Posizioni reciproche
Due funivie in Dolomiti hanno i cavi che, visti dal basso, sembrano incrociarsi. Si toccano davvero? Nel piano due rette distinte o si incontrano o sono parallele. Nello spazio c'è una terza possibilità: due rette possono non essere parallele e non incontrarsi mai. In questa pagina impari a distinguere tutti i casi tra rette e piani con un unico metodo: confrontare vettori e risolvere sistemi.
Rette e piani: come si scrivono
Una retta $r$ è individuata da un punto $A$ e da un vettore direzione $\vec v=(l,m,n)$. Le sue equazioni parametriche sono
$$\begin{cases} x = x_A + l\,t\\ y = y_A + m\,t\\ z = z_A + n\,t\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}$$Se $l,m,n\neq 0$ eliminando $t$ si ottiene la forma simmetrica $\dfrac{x-x_A}{l}=\dfrac{y-y_A}{m}=\dfrac{z-z_A}{n}$. I denominatori sono le componenti del vettore direzione.
Un piano $\pi: ax+by+cz+d=0$ ha vettore normale $\vec n=(a,b,c)$, perpendicolare al piano. Se nell'equazione manca una variabile, il suo coefficiente è $0$: per $2x-5z+3=0$ il vettore normale è $(2;0;-5)$.
Una retta può essere data anche come intersezione di due piani (equazioni cartesiane). Allora il vettore direzione è perpendicolare ad entrambe le normali, quindi $\vec v=\vec n_1\times\vec n_2$.
Un satellite di osservazione segue una traiettoria lineare nello spazio definita dalla retta $r: (x, y, z) = (1, 2, 0) + \lambda(2, -1, 3)$. Si vuole verificare se il…
Un satellite di osservazione segue una traiettoria lineare nello spazio definita dalla retta $r: (x, y, z) = (1, 2, 0) + \lambda(2, -1, 3)$. Si vuole verificare se il satellite passerà esattamente per un punto di controllo situato in $P(5, 0, 6)$. Determina se il punto $P$ appartiene alla traiettoria del satellite.
Due rette: coincidenti, parallele, incidenti, sghembe
La complanarità si verifica con il determinante: $\det(\vec u,\vec v,\overrightarrow{AB})=0$ se e solo se i tre vettori sono complanari.
Date le rette $r$ e $s$ espresse mediante le loro equazioni parametriche: $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ e…
Date le rette $r$ e $s$ espresse mediante le loro equazioni parametriche:
$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ e $s: \begin{cases} x = \mu \\ y = 1 + \mu \\ z = 2 - \mu \end{cases}$
Studia la posizione reciproca confrontando i loro vettori direttori. Sono parallele o hanno direzioni diverse?
Dati i punti $A(1, 0, -1)$, $B(2, 1, 0)$ e $C(3, 2, 1)$, determina la posizione reciproca della retta passante per $A$ e $B$ rispetto alla retta passante per $B$ e $C$.…
Dati i punti $A(1, 0, -1)$, $B(2, 1, 0)$ e $C(3, 2, 1)$, determina la posizione reciproca della retta passante per $A$ e $B$ rispetto alla retta passante per $B$ e $C$. Si tratta della stessa retta (coincidenti) oppure sono rette incidenti nel punto $B$?
Studia la posizione reciproca delle seguenti rette $r$ e $s$. Nel caso in cui siano incidenti, calcola le coordinate del punto di intersezione:…
Studia la posizione reciproca delle seguenti rette $r$ e $s$. Nel caso in cui siano incidenti, calcola le coordinate del punto di intersezione:
$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -2\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$
$s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-4}{-1}$
Retta e piano: contenuta, parallela, incidente
Per trovare il punto d'incontro, sostituisci le equazioni parametriche di $r$ nell'equazione di $\pi$ e risolvi in $t$.
