Exercicis: Semblança

Un dissenyador gràfic està treballant en el logotip d'una nova aplicació. El disseny original és un rectangle que mesura $8\text{ cm}$ d'amplària i $12\text{ cm}$ d'alçària. Per a la pantalla de càrrega, necessita crear una versió més gran que sigui semblant a l'original. Si l'amplària de la versió ampliada ha de ser de $20\text{ cm}$, quina serà l'altura del logotip en aquesta pantalla?

En el plànol d'un habitatge, l'escala utilitzada és $1:50$. Si la sala d'estar té una longitud de $12\text{ cm}$ en el dibuix, calcula quants metres mesura la longitud real d'aquesta estança.

Dos triangles estan col·locats en posició de Tales. Sabent que els segments horitzontals són paral·lels i mesuren $6\text{ cm}$ i $10\text{ cm}$, i que el segment vertical del triangle menor mesura $9\text{ cm}$, calcula el valor del segment vertical desconegut denotat per $x$ del triangle major.

Un estudiant de 3r d'ESO mesura $1,60\text{ m}$ d'altura. En un moment del dia, projecta una ombra sobre el terra de $2\text{ m}$. Si just al costat, un fanal projecta una ombra de $5\text{ m}$, quina és l'altura del fanal?

Indica si els parells de triangles següents són semblants i justifica quin criteri has utilitzat (AAA, SSS o SAS):

• Triangle 1: Angles de $40^\circ$ i $70^\circ$.

• Triangle 2: Angles de $70^\circ$ i $70^\circ$.

Una pizzeria ofereix dues mides de pizza rodona que són semblants. La pizza "Petita" té un radi de $10\text{ cm}$ i una àrea d'aproximadament $314\text{ cm}^2$. Si la pizza "Familiar" té un radi de $20\text{ cm}$, quina serà la seva àrea? (Recorda la relació entre la raó de semblança $k$ i les àrees).

En Marcos vol fer una còpia ampliada d'una làmina artística rectangular de $15\text{ cm} \times 20\text{ cm}$. A la copisteria li ofereixen ampliar-la proporcionalment de manera que la nova amplada sigui de $45\text{ cm}$. En Marcos calcula mentalment: «Com que l'amplada passa de $15\text{ cm}$ a $45\text{ cm}$, la figura es triplica. La làmina original costava $2\text{ €}$, així que la nova làmina, en tenir el triple de mida, em costarà exactament $6\text{ €}$».

1. a) Identifica l'error en el raonament d'en Marcos sobre el cost del paper. Quina magnitud geomètrica determina la despesa de material: la longitud lineal o l'àrea?
2. b) Troba la raó de semblança lineal $k$ i calcula les dimensions (amplada i llargada) i l'àrea de la làmina ampliada.
3. c) Si el preu del paper especial d'impressió és proporcional a la superfície impresa, quin és el preu real i just que hauria de pagar en Marcos per la làmina gran?

En una plaça de Segòvia, a les onze del matí, un senyal vertical de trànsit de $2\text{ m}$ d'alçària projecta sobre el paviment una ombra d'$1,6\text{ m}$. En aquest mateix instant, la torre d'una església propera projecta una ombra rectilínia de $28\text{ m}$.

1. a) Abans de calcular amb precisió, fes una estimació raonada: observant la relació entre l'alçària del senyal i la seva ombra, esperes que l'alçària de la torre sigui més gran o més petita que la longitud de la seva ombra? Estarà més a prop de $20\text{ m}$, de $35\text{ m}$ o de $50\text{ m}$?
2. b) Planteja la proporció matemàtica corresponent (mitjançant triangles semblants formats pels raigs solars) i calcula amb exactitud l'alçària de la torre.
3. c) Compara el valor numèric obtingut amb la teva estimació prèvia i valora si el resultat té sentit físic i arquitectònic per a un campanar històric.

Un dissenyador gràfic està treballant en el logotip d'una nova marca de roba. El disseny original és un quadrilàter amb costats que mesuren $6\text{ cm}$, $8\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ i $12\text{ cm}$. El client li demana una versió més gran per a un cartell publicitari, on el costat que abans mesurava $9\text{ cm}$ ara ha de mesurar $45\text{ cm}$.

