Ejercicios: Triángulos

Para decorar su habitación, Lucía ha recortado un banderín de tela con forma de triángulo. Al medir sus lados, ha visto que miden $15\text{ cm}$, $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. ¿Cómo se clasifica este triángulo según la longitud de sus lados?

En un triángulo, conocemos la medida de dos de sus ángulos interiores: $\hat{A} = 45^\circ$ y $\hat{B} = 75^\circ$. Calcula cuánto mide el tercer ángulo $\hat{C}$ sabiendo que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre $180^\circ$.

Marcos tiene tres varillas de madera para construir una estructura triangular. Las longitudes de las varillas son $12\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ y $4\text{ cm}$. Explica razonadamente si Marcos podrá formar un triángulo con ellas o si le resultará imposible.

Clasifica los siguientes triángulos según la medida de sus ángulos (acutángulo, rectángulo u obtusángulo):

• Triángulo 1: Sus ángulos miden $90^\circ$, $40^\circ$ y $50^\circ$.

• Triángulo 2: Sus ángulos miden $110^\circ$, $30^\circ$ y $40^\circ$.

• Triángulo 3: Sus ángulos miden $60^\circ$, $60^\circ$ y $60^\circ$.

Un jardín tiene forma de triángulo equilátero. Si uno de sus lados mide $8\text{ metros}$, ¿cuántos metros de valla necesitaremos para rodearlo completamente? Calcula su perímetro.

Un triángulo isósceles tiene un ángulo desigual que mide $40^\circ$. Si los otros dos ángulos son iguales entre sí, ¿cuál es la medida de cada uno de esos ángulos iguales?

Observa la señal de tráfico de "Ceda el paso". Tiene forma de triángulo equilátero. Indica cuánto debe medir cada uno de sus ángulos interiores sin necesidad de usar un transportador. Justifica tu respuesta basándote en las propiedades de este tipo de polígonos.

En un triángulo rectángulo, los dos lados que forman el ángulo de $90^\circ$ miden $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$. ¿Cómo se llaman esos dos lados en la terminología matemática de los triángulos rectángulos? ¿Y cómo se llama el lado más largo que queda frente al ángulo recto?

En un taller de diseño gráfico, están creando un nuevo logotipo que tiene forma de triángulo. Sabemos que dos de sus ángulos interiores miden $42^\circ$ y $68^\circ$.

1. a) Calcula cuánto mide el tercer ángulo del logotipo.
2. b) Clasifica el triángulo según sus ángulos (acutángulo, rectángulo u obtusángulo).
3. c) Clasifica el triángulo según sus lados (equilátero, isósceles o escaleno).

Un carpintero tiene tres listones de madera para fabricar un marco triangular para un espejo. Los listones miden $15\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ y $24\text{ cm}$.

1. a) Explica, utilizando la propiedad de la suma de los lados de un triángulo, si es posible construir el marco con esas medidas.
2. b) Si decide cambiar el listón de $24\text{ cm}$ por uno de $20\text{ cm}$, ¿podría construirlo ahora? Razona tu respuesta.

Una tienda de campaña tiene un frontal con forma de triángulo isósceles. La base de la tienda mide $2,4\text{ metros}$ y los dos lados iguales miden $2\text{ metros}$ cada uno.

1. a) Utiliza el teorema de Pitágoras para calcular la altura de la tienda de campaña.
2. b) Calcula el área de la lona necesaria para cubrir únicamente el frontal de la tienda.

Tres pueblos, Altea ($A$), Belmonte ($B$) y Calar ($C$), están situados de forma que forman un triángulo escaleno. Se quiere instalar una torre de telecomunicaciones que esté exactamente a la misma distancia de los tres pueblos.

1. a) ¿Qué punto notable del triángulo representa la ubicación de la torre?
2. b) ¿Qué rectas notables has tenido que trazar para encontrar dicho punto? Dibuja un esquema aproximado de la situación.

Un parque infantil tiene un arenero en forma de triángulo rectángulo. Sabemos que el lado más largo (la hipotenusa) mide $13\text{ metros}$ y uno de los lados que forma el ángulo recto mide $5\text{ metros}$.

1. a) Calcula la longitud del otro lado del arenero.
2. b) Halla el perímetro total del arenero.
3. c) Calcula la superficie que ocupa la arena.

Se ha diseñado una señal de tráfico triangular que es un triángulo equilátero de $60\text{ cm}$ de lado.

1. a) Si queremos poner un borde reflectante alrededor de la señal, ¿cuántos metros de material reflectante necesitaremos?
2. b) Si trazamos las tres bisectrices del triángulo, ¿cómo se llama el punto donde se cruzan? ¿Qué propiedad especial tiene este punto con respecto a los lados de la señal?