Un raggio laser si propaga lungo la retta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{3}$ e incide su una lastra di vetro piana di equazione $\pi: x + y + z - 1 = 0$.…
Un raggio laser si propaga lungo la retta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{3}$ e incide su una lastra di vetro piana di equazione $\pi: x + y + z - 1 = 0$. Determina la posizione reciproca tra il raggio laser e la lastra. Nel caso in cui si intersechino, calcola le coordinate del punto di impatto.
Verifica se la retta $r$, definita come intersezione dei piani $x + y = 2$ e $x - y = 0$, è parallela al piano coordinato $XY$ (il piano $z = 0$). Motiva la risposta…
Verifica se la retta $r$, definita come intersezione dei piani $x + y = 2$ e $x - y = 0$, è parallela al piano coordinato $XY$ (il piano $z = 0$). Motiva la risposta basandoti sul vettore direttore della retta.
Un architetto utilizza un software di progettazione per collocare una trave strutturale rappresentata dalla retta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y+1}{-2} = \dfrac{z-4}{4}$.…
Un architetto utilizza un software di progettazione per collocare una trave strutturale rappresentata dalla retta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y+1}{-2} = \dfrac{z-4}{4}$. Determina se la trave è perpendicolare al piano della facciata $\pi: 3x - 2y + 4z + 1 = 0$. Giustifica la risposta.
Due piani: coincidenti, paralleli, incidenti
Determina il valore del parametro $k$ affinché i piani $\pi_1: x + ky + z - 2 = 0$ e $\pi_2: 2x - 4y + 2z + 1 = 0$ siano paralleli. Per tale valore di $k$, i piani…
Determina il valore del parametro $k$ affinché i piani $\pi_1: x + ky + z - 2 = 0$ e $\pi_2: 2x - 4y + 2z + 1 = 0$ siano paralleli. Per tale valore di $k$, i piani potrebbero essere coincidenti? Giustifica la risposta osservando i termini noti.
Nella progettazione di un edificio intelligente sono state definite due superfici piane corrispondenti al soffitto e al pavimento di un piano tecnico. Le equazioni dei…
Nella progettazione di un edificio intelligente sono state definite due superfici piane corrispondenti al soffitto e al pavimento di un piano tecnico. Le equazioni dei piani sono $\pi_1: 2x - y + 3z - 5 = 0$ e $\pi_2: 4x - 2y + 6z + 8 = 0$. Analizza la posizione reciproca dei due piani per confermare se sono paralleli.
Tre piani: il rango decide
Tre piani formano un sistema di tre equazioni in tre incognite. Sia $M$ la matrice dei coefficienti e $M'$ la matrice completa (con la colonna dei termini noti).
Discuti, in funzione del parametro reale $m$, la posizione reciproca dei seguenti tre piani: $\pi_1: mx + y + z = 1$ $\pi_2: x + my + z = m$ $\pi_3: x + y + mz = m^2$
Discuti, in funzione del parametro reale $m$, la posizione reciproca dei seguenti tre piani:
$\pi_1: mx + y + z = 1$
$\pi_2: x + my + z = m$
$\pi_3: x + y + mz = m^2$
In un progetto di design industriale, tre superfici sono definite mediante i seguenti piani nello spazio: $\pi_1: x + ay + z = a$ $\pi_2: ax + y + (a-1)z = 1$…
In un progetto di design industriale, tre superfici sono definite mediante i seguenti piani nello spazio:
$\pi_1: x + ay + z = a$
$\pi_2: ax + y + (a-1)z = 1$
$\pi_3: x + y + z = 1$
Discuti la posizione reciproca dei tre piani al variare del parametro reale $a$. Nei casi in cui i tre piani si intersecano in una retta (formando un fascio di piani), ottieni l'equazione parametrica di tale retta.