1. a) Calcula la raó de semblança $k$ entre el logotip del cartell i l'original.
2. b) Determina la mida dels altres tres costats en el logotip del cartell.
3. c) Si el perímetre del logotip original és de $35\text{ cm}$, quin serà el perímetre del logotip del cartell sense sumar els seus costats un a un?

Per calcular l'altura d'una torre de comunicació que projecta una ombra molt llarga, en Marcos, que mesura $1,70\text{ m}$, es col·loca de peu de manera que l'extrem de la seva pròpia ombra coincideixi amb l'extrem de l'ombra de la torre. Si en Marcos està a $25\text{ m}$ de la base de la torre i la seva ombra mesura $2,5\text{ m}$, respon:

1. a) Per què podem afirmar que els triangles formats per en Marcos i la torre amb les seves respectives ombres són semblants? Esmenta el criteri de semblança utilitzat.
2. b) Calcula l'altura de la torre.

A la figura següent, les rectes $r$, $s$ i $t$ són paral·leles. Sabent que $y = x + 1$, utilitza el Teorema de Tales per calcular les longituds desconegudes $x$ i $y$ expressades en centímetres.

Un projector de cinema està situat a $6\text{ metres}$ d'una pantalla. El feix de llum projecta una imatge que a la pantalla té una altura de $2,4\text{ metres}$.

1. a) Si col·loquem un obstacle de $40\text{ cm}$ d'altura paral·lel a la pantalla per crear una ombra xinesa, a quina distància del projector l'hem de col·locar perquè la seva ombra ocupi exactament tota l'altura de la pantalla?
2. b) Si allunyem el projector fins als $9\text{ metres}$ de la pantalla, quina serà la nova altura de la imatge projectada?

Dos rectangles són semblants. El primer té una base de $12\text{ cm}$ i una àrea de $96\text{ cm}^2$. El segon rectangle té una àrea de $150\text{ cm}^2$.

1. a) Calcula la raó de semblança entre el segon i el primer rectangle. (Pista: utilitza la relació entre àrees).
2. b) Calcula les dimensions (base i altura) del segon rectangle.
3. c) Quina és la raó entre els seus perímetres?

Observa el triangle rectangle de la figura. L'altura $h$ sobre la hipotenusa divideix el triangle original en dos triangles més petits.

1. a) Justifica per què els tres triangles (l'original i els dos petits) són semblants entre si.
2. b) Si els segments en què queda dividida la hipotenusa mesuren $m = 4\text{ cm}$ i $n = 9\text{ cm}$, calcula l'altura $h$ utilitzant la semblança dels dos triangles petits.
3. c) Calcula l'àrea del triangle original.

Una empresa de mobiliari fabrica taules de centre hexagonals regulars. Tenen dos models: el model "Mini" té un costat de $30\text{ cm}$ i el seu sobre de vidre costa $45\text{ €}$. El model "Gran Saló" és semblant a l'anterior i té un costat de $60\text{ cm}$.

1. a) Quina és la raó de semblança entre el model gran i el petit?
2. b) Sabent que el preu del vidre és proporcional a la seva superfície, quant costarà el sobre de vidre del model "Gran Saló"?
3. c) Si per ribetejar la taula petita amb una cinta metàl·lica es necessiten $180\text{ cm}$, quanta cinta es necessitarà per a la taula gran?

En un mapa de l'Institut Geogràfic Nacional (IGN) a escala $1:50\,000$, una patrulla de bombers forestals del pla INFOCA analitza una parcel·la triangular de bosc. Al paper, els tres costats del triangle mesuren exactament $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ i $5\text{ cm}$.

1. a) Comprova numèricament que el triangle del mapa és rectangle i calcula el seu perímetre (en $\text{cm}$) i la seva àrea (en $\text{cm}^2$).
2. b) Utilitzant l'escala com a raó de semblança lineal, calcula les longituds reals dels tres costats del terreny forestal en quilòmetres i obtén el seu perímetre real.
3. c) Calcula la superfície real de la parcel·la de dues maneres independents: primer, calculant l'àrea a partir de les longituds reals en quilòmetres de l'apartat anterior; segon, multiplicant l'àrea del mapa per la raó d'àrees $k^2$ adequada. Comprova que tots dos mètodes coincideixen i expressa el resultat final en hectàrees ($1\text{ km}^2 = 100\text{ ha}$).

