Ejercicios: Polígonos

Imagina que estás diseñando los iconos para una nueva aplicación de móvil. Para que el diseño sea limpio, el programador te pide que identifiques cuáles de estas figuras son polígonos y cuáles no. Justifica tu respuesta brevemente indicando qué característica falla en las figuras que no lo son.

En el siguiente polígono, que representa la planta de un pequeño trastero, identifica y cuenta los siguientes elementos:

• Número de vértices.

• Número de lados.

• Número de ángulos interiores.

• Traza una diagonal que una el vértice $A$ con el vértice $C$.

Clasifica los siguientes polígonos según su número de lados utilizando los nombres técnicos correspondientes (triángulo, cuadrilátero, pentágono, etc.):

Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores de $180^\circ$ y cóncavo si tiene al menos uno mayor de $180^\circ$. Observa estas dos flechas de señalización e indica cuál es cóncava y cuál es convexa.

Para que un polígono sea regular, debe tener todos sus lados de la misma longitud y todos sus ángulos iguales. Observa las siguientes figuras de un videojuego y determina cuál de ellas cumple las condiciones para ser un polígono regular.

Calcula el perímetro de la siguiente parcela de jardín si sabemos que sus lados miden las cantidades indicadas en el dibujo. Recuerda que el perímetro es la suma de las longitudes de todos sus lados.

Sabemos que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre $180^\circ$. Si dividimos un cuadrilátero cualquiera trazando una de sus diagonales, obtenemos dos triángulos. Basándote en esto, ¿cuánto crees que sumarán los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero?

Una diagonal es un segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono. Fíjate en el pentágono (5 lados) del dibujo y dibuja todas las diagonales posibles que salgan desde el vértice marcado en naranja. ¿Cuántas diagonales totales crees que tiene un pentágono si las dibujas todas?

Un grupo de ingenieros está diseñando una nueva antena de comunicaciones con forma de heptágono convexo. Para asegurar la estructura, necesitan colocar cables de refuerzo que unan todos los vértices entre sí, pero que no sean los propios lados de la antena. ¿Cuántos cables de refuerzo (diagonales) tendrán que instalar en total? Dibuja el polígono y traza todas las diagonales que salen desde un único vértice para ayudarte a razonar.

En un videojuego de construcción, un jugador ha diseñado una parcela con forma de cuadrilátero irregular para colocar un huerto. Al medir los ángulos interiores con una herramienta del juego, obtiene los siguientes valores: $115^\circ$, $82^\circ$ y $96^\circ$. El cuarto ángulo está oculto por un error de la interfaz. Calcula el valor de dicho ángulo sabiendo que la suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es siempre la misma.

Una pista de skate tiene el perfil lateral que se muestra en el siguiente dibujo. Observa la figura y responde razonadamente a las siguientes preguntas:

• ¿Se trata de un polígono cóncavo o convexo? ¿Por qué?

• Indica el número de lados, vértices y diagonales totales que tiene este polígono.

El diafragma de una cámara de fotos profesional está formado por láminas que, al cerrarse, dejan un hueco con forma de octógono regular.

• Calcula cuánto mide el ángulo central de este octógono.

• Calcula cuánto mide cada uno de sus ángulos interiores.

• Si la cámara tuviera un diafragma de 10 lados (decágono regular), ¿el ángulo central sería mayor o menor? Justifica tu respuesta.

Un decorador está diseñando un mosaico moderno utilizando piezas con forma de pentágono regular. Al intentar juntar tres piezas en un mismo punto (vértice común), se da cuenta de que queda un pequeño hueco vacío.

• Calcula la medida del ángulo interior de un pentágono regular.

• Sabiendo que una vuelta completa alrededor de un punto son $360^\circ$, ¿cuántos grados mide el hueco que queda libre al juntar tres pentágonos?

Para un proyecto de robótica, una placa metálica debe tener la forma de un hexágono. El fabricante dice que la placa es "equiángula" (todos sus ángulos interiores son iguales), pero no es "equilátera" (sus lados no miden lo mismo).

• ¿Es este hexágono un polígono regular? Razona la respuesta basándote en la definición.

• Si la placa tiene 6 lados, ¿cuánto debe sumar la medida de todos sus ángulos interiores?

• ¿Cuál es el valor de cada uno de sus ángulos interiores?

Ocho amigos se sientan alrededor de una mesa circular para jugar a un juego de rol. Cada jugador debe tener un "vínculo mágico" (una cuerda de color) con todos los demás jugadores de la mesa, excepto con los que tiene sentados justo a su lado izquierdo y derecho. Si consideramos que los jugadores son los vértices de un octógono:

• ¿Qué elemento del polígono representan las cuerdas de los "vínculos mágicos"?

