Proprietà della probabilità

In un'urna ci sono palline numerate. Siano gli eventi $A$ = "estrarre un numero pari" e $B$ = "estrarre un numero dispari minore di 5". Se sappiamo che $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,2$ e che gli eventi sono incompatibili, calcola la probabilità dell'unione $P(A \cup B)$.

Uno studio sulle abitudini digitali rivela che la probabilità che un adolescente usi un social network di microblogging è $P(S) = 0,72$.

Calcola la probabilità dell'evento contrario, cioè la probabilità che un adolescente scelto a caso non utilizzi tale social network.

Utilizzando le leggi di De Morgan, calcola la probabilità che non si verifichi né l'evento $A$ né l'evento $B$ (cioè $P(\bar{A} \cap \bar{B})$), sapendo che la probabilità dell'unione è $P(A \cup B) = 0,84$.

In una piattaforma di streaming, il $65\ \%$ degli utenti giovani è abbonato al Piano Musica ($M$) e il $40\ \%$ è abbonato al Piano Video ($V$). Si sa inoltre che il $25\ \%$ degli utenti usufruisce di entrambi i piani contemporaneamente.

Calcola la probabilità che un utente scelto a caso sia abbonato ad almeno uno dei due piani (musica o video).

Siano $A$ e $B$ due eventi tali che $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cup B) = 0,7$. Determina se gli eventi $A$ e $B$ sono compatibili o incompatibili giustificando la risposta mediante il calcolo di $P(A \cap B)$.

In uno studio sul consumo di contenuti digitali in una classe di quinto liceo, si sa che la probabilità che uno studente usi abitualmente TikTok (evento $A$) è $0,65$, la probabilità che usi Instagram (evento $B$) è $0,70$ e la probabilità che non usi nessuno dei due social è $0,15$.

Utilizzando le proprietà della probabilità, calcola:

1. a) La probabilità che uno studente, scelto a caso, utilizzi entrambi i social.
2. b) La probabilità che ne utilizzi solo uno dei due.
3. c) Gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti? Giustifica la risposta.

Osserva il seguente diagramma di Venn che rappresenta gli eventi $A$ (studenti che praticano pallacanestro) e $B$ (studenti che praticano nuoto) in un centro sportivo:

Sapendo che i numeri rappresentano la probabilità di ciascuna regione, utilizza le proprietà della probabilità per calcolare:

1. a) $P(A)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(\bar{A})$ (Probabilità che non pratichi pallacanestro).

In un centro sportivo, il $60\%$ degli iscritti pratica allenamento di forza (evento $F$) e il $45\%$ pratica yoga (evento $Y$). Si sa inoltre che il $20\%$ di quelli che praticano forza è iscritto anche a yoga.

Costruisci una tabella di contingenza o un diagramma di Venn per rispondere alle seguenti domande:

1. a) Probabilità che un socio scelto a caso non pratichi né forza né yoga.

1. b) Se sappiamo che un socio pratica yoga, qual è la probabilità che non pratichi forza?

1. c) Gli eventi "praticare forza" e "praticare yoga" sono indipendenti?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Nell'elezione dei rappresentanti degli studenti di un istituto, sia $A$ l'evento «la persona eletta frequenta l'indirizzo scientifico» con $P(A) = 0,65$, e sia $B$ l'evento «la persona eletta partecipa al club di dibattito» con $P(B) = 0,45$.\na) Stima, prima di effettuare qualsiasi calcolo algebrico, se è possibile che le due caratteristiche siano incompatibili ($A \cap B = \emptyset$). Giustifica la tua intuizione a partire dalla somma delle loro probabilità rispetto allo spazio campionario totale.\nb) Verifica la tua stima calcolando formalmente i limiti di Fréchet per l'intersezione; cioè l'intervallo $[p_{\min}, p_{\max}]$ in cui deve necessariamente trovarsi $P(A \cap B)$.\nc) Valuta criticamente se una stima preliminare che proponesse $P(A \cap B) = 0,50$ sarebbe ammissibile o se contraddice la proprietà di monotonia della probabilità ($A \cap B \subseteq B$).

Considera due eventi $A$ e $B$ di un esperimento aleatorio. Si sa che $P(A) = 0,6$ e $P(B) = 0,7$.

Basandoti sugli assiomi di Kolmogorov, dimostra che:

1. Il valore minimo possibile per $P(A \cap B)$ è $0,3$.

2. Il valore massimo possibile per $P(A \cap B)$ è $0,6$.

3. Se si aggiunge un terzo evento $C$ tale che $P(C) = 0,8$, qual è il valore minimo della probabilità che si verifichino tutti e tre gli eventi contemporaneamente, $P(A \cap B \cap C)$? Giustifica la tua risposta utilizzando la disuguaglianza di Bonferroni: $P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1$.

Due squadre di e-sport, "Titani" e "Fenice", partecipano a un torneo. La probabilità che i Titani vincano la loro partita è $P(T) = 0,8$ e quella che la Fenice vinca la sua è $P(F) = 0,7$. Supponendo che i risultati delle due squadre siano indipendenti, calcola mediante l'algebra degli eventi le seguenti probabilità:

1. a) Che entrambe le squadre vincano le rispettive partite.
2. b) Che almeno una delle due vinca.
3. c) Che vinca solo la squadra dei Titani.

Dati due eventi $A$ e $B$, si sa che $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,6$ e $P(A \cup B) = 0,72$.

1. a) Calcola $P(A \cap B)$.
2. b) Gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti? Motiva la risposta confrontando $P(A \cap B)$ con il prodotto delle loro probabilità individuali.
3. c) Calcola $P(\bar{A} / B)$.

Un ingegnere aeronautico analizza l'affidabilità di un componente critico. Siano $A$ e $B$ due eventi tali che $P(A) = \frac{1}{3}$ e $P(B) = p$.

1. Se $A$ e $B$ sono indipendenti, esprimi la probabilità che si verifichi esattamente uno dei due eventi in funzione di $p$.

2. Se $A$ e $B$ sono incompatibili, qual è il valore massimo che può assumere $p$?

3. Determina il valore di $p$ affinché la probabilità che non si verifichi né $A$ né $B$ sia uguale a $\frac{1}{4}$, supponendo che $A$ e $B$ siano indipendenti.