Observa la siguiente figura compuesta por dos triángulos. El triángulo $ABC$ es rectángulo en $B$ y el triángulo $ACD$ es isósceles con $\overline{AC} = \overline{AD}$.

Si $\overline{AB} = 8\text{ cm}$ y $\overline{BC} = 6\text{ cm}$, calcula:

1. a) La longitud del lado $\overline{AC}$.
2. b) El perímetro total de la figura sombreada $ABCD$ sabiendo que $\overline{CD} = 7\text{ cm}$.

En un jardín, se quiere colocar una valla que delimite una zona de flores con forma de triángulo isósceles. El ángulo desigual mide $100^\circ$.

1. a) ¿Cuánto miden cada uno de los otros dos ángulos de la zona de flores?
2. b) Si trazamos la mediana desde el vértice del ángulo de $100^\circ$ hacia el lado opuesto, ¿en qué dos tipos de triángulos queda dividida la zona? Clasifícalos según sus ángulos.

En un taller de diseño de videojuegos, un programador necesita crear un personaje con forma de triángulo isósceles. El ángulo desigual del vértice superior mide el triple que uno de los ángulos de la base, menos $20^\circ$. Calcula la medida de los tres ángulos del personaje para que el diseño sea geométricamente correcto.

Tres pueblos de la sierra, Alpedrete, Becerril y Cercedilla, quieren construir una torre de telefonía que esté exactamente a la misma distancia de los tres para que todos tengan la misma cobertura.

1. ¿Cómo se llama el punto notable del triángulo donde deben colocar la torre?

2. Si el triángulo que forman los pueblos es obtusángulo, explica razonadamente si la torre estará dentro o fuera del área delimitada por los tres pueblos.

3. Dibuja un esquema aproximado de la situación.

Un arquitecto está diseñando una rampa para un skatepark. Ha calculado que el soporte principal debe formar un triángulo de lados $x + 2$ metros, $2x - 1$ metros y $10$ metros.

1. Si el triángulo debe ser equilátero, ¿cuánto debe valer $x$?

2. Si $x = 3$, ¿es posible construir ese triángulo? Justifica tu respuesta utilizando la propiedad de la suma de los lados de un triángulo.

En el logo de una nueva marca de ropa deportiva, aparecen dos rectángulos que se cruzan formando varios triángulos. En el triángulo central $ABC$, sabemos que el ángulo en $A$ mide $45^\circ$ y que el ángulo exterior al vértice $B$ mide $115^\circ$.

1. Calcula los tres ángulos interiores del triángulo $ABC$.

2. Clasifica el triángulo según sus lados y según sus ángulos.

Un jardín tiene forma de rectángulo de $12 \times 8$ metros. Para instalar un sistema de riego, se ha dividido el jardín trazando una diagonal. En uno de los dos triángulos resultantes, se quiere colocar un aspersor circular en el incentro.

1. Explica qué son las bisectrices y por qué el aspersor en el incentro es la mejor opción para que esté a la misma distancia de los bordes del jardín.

2. Dibuja el rectángulo, la diagonal y el incentro de uno de los triángulos de manera esquemática.

Observa la figura adjunta, que representa una pieza metálica. Está formada por un triángulo rectángulo grande y otro más pequeño en su interior. Sabemos que el cateto horizontal del grande mide $15 \text{ cm}$ y su área es de $60 \text{ cm}^2$. El triángulo pequeño es semejante y tiene una base de $5 \text{ cm}$.

1. Calcula la altura del triángulo grande.

2. Utilizando la lógica de las proporciones, calcula el área del triángulo pequeño. (Pista: si la base es la tercera parte, ¿qué pasará con la altura?).

Un explorador ha colocado una cuerda de $24$ metros rodeando un terreno triangular para montar su campamento.

1. Si el terreno es un triángulo isósceles y uno de los lados iguales mide $9 \text{ metros}$, ¿cuánto mide el lado restante?

2. Si el explorador quisiera que el triángulo fuera rectángulo con lados de $6 \text{ m}$, $8 \text{ m}$ y $10 \text{ m}$, ¿le serviría la misma cuerda? Comprueba también si se cumple el Teorema de Pitágoras en este último caso.

En un examen de geometría avanzada, se presenta un triángulo donde las tres medianas se cortan en un punto $G$ (Baricentro). Si la mediana que sale del vértice $A$ mide un total de $12 \text{ cm}$, calcula la medida de los dos segmentos en los que el punto $G$ divide a dicha mediana. (Recuerda la propiedad: el baricentro divide a la mediana en dos partes, siendo una el doble que la otra).