• Calcula el número total de cuerdas que habrá sobre la mesa.

Calcula el perímetro de un pentágono irregular sabiendo que tiene dos lados de $8\text{ cm}$ cada uno, otros dos lados que miden el doble que los anteriores, y un último lado que mide la mitad de la suma de los otros cuatro. ¿Sería posible que este pentágono fuera regular? Explica por qué.

Un arquitecto está diseñando una claraboya con forma de polígono regular. Se sabe que la suma de todos sus ángulos interiores es de exactamente $1080^\circ$. Sin embargo, por un error de fabricación, uno de los ángulos interiores ha resultado ser $5^\circ$ mayor de lo que debería.

1. ¿Cuántos lados tiene la claraboya original?

2. Si el resto de los ángulos se mantienen iguales, ¿cuánto mide el ángulo que ha salido defectuoso?

3. ¿Sigue siendo un polígono regular? Razona tu respuesta basándote en la definición de polígono regular.

En un taller de joyería se está diseñando un colgante uniendo dos tipos de piezas: un hexágono regular y seis triángulos equiláteros. Si el perímetro del hexágono central es de $24 \text{ cm}$:

1. ¿Cuál es el perímetro total de la figura estrellada resultante?

2. Calcula el valor del ángulo interior de los picos de la estrella (los ángulos que no tocan al hexágono).

3. Si duplicamos el lado del hexágono, ¿qué ocurre con el perímetro total de la estrella? ¿Se duplica, se triplica o aumenta en otra proporción?

Dispones de tres varillas rígidas para construir un triángulo. La primera mide $15 \text{ cm}$ y la segunda $8 \text{ cm}$.

1. ¿Cuál es la medida mínima (en números enteros de centímetros) que debe tener la tercera varilla para poder formar el triángulo?

2. ¿Cuál es la medida máxima que podría tener?

3. Si la tercera varilla midiera exactamente $17 \text{ cm}$, ¿qué tipo de triángulo obtendrías según sus ángulos? (Pista: Comprueba si se cumple la relación $a^2 = b^2 + c^2$).

Observa la siguiente figura, que representa un logotipo formado por un cuadrado de lado $10 \text{ cm}$ al que se le han "recortado" dos triángulos en sus esquinas superiores.

1. Clasifica el polígono resultante (el área sombreada) según su número de lados y su tipo (cóncavo o convexo).

2. Si los cortes se han hecho justo por los puntos medios de los lados del cuadrado, calcula el perímetro del nuevo polígono.

3. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de este nuevo polígono?

Un parque infantil tiene forma de pentágono irregular. Sus ángulos interiores son $100^\circ$, $110^\circ$, $120^\circ$ y $90^\circ$.

1. Calcula la medida del quinto ángulo.

2. ¿Es posible que este parque sea un pentágono convexo? Justifica tu respuesta.

3. Si el ángulo de $90^\circ$ se encuentra entre dos lados de $12 \text{ m}$ y $16 \text{ m}$, ¿cuánto mediría el segmento que une los extremos de esos dos lados? (Usa el Teorema de Pitágoras).

En un cuadrilátero cualquiera, sabemos que las diagonales son perpendiculares y miden lo mismo, pero no se cortan en su punto medio.

1. ¿De qué figura se trata? Dibuja un ejemplo aproximado.

2. Si las diagonales miden $14 \text{ cm}$, ¿podemos calcular el área del cuadrilátero aunque no sea un rombo ni un cuadrado? Si es así, calcúlala.

3. Investiga: ¿Qué nombre recibe el cuadrilátero que tiene dos pares de lados consecutivos iguales (forma de cometa)?

Un equipo de diseño gráfico quiere crear una baldosa con forma de hexágono regular de lado $L$. Dentro del hexágono, trazan todas las diagonales que salen de un mismo vértice.

1. ¿En cuántos triángulos queda dividido el hexágono?

2. ¿Son esos triángulos iguales entre sí? Clasifícalos según sus lados.

3. Si el ángulo interior del hexágono es de $120^\circ$, ¿cuánto miden los ángulos de cada uno de los triángulos formados?

Imagina un polígono regular donde el valor de su ángulo central es la cuarta parte del valor de su ángulo interior.

1. Plantea una ecuación que relacione el ángulo central ($360/n$) y el ángulo interior ($180 \cdot (n-2) / n$) para hallar el número de lados $n$.

2. ¿Cómo se llama este polígono?

3. ¿Cuál es la suma de sus ángulos exteriores? (Recuerda que esta propiedad es común a todos los polígonos convexos).