Rapporti dell'angolo somma di due angoli
Un geometra deve inclinare un pannello fotovoltaico sul tetto di una casa a Perugia: la falda è già inclinata di un angolo $\beta$ e il supporto aggiunge un angolo $\alpha$. Qual è l'inclinazione totale? E soprattutto: come si calcola $\operatorname{sen}(\alpha+\beta)$ conoscendo i rapporti dei due angoli separati? Attenzione: $\operatorname{sen}(\alpha+\beta)$ non è $\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta$. La formula giusta è più lunga, ma permette di calcolare, senza calcolatrice, valori come $\operatorname{sen}75^\circ$ scomponendo $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$.
Le formule di addizione
Perché valgono? Dimostriamo prima il coseno della differenza, sulla circonferenza goniometrica. Siano $P(\cos\alpha;\operatorname{sen}\alpha)$ e $Q(\cos\beta;\operatorname{sen}\beta)$ i punti corrispondenti ai due angoli. La loro distanza al quadrato è
$$PQ^2=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\operatorname{sen}\alpha-\operatorname{sen}\beta)^2 = 2-2(\cos\alpha\cos\beta+\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta).$$Ruotando la figura di $-\beta$, i due punti diventano $(\cos(\alpha-\beta);\operatorname{sen}(\alpha-\beta))$ e $(1;0)$: la distanza non cambia, quindi $PQ^2 = 2-2\cos(\alpha-\beta)$. Confrontando:
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta.$$Sostituendo $\beta$ con $-\beta$ (il coseno è pari, il seno dispari) si ottiene il coseno della somma. Gli altri casi seguono dagli angoli associati: $\operatorname{sen}(\alpha+\beta)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha-\beta\right)=\cos\left(\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\beta\right)$, che sviluppato dà la formula del seno.
Esprimi $\cos(x + \frac{\pi}{2})$ in funzione dei rapporti trigonometrici dell'angolo $x$ sviluppando la corrispondente formula di addizione e semplificando il risultato.
Esprimi $\cos(x + \frac{\pi}{2})$ in funzione dei rapporti trigonometrici dell'angolo $x$ sviluppando la corrispondente formula di addizione e semplificando il risultato.
Angoli complementari e supplementari
Le formule di addizione e sottrazione hanno come casi particolari le relazioni tra angoli complementari e supplementari. Con $\beta=90^\circ$ o $\beta=180^\circ$ e $\operatorname{sen}90^\circ=1$, $\cos90^\circ=0$, $\operatorname{sen}180^\circ=0$, $\cos180^\circ=-1$ si ottiene:
Questo serve nei triangoli: se $A+B+C=180^\circ$, allora $C=180^\circ-(A+B)$ e quindi $\operatorname{tg}C=-\operatorname{tg}(A+B)$.
In qualsiasi triangolo non rettangolo $ABC$, le misure dei suoi angoli interni verificano che $A + B + C = 180^\circ$. In un caso concreto, si conoscono le tangenti di…
In qualsiasi triangolo non rettangolo $ABC$, le misure dei suoi angoli interni verificano che $A + B + C = 180^\circ$. In un caso concreto, si conoscono le tangenti di due dei suoi angoli: $\tan A = 2$ e $\tan B = 3$.
- a) Sapendo che $C = 180^\circ - (A + B)$, applica le proprietà degli angoli supplementari per dimostrare la relazione che esiste tra $\tan C$ e $\tan(A + B)$.
- b) Applica la formula di addizione della tangente per calcolare il valore esatto di $\tan(A+B)$ e deduci il valore numerico di $\tan C$. A partire da esso, trova la misura esatta in gradi dell'angolo $C$ e stabilisci se il triangolo è acutangolo o ottusangolo.
- c) Verifica numericamente se per questo triangolo vale l'uguaglianza $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C$. Successivamente, dimostra algebricamente che questa relazione è un'identità valida per qualsiasi triangolo non rettangolo, partendo dall'uguaglianza $\tan(A+B) = -\tan C$.
