs i 14 arestes. Si aplico el Teorema d'Euler, obtinc $7 + 7 = 14 + 2$, és a dir, $14 = 16$, la qual cosa és impossible. Per tant, el Teorema d'Euler no es compleix en piràmides amb bases de nombre imparell de costats». Explica raonadament els dos errors de recompte que comet Lucas en identificar els elements de la piràmide, indica el nombre correcte de cares ($C$), vèrtexs ($V$) i arestes ($A$), i comprova si es compleix la relació d'Euler.

Vols transportar un paraigua rígid que fa exactament $55\text{ cm}$ de llarg dins d'una maleta de cabina amb forma d'ortoedre les dimensions interiors de la qual són $40\text{ cm}$ de llarg, $30\text{ cm}$ d'ample i $20\text{ cm}$ d'alt.

1. a) Abans de calcular el valor exacte, estima de manera raonada si el paraigua cabrà al llarg de la diagonal interior de la maleta. Per a fer-ho, calcula mentalment la diagonal de la base ($40\text{ cm} \times 30\text{ cm}$) i acota entre quines dues desenes senceres consecutives s'ha de situar la diagonal espacial total sabent que $50^2 = 2500$ i $60^2 = 3600$.
2. b) Calcula la longitud exacta de la diagonal espacial de l'ortoedre (arrodonint a dues xifres decimals) i comprova si la teva estimació era encertada i si el paraigua cap finalment a la maleta.

Un arquitecte està dissenyant una estructura per a un museu d'art modern. La peça central és un poliedre convex que té $12$ cares i $30$ aristes. A causa d'un error en els plànols, no s'indica el nombre de vèrtexs. Utilitza el teorema d'Euler per calcular quants vèrtexs té l'escultura i explica si és possible que es tracti d'un dodecaedre regular basant-te en els seus elements.

Al taller de tecnologia, un grup d'alumnes està construint una caixa amb forma de prisma hexagonal regular per guardar filaments d'una impressora 3D. L'arista de la base mesura $10 \text{ cm}$ i l'altura del prisma és de $25 \text{ cm}$. Calcula l'àrea total de cartró necessària per fabricar la caixa (inclosa la tapa).

Dada: Recorda calcular primer l'apotema de la base utilitzant el teorema de Pitàgores.

Una empresa de perfums ha dissenyat un frasc amb forma de piràmide quadrangular regular. L'arista de la base mesura $6 \text{ cm}$ i l'arista lateral (la que uneix el vèrtex amb una cantonada de la base) mesura $10 \text{ cm}$. Calcula l'altura de la piràmide per saber si cap en una prestatgeria de $9 \text{ cm}$ d'alt.

Tenim una caixa de cartró en forma d'ortoedre de dimensions $40 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} \times 120 \text{ cm}$. Volem guardar al seu interior un tub fluorescent que mesura $128 \text{ cm}$ de llarg. És possible guardar-lo en línia recta unint dos vèrtexs oposats de la caixa? Justifica la teva resposta calculant la diagonal principal del poliedre.

Un col·leccionista de daus en té un de molt especial amb forma d'octaedre regular (8 cares triangulars) on cada arista mesura $4 \text{ cm}$. Si decideix fabricar un nou dau unint els centres de les cares de l'octaedre original:

1. a) Quin nom rep el poliedre resultant (el seu poliedre dual)?
2. b) Quantes cares i quants vèrtexs tindrà aquest nou poliedre? Comprova si compleix la fórmula d'Euler.

Un trofeu té forma de tronc de piràmide quadrangular regular. Les aristes de la base inferior mesuren $10 \text{ cm}$, les de la base superior $4 \text{ cm}$ i l'altura del tronc és de $12 \text{ cm}$. Calcula el volum de metall necessari per fondre aquest trofeu.

Suggeriment: Pots fer servir la fórmula del volum del tronc o considerar el tronc com la diferència de dues piràmides.

S'ha dissenyat una peça mecànica que consisteix en un cub de $8 \text{ cm}$ d'aresta al qual s'ha fet un tall pla que passa pels punts mitjans de les tres arestes que concorren en un vèrtex $V$. Així s'elimina una petita piràmide triangular (procés de truncament). A la figura, les línies vermelles discontínues marquen la piràmide eliminada i les grises discontínues són arestes amagades.

1. a) Quantes cares, vèrtexs i arestes té el nou políedre resultant?

