Ejercicios: Números primos y descomposición factorial

En una convención de coleccionistas de cartas, se han numerado los expositores del $10$ al $25$. Los organizadores quieren destacar los puestos que tienen un número primo con un cartel naranja. Escribe la lista de todos los números de puesto que deberían llevar el cartel naranja.

La Criba de Eratóstenes funciona como un filtro que deja pasar solo a los números primos. Si vertemos los números del $1$ al $10$ en el filtro, explica por qué el número $1$ no se considera primo y por qué el número $9$ se queda atrapado en el filtro de los números compuestos.

En clase de Educación Física, el profesor quiere organizar a los $13$ alumnos en filas y columnas perfectas para hacer un ejercicio (por ejemplo, $2$ filas de $6$ personas).

1. a) ¿Por qué no puede hacerlo con $13$ alumnos de ninguna forma que no sea una única fila de $13$?
2. b) ¿Qué tipo de número es el $13$ según sus divisores?

Clasifica los siguientes números en la tabla según sean primos (solo tienen dos divisores: el $1$ y ellos mismos) o compuestos (tienen más de dos divisores):

$11, 14, 19, 21, 23, 27, 31, 33$

Observa la siguiente "torre de división" (descomposición factorial) e identifica los números que faltan en los huecos vacíos para que sea correcta:

Descompón en factores primos el número $40$ utilizando el método de la barra vertical y expresa el resultado como un producto de potencias.

Averigua de qué número se trata en cada caso resolviendo las potencias y multiplicando los factores:

1. a) $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = $
2. b) $2 \cdot 3^3 = $
3. c) $3^2 \cdot 11 = $

El número $12$ puede representarse de forma rectangular de varias maneras (por ejemplo, $2 \times 6$ o $3 \times 4$). Sin embargo, un número primo solo puede formar una fila.

Observa el dibujo y descompón factorialmente el número de puntos totales que forman el rectángulo:

Clasifica los siguientes números en primos o compuestos razonando tu respuesta mediante los criterios de divisibilidad. Para los números compuestos, indica al menos un divisor distinto de $1$ y de sí mismo:

$47, 51, 67, 87, 91, 101$

Realiza la descomposición en factores primos (factorización) de los siguientes números utilizando el método de la barra vertical. Expresa el resultado final utilizando potencias cuando sea posible:

1. a) $180$
2. b) $252$
3. c) $450$

En una clase de matemáticas, el profesor dice que para saber si un número menor que $100$ es primo, basta con comprobar que no es divisible por $2, 3, 5$ y $7$.

Razona por qué no hace falta comprobar si es divisible por $11$ o por otros números primos mayores. Aplica esta idea para comprobar si el número $97$ es primo.

Halla todos los divisores de los siguientes números utilizando su descomposición factorial. Muestra el proceso de combinación de factores:

1. a) $28$
2. b) $42$

Marta tiene una colección de monedas antiguas. Si las agrupa de $6$ en $6$, le sobran $3$. Si las agrupa de $10$ en $10$, también le sobran $3$.

Sabiendo que tiene más de $50$ monedas pero menos de $80$, ¿cuántas monedas tiene exactamente Marta en su colección? (Pista: relaciona el problema con el concepto de mínimo común múltiplo).

Completa los huecos vacíos en este árbol de factores del número $120$. Recuerda que cada rama debe terminar en un número primo para que la descomposición sea completa. Escribe después el resultado final usando potencias.

A veces, para descomponer números terminados en cero, podemos usar "atajos" mentales. Por ejemplo, sabemos que $10 = 2 \cdot 5$.

Factoriza los siguientes números utilizando este truco para ahorrar tiempo en la raya vertical:

1. a) $1.200$
2. b) $4.500$
3. c) $18.000$

Encuentra todos los divisores del número $N$ sabiendo que su descomposición factorial es $N = 2^2 \cdot 13$. ¿Es $N$ un número compuesto o primo? Justifica tu respuesta basándote en la definición de estos tipos de números.

Un número natural $N$ tiene la siguiente particularidad: su descomposición en factores primos es de la forma $2^a \cdot 3^b$. Sabemos que si multiplicamos $N$ por $2$, el número de sus divisores aumenta en $3$, y si lo multiplicamos por $3$, el número de sus divisores aumenta en $4$.

Calcula el valor de los exponentes $a$ y $b$, y halla el número $N$.

Pista: Recuerda que si un número es $p^x \cdot q^y$, el número total de sus divisores es $(x + 1) \cdot (y + 1)$.

Para comprobar si el número $601$ es primo, un estudiante afirma que solo necesita dividirlo por los números primos menores que $25$.

1. a) Justifica por qué el estudiante ha elegido el número $25$ como límite.
2. b) Realiza las divisiones necesarias siguiendo su razonamiento y determina si $601$ es primo o compuesto.
3. c) ¿Cuál es el número primo más grande que tendrías que probar para saber si $1009$ es primo?

Un número "perfecto" es aquel que es igual a la suma de todos sus divisores propios (todos sus divisores excepto él mismo). Por ejemplo, el $6$ es perfecto porque sus divisores son $1, 2, 3$ y $1 + 2 + 3 = 6$.

1. a) Comprueba si el número $28$ es un número perfecto.
2. b) El siguiente número perfecto es mayor que $400$ y menor que $500$. Sabiendo que es múltiplo de $16$ y de $31$, utiliza la descomposición factorial para encontrarlo.

En ciberseguridad, se utilizan números primos muy grandes para crear claves. Supongamos que una clave de seguridad se genera multiplicando dos números primos distintos, $p$ y $q$. El resultado es $N = p \cdot q$.

Si sabemos que $N = 1591$ y que uno de los números primos es cercano a la raíz cuadrada de $N$:

1. a) Encuentra los valores de $p$ y $q$.
2. b) ¿Cuántos divisores totales tiene el número $N$? Justifica tu respuesta sin listarlos.

En el laboratorio de matemáticas han dejado una descomposición factorial incompleta en la pizarra. Ayuda a reconstruirla sabiendo que el número original es menor que $500$.

Calcula el valor del número original $X$, el cociente intermedio $Y$ y el factor primo $P$ sabiendo que $P$ es el número primo más pequeño posible que hace que $X$ sea múltiplo de $3$.

Halla el número más pequeño que tiene exactamente $6$ divisores, sabiendo que en su descomposición factorial solo aparecen los dos primeros números primos. Explica tu razonamiento analizando los exponentes de su descomposición.

El área de un jardín rectangular es de $252$ $m^2$. Si sabemos que las medidas de sus lados (en metros) son números naturales y que el lado más largo es múltiplo de $3$ y de $7$, pero no de $2$, utiliza la descomposición factorial del número $252$ para encontrar todas las posibles dimensiones del jardín.

Dados los números $A = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11$ y $B = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 7$.

Sin calcular el valor numérico de $A$ ni de $B$, responde razonadamente:

1. a) ¿Es el producto $A \cdot B$ divisible por $55$?
2. b) ¿Es el producto $A \cdot B$ un múltiplo de $54$?
3. c) ¿Cuál es la descomposición factorial del número que resulta de hacer $M.C.D.(A, B)$?