Un taller de ceràmica artesanal d'Onda (Castelló) fabrica rajoles decoratives semblants amb forma de paral·lelogram. El motlle bàsic té una base de $12\text{ cm}$, una alçària de $5\text{ cm}$ i costats laterals inclinats de $6,5\text{ cm}$. Per a un mural en un edifici públic, reben l'encàrrec de fabricar peces semblants la superfície individual de les quals sigui exactament d'$1\,500\text{ cm}^2$.

1. a) Calcula l'àrea i el perímetre de la rajola bàsica.
2. b) Planteja la relació matemàtica entre les àrees de dues figures semblants per deduir la raó de semblança lineal $k$ que transforma la rajola bàsica en la rajola gran del mural.
3. c) A partir d'aquesta raó $k$, calcula les dimensions completes (base, alçària i costats oblics) de la rajola gran, així com els metres de cinta protectora que es necessitaran per embalar el contorn perimetral de cadascuna de les peces grans.

Un arquitecte està dissenyant la façana d'un auditori modern. Ha dibuixat un triangle rectangle principal i, per millorar l'acústica, necessita traçar l'altura sobre la hipotenusa. Aquesta altura divideix el triangle original en dos triangles més petits. Sabent que els catets del triangle original mesuren $18\text{ m}$ i $24\text{ m}$, utilitza la semblança de triangles per calcular:

1. a) La longitud de l'altura traçada sobre la hipotenusa.
2. b) Les longituds dels dos segments en què queda dividida la hipotenusa.

Una empresa d'impressió 3D ha creat una maqueta a escala d'una plaça circular. En la maqueta, l'àrea de la plaça és de $450\text{ cm}^2$. El client sol·licita una segona maqueta on el perímetre sigui un $20\%$ més gran que el de la primera maqueta.

1. a) Quina serà l'àrea de la plaça en aquesta segona maqueta?
2. b) Si la plaça real té un radi de $30\text{ m}$, quina és l'escala utilitzada en la primera maqueta? (Expressa l'escala en format $1:n$).

Per mesurar l'altura d'una torre de refrigeració d'una central elèctrica, un equip d'enginyers utilitza un mirall col·locat a terra. L'enginyer es situa de manera que, mirant el mirall, veu reflectida la part superior de la torre. El mirall està a $45\text{ m}$ de la base de la torre. L'enginyer, els ulls del qual estan a una altura de $1,75\text{ m}$, es troba a $1,5\text{ m}$ del mirall. Entre el mirall i la torre hi ha una tanca de seguretat de $5\text{ m}$ d'altura.

A quina distància mínima del mirall ha d'estar la tanca perquè no oculti el reflex de la part superior de la torre als ulls de l'enginyer?

Dues ciutats, A i B, estan separades per un riu de voreres paral·leles. Per calcular la distància entre un punt $P$ a la vorera de la ciutat A i un punt $Q$ a la vorera de la ciutat B (situat just al davant), un topògraf recorre $60\text{ m}$ per la vorera de la ciutat A fins a un punt $R$. Des de $R$, camina $20\text{ m}$ més en la mateixa direcció fins a un punt $S$. A $S$, gira $90^\circ$ i s'allunya del riu fins que els punts $Q$ i $R$ queden alineats amb la seva posició actual ($T$). Si la distància $ST$ és de $15\text{ m}$:

1. a) Calcula l'amplada del riu ($PQ$).
2. b) Calcula la distància en línia recta entre el topògraf al punt $T$ i el punt $Q$ a l'altre costat del riu.

Un dron projecta un feix de llum cònic sobre un terreny pla. A una alçària de $10\text{ m}$, el feix il·lumina un cercle de $4\text{ m}$ de radi. El dron descendeix fins a una alçària en la qual l'àrea il·luminada es redueix exactament a la quarta part de l'original.

Dibuixa l'esquema al teu quadern.

1. a) A quina alçària es troba ara el dron?
2. b) Si al centre de l'àrea il·luminada hi ha un objecte cilíndric d'$1,5\text{ m}$ d'alçària i $0,85\text{ m}$ de radi, quin radi tindrà l'ombra projectada per aquest objecte quan el dron era a $10\text{ m}$ d'alçària?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un mapa d'una zona forestal, un incendi ha afectat una superfície amb forma de trapezi. Les bases del trapezi al mapa mesuren $4\text{ cm}$ i $7\text{ cm}$, i la seva altura és de $3\text{ cm}$. Es sap que la superfície real afectada és de $16,5\text{ hectàrees}$ ($1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2$).