Un architetto progetta una struttura in cui tre travi di sostegno devono convergere in un punto. Le facce dei pilastri principali poggiano sui piani:…
Un architetto progetta una struttura in cui tre travi di sostegno devono convergere in un punto. Le facce dei pilastri principali poggiano sui piani:
$\pi_1: x + 2y - z = 3$
$\pi_2: 2x - y + z = 1$
$\pi_3: 5x + ay + bz = 5$
Calcola i valori di $a$ e $b$ in modo che:
- a) I tre piani si intersechino in un'unica retta (la trave di sostegno comune).
- b) I tre piani non abbiano alcun punto in comune e si intersechino a due a due (formando un prisma infinito). Spiega quale relazione devono soddisfare i ranghi della matrice dei coefficienti e della matrice completa in questo caso.
Costruire rette e piani con una condizione di posizione
Molti problemi chiedono di costruire un piano o una retta con una certa posizione. Il metodo è sempre lo stesso: traduci la condizione in una relazione tra vettori.
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Piano che contiene una retta $r$ ed è parallelo a un'altra retta $s$: il vettore normale è perpendicolare a entrambe le direzioni, $\vec n=\vec u_r\times\vec u_s$, e il piano passa per un punto di $r$.
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Perpendicolare comune a due rette sghembe: ha direzione $\vec n=\vec u\times\vec v$. È l'intersezione del piano per $r$ con direzioni $\vec u,\vec n$ e del piano per $s$ con direzioni $\vec v,\vec n$.
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Proiezione ortogonale di $r$ su $\pi$: è l'intersezione di $\pi$ con il piano che contiene $r$ e il vettore normale di $\pi$.
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Piano per tre punti non allineati $P,Q,R$: il vettore normale è $\vec n=\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}$ e il piano passa per $P$. Se $\overrightarrow{PQ}\parallel\overrightarrow{PR}$ i punti sono allineati e il piano non è unico.
Si considera la traiettoria di un drone rappresentata dalla retta $r$ che passa per il punto $A(1, 2, -1)$ e ha come vettore direttore $\vec{v} = (k, 1, 2)$. Inoltre, un…
Si considera la traiettoria di un drone rappresentata dalla retta $r$ che passa per il punto $A(1, 2, -1)$ e ha come vettore direttore $\vec{v} = (k, 1, 2)$. Inoltre, un pannello solare è contenuto nel piano $\pi$ definito dai punti $P(1, 0, 1)$, $Q(0, 2, 3)$ e $R(2, 1, 0)$.
Determina il valore del parametro $k$ affinché la traiettoria del drone sia parallela al pannello solare. Per tale valore di $k$, esiste una retta $s$ contenuta nel piano $\pi$ che sia perpendicolare a $r$? Giustifica la risposta basandoti sulla posizione reciproca degli elementi.
Determina l'equazione cartesiana del piano che contiene la retta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$ ed è parallelo alla retta…
Determina l'equazione cartesiana del piano che contiene la retta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$ ed è parallelo alla retta $s: \begin{cases} x = t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$. Qual è la posizione reciproca delle rette $r$ e $s$?
Date le rette $r$ e $s$, dimostra che sono sghembe e determina l'equazione del piano che contiene $s$ ed è parallelo a $r$:…
Date le rette $r$ e $s$, dimostra che sono sghembe e determina l'equazione del piano che contiene $s$ ed è parallelo a $r$:
$r: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{1}$
$s: \frac{x-1}{-1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}$
Sono date le rette $r$ e $s$ di equazioni: $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$ $s: \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + z = 1 \end{cases}$ a) Dimostra…
Sono date le rette $r$ e $s$ di equazioni:
$r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$
$s: \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + z = 1 \end{cases}$
- a) Dimostra analiticamente che le rette $r$ e $s$ sono sghembe.
- b) Trova l'equazione della perpendicolare comune a entrambe le rette.
- c) Determina la posizione reciproca di questa perpendicolare comune con il piano coordinato $XZ$.
Vuoi un caso reale? I cavi delle due funivie sono sghembi: non sono parallele e il vettore che unisce due loro punti non è complanare con le due direzioni. Per questo, visti dal basso, sembrano incrociarsi senza toccarsi.