1. b) Es continua complint el teorema d'Euler després del tall?

Calcula el volum d'un prisma la base del qual és un trapezi isòsceles. Les bases del trapezi mesuren $12 \text{ cm}$ i $8 \text{ cm}$, i els seus costats oblics mesuren $5 \text{ cm}$. L'altura del prisma és de $20 \text{ cm}$.

Dada: Primer hauràs de trobar l'altura del trapezi de la base per poder calcular la seva àrea.

Per calcular la longitud del cable tensat que uneix dos vèrtexs oposats més llunyans d'una nau industrial amb forma d'ortoedre de dimensions $12\text{ m}$ de llargada, $9\text{ m}$ d'amplada i $8\text{ m}$ d'alçària, dos tècnics proposen camins diferents:

• Mètode A: Aplicar dues vegades consecutives el Teorema de Pitàgores en dues dimensions (primer en el pla del terra per trobar la diagonal de la base, i amb aquest resultat, en el triangle rectangle vertical que conté l'alçària).

• Mètode B: Aplicar directament la fórmula de la diagonal de l'ortoedre $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Calcula la longitud del cable mitjançant ambdós mètodes mostrant el desenvolupament numèric. A continuació, compara els dos procediments: quin permet comprendre millor l'origen geomètric de la fórmula i quin resulta més eficaç a la pràctica? Justifica a més si el Mètode B es podria aplicar a qualsevol prisma recte o únicament als ortoedres.

Una botiga d'artesania de Toledo necessita enviar per Correus una rèplica decorativa d'una espasa que fa $42\text{ cm}$ de llargada i que no es pot doblegar ni desmuntar. Per a l'enviament trien una caixa comercial tipus ortoedre amb mides interiors de $32\text{ cm}$ de llargada, $24\text{ cm}$ d'amplada i $15\text{ cm}$ d'alçària.

1. a) Modela la caixa com un ortoedre geomètric i calcula la longitud màxima teòrica que pot tenir un objecte rectilini prim per entrar al seu interior sense deformar-se.
2. b) Determina si l'espasa de $42\text{ cm}$ cap a la caixa i calcula quants centímetres de marge sobren o falten respecte a la diagonal espacial.
3. c) Si l'espasa fes $45\text{ cm}$, quants centímetres com a mínim caldria augmentar exclusivament l'alçària de la caixa (mantenint fixos els $32\text{ cm}$ de llargada i $24\text{ cm}$ d'amplada) perquè hi entrés justa?

Una empresa de logística utilitza caixes amb forma d'ortoedre per transportar material esportiu. Un client necessita enviar una javelina d'entrenament que mesura exactament $2,25$ metres de llarg. El magatzem disposa de caixes les dimensions de les quals són $200$ cm de llarg, $80$ cm d'amplada i $60$ cm d'altura. Determina raonadament, mitjançant el càlcul de la diagonal de l'ortoedre, si la javelina pot viatjar dins de la caixa sense doblegar-se (suposant que el seu gruix és negligible).

Un dissenyador de trofeus per a una competició de videojocs ha decidit crear una peça a partir d'un cub de vidre de $12$ cm d'arista. El procés consisteix a "truncar" el cub tallant cadascun dels seus $8$ vèrtexs mitjançant plans que passen pels punts mitjans de les tres aristes que concorren en aquest vèrtex.

1. a) Calcula el nombre de cares, vèrtexs i aristes del poliedre resultant.
2. b) Comprova si el nou poliedre continua complint el teorema d'Euler.
3. c) Quin tipus de polígons formen les cares del nou trofeu?

Una piràmide quadrangular regular té una altura de $24$ cm i l'àrea de la seva base és de $100$ $cm^2$. Es realitza un tall amb un pla paral·lel a la base a una altura de $12$ cm des del vèrtex (és a dir, pel punt mitjà de l'altura).

1. a) Calcula l'arista de la base del tronc de piràmide superior.
2. b) Calcula el volum del tronc de piràmide inferior resultant després de retirar la part superior.

Tenim dos prismes rectes de base hexagonal regular que són semblants. El primer té una altura de $10$ cm i la seva àrea total és de $350$ $cm^2$. Si el segon prisma té un volum que és exactament $8$ vegades el volum del primer:

1. a) Quina és la raó de semblança $k$ entre tots dos cossos?
2. b) Calcula l'altura i l'àrea total del segon prisma basant-te en les relacions de semblança per a àrees i volums.