1. a) Calcula l'escala del mapa.
2. b) Si es decideix reforestar una zona adjacent que al mapa és un triangle semblant al que es formaria en prolongar els costats no paral·lels del trapezi, i la base del qual és la base menor del trapezi, quina superfície real tindrà aquesta zona de reforestació?

Es projecta una diapositiva sobre una pantalla situada a $6\text{ m}$ de distància. La mida de la imatge projectada és de $1,8\text{ m}$ d'alçària per $2,4\text{ m}$ d'amplària.

1. a) Si la diapositiva original té unes dimensions de $24\text{ mm}$ per $32\text{ mm}$, a quina distància de la diapositiva es troba el focus de llum del projector?
2. b) Si movem la pantalla perquè estigui a $9\text{ m}$ del projector, quantes vegades augmentarà l'àrea de la imatge respecte a la projecció anterior?

Considera un triangle isòsceles $ABC$ on el costat desigual $BC$ mesura $12\text{ cm}$ i els costats iguals mesuren $10\text{ cm}$ cadascun. Inscrit en ell, es col·loca un quadrat la base del qual descansa sobre el costat $BC$ del triangle i els seus altres dos vèrtexs toquen els costats $AB$ i $AC$.

Utilitza la semblança entre el triangle original i el triangle petit que queda per sobre del quadrat per calcular el costat del quadrat.

Per garantir l'accessibilitat en una estació de ferrocarril, s'instal·la una rampa recta contínua que salva un desnivell vertical d'$1,2\text{ m}$ sobre una distància horitzontal a terra de $9\text{ m}$. Per motius estructurals, s'ha de col·locar un pilar vertical de suport a $3\text{ m}$ de distància horitzontal des de l'inici de la rampa. Es necessita calcular l'alçària $h$ d'aquest pilar i la longitud $d$ del tram inclinat de rampa que va des de terra fins a l'extrem superior del pilar.

Per resoldre-ho, dos tècnics discuteixen quin camí és més convenient:

• Estratègia 1 (Semblança geomètrica directa): Considerar el triangle gran complet i el triangle petit sota el pilar com a semblants en posició de Tales; calcular la hipotenusa gran per Pitàgores i després reduir-la amb la raó de semblança horitzontal.

• Estratègia 2 (Pendent i Pitàgores local): Calcular el pendent constant de la rampa com a quocient vertical/horitzontal ($1,2 / 9$), aplicar aquest pendent al tram de $3\text{ m}$ per obtenir directament $h$, i després aplicar el teorema de Pitàgores únicament sobre el triangle menor.

1. a) Resol el problema aplicant detalladament els passos de l'Estratègia 1.
2. b) Resol el problema aplicant detalladament els passos de l'Estratègia 2.
3. c) Compara tots dos procediments: analitza quin dels dos evita arrossegar decimals periòdics o aproximacions intermèdies i justifica raonadament quin recomanaries per minimitzar errors en els plànols d'una obra.

Per avaluar les pèrdues per sequera en una finca agrícola de Lleida, un perit utilitza una càmera fotogràfica amb un sensor rectangular de $36\text{ mm} \times 24\text{ mm}$ i un objectiu amb una distància focal fixa de $50\text{ mm}$. La càmera es munta en un dron que apunta perpendicularment cap a terra, de manera que l'objectiu actua com a vèrtex comú de dues piràmides de visió invertides i semblants (la que va de l'objectiu al sensor intern i la que va de l'objectiu al terreny exterior).

1. a) Si el dron vola a una alçària fixa de $150\text{ m}$ sobre el terra de la finca, demostra per què el terreny abastat per la foto és semblant al sensor de la càmera i determina la raó de semblança lineal $k$ entre el terreny real i la imatge capturada al sensor (atenció a la coherència d'unitats).
2. b) Calcula les dimensions reals en metres (llargada i amplada) del rectangle de conreu que apareix en una fotografia i calcula l'àrea de terreny abastada a cada tret (en metres quadrats i en hectàrees).
3. c) Problema invers: Suposa que, per a una inspecció de més detall, la normativa exigeix que cada fotografia abasti una àrea de terreny d'exactament $2\,160\text{ m}^2$. Utilitzant la relació matemàtica entre la raó d'àrees i la raó de longituds, dedueix a quina alçària exacta sobre el terra ha de volar el dron per complir aquest requisit.