Un dipòsit d'aigua té forma de prisma recte la base del qual és un trapezi isòsceles. Les bases del trapezi mesuren $4$ m i $10$ m, i els costats iguals mesuren $5$ m. Si l'altura del dipòsit (la longitud del prisma) és de $15$ m:

1. a) Calcula l'àrea de la base del dipòsit (necessitaràs trobar primer l'altura del trapezi).
2. b) Calcula l'àrea total del dipòsit.
3. c) Si s'omple fins al $80\%$ de la seva capacitat, quants litres d'aigua contindrà?

Es vol construir un envelat de circ amb forma de piràmide octogonal regular. L'arista de la base mesura $6$ m i l'altura de l'envelat al centre és de $10$ m. Sabent que l'apotema d'un octògon regular de costat $L$ és aproximadament $1,21 \cdot L$:

1. a) Calcula l'apotema de la piràmide.
2. b) Calcula la quantitat de lona necessària per cobrir les parets laterals de l'envelat.
3. c) Calcula el volum d'aire que conté l'envelat.

Un bloc de granit té forma d'ortoedre de dimensions $40 \times 40 \times 100$ cm. Un escultor vol tallar un forat al seu interior amb forma de piràmide quadrangular la base de la qual coincideixi amb una de les cares de $40 \times 40$ cm i el vèrtex de la qual arribi exactament al centre de la cara oposada.

1. a) Calcula el volum de granit que queda després d'extreure la piràmide.
2. b) Calcula l'àrea de la superfície total del cos resultant (incloent-hi les parets interiors del forat piramidal).

Es construeix una peça mecànica unint un cub d'arista $a = 6$ cm i una piràmide regular la base de la qual coincideix amb una de les cares del cub. Se sap que el volum total de la peça és de $288$ $cm^3$.

1. a) Calcula l'altura de la piràmide.
2. b) Calcula la distància màxima entre el vèrtex de la piràmide i qualsevol dels vèrtexs de la base inferior del cub.
3. c) Quants plans de simetria té aquesta peça composta?

Es vol identificar un políedre convex misteriós del qual només coneixem dues dades: té exactament $30$ arestes ($A = 30$) i el nombre dels seus vèrtexs supera en $8$ unitats el de les seves cares ($V = C + 8$).

1. a) Planteja una equació a partir del Teorema d'Euler ($C + V = A + 2$) i calcula amb precisió quantes cares i quants vèrtexs té aquest políedre.
2. b) Se sap que totes les seves cares són polígons regulars idèntics entre si, de $n$ costats cadascuna. Sabent que cada aresta és compartida exactament per dues cares (és a dir, $n \cdot C = 2 \cdot A$), dedueix algebraicament quin tipus de polígon regular forma les cares d'aquest políedre.
3. c) A partir dels resultats anteriors, identifica de quin dels cinc políedres regulars existents es tracta i calcula quantes arestes concorren a cadascun dels seus vèrtexs mitjançant la relació $k \cdot V = 2 \cdot A$, on $k$ és el nombre d'arestes per vèrtex.

El departament d'urbanisme d'un ajuntament dissenya un envelat per a fires amb forma de piràmide recta de base octogonal regular. Cada costat de l'octàgon fa $3\text{ m}$ i l'apotema de la base fa $3{,}62\text{ m}$. Per plec de condicions tècniques:

1. L'alçària ($h$) del vèrtex superior ha d'estar compresa obligatòriament entre $3{,}5\text{ m}$ i $5{,}5\text{ m}$.

2. Per garantir la caiguda de l'aigua de pluja, l'apotema de la piràmide ($ap$) ha de fer com a mínim $5\text{ m}$.

1. a) Si els projectistes fixen inicialment una alçària de $h = 4\text{ m}$, modelitza la secció corresponent mitjançant un triangle rectangle, calcula l'apotema de la piràmide ($ap$) i justifica si es compleix el criteri de drenatge de pluja.
2. b) Si es decideix modificar el disseny perquè l'apotema de la piràmide sigui d'exactament $ap = 5{,}2\text{ m}$, calcula la nova alçària $h$ de l'envelat i comprova si es manté dins de l'interval permès pel plec municipal.
3. c) Determina el nombre total de cares, vèrtexs i arestes d'aquest envelat i demostra formalment que compleix la característica d'Euler per a políedres convexos.