Angoli non notevoli come somma di angoli notevoli
$75^\circ$, $105^\circ$, $15^\circ$ non sono tra gli angoli notevoli, ma si scrivono come somma o differenza di angoli che lo sono: $75^\circ=45^\circ+30^\circ$, $105^\circ=60^\circ+45^\circ$.
Calcola il valore esatto di $\sin(75^\circ)$ scomponendo l'angolo come somma di due angoli notevoli ($45^\circ$ e $30^\circ$).
Calcola il valore esatto di $\sin(75^\circ)$ scomponendo l'angolo come somma di due angoli notevoli ($45^\circ$ e $30^\circ$).
Determina il valore esatto di $\cos(105^\circ)$ utilizzando la formula del coseno della somma, sapendo che $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Determina il valore esatto di $\cos(105^\circ)$ utilizzando la formula del coseno della somma, sapendo che $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Trova il valore esatto di $\tan(75^\circ)$ applicando la formula della tangente della somma a partire dagli angoli di $45^\circ$ e $30^\circ$. Razionalizza il risultato…
Trova il valore esatto di $\tan(75^\circ)$ applicando la formula della tangente della somma a partire dagli angoli di $45^\circ$ e $30^\circ$. Razionalizza il risultato se necessario.
Lucia deve calcolare il valore esatto di $\cos(105^\circ)$ senza calcolatrice e decide di scomporre l'angolo come somma di due angoli notevoli:…
Lucia deve calcolare il valore esatto di $\cos(105^\circ)$ senza calcolatrice e decide di scomporre l'angolo come somma di due angoli notevoli: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$. Nel suo compito scrive il seguente svolgimento:
$$\cos(105^\circ) = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos(60^\circ)\cdot\cos(45^\circ) + \sin(60^\circ)\cdot\sin(45^\circ) = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \approx 0,97$$Rivedendo la prova corretta, nota che l'insegnante ha valutato l'esercizio con zero.
- a) Senza fare calcoli analitici, ragiona geometricamente, in base alla posizione sulla circonferenza goniometrica, sul perché il risultato di Lucia ($\approx 0,97$) è impossibile per un angolo di $105^\circ$.
- b) Individua e spiega con precisione l'errore concettuale o di formula commesso nella seconda uguaglianza del suo svolgimento.
- c) Correggi il procedimento e ottieni il valore esatto semplificato di $\cos(105^\circ)$.
Le formule lette al contrario
Lette da destra a sinistra, le formule trasformano un'espressione di quattro termini in un solo rapporto.
Semplifica la seguente espressione trigonometrica a un solo termine numerico esatto applicando le formule di addizione al contrario:…
Semplifica la seguente espressione trigonometrica a un solo termine numerico esatto applicando le formule di addizione al contrario:
$\sin(22^\circ)\cos(8^\circ) + \cos(22^\circ)\sin(8^\circ)$
Riduci la seguente espressione a un valore numerico esatto: $\cos(40^\circ)\cos(20^\circ) - \sin(40^\circ)\sin(20^\circ)$
Riduci la seguente espressione a un valore numerico esatto:
$\cos(40^\circ)\cos(20^\circ) - \sin(40^\circ)\sin(20^\circ)$
Calcola in modo esatto il valore dell'espressione $\sin(15^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(15^\circ)\sin(30^\circ)$. Usa questo risultato geometrico per trovare l'area…
Calcola in modo esatto il valore dell'espressione $\sin(15^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(15^\circ)\sin(30^\circ)$. Usa questo risultato geometrico per trovare l'area esatta di un parallelogramma i cui lati adiacenti misurano $8$ cm e $10$ cm, sapendo che l'angolo da essi formato è proprio la somma di $15^\circ$ e $30^\circ$.
Dimostra la seguente identità trigonometrica sviluppando il numeratore mediante la formula corrispondente e semplificando la frazione:…
Dimostra la seguente identità trigonometrica sviluppando il numeratore mediante la formula corrispondente e semplificando la frazione:
$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha \cos\beta} = \tan\alpha + \tan\beta$
Quando si conoscono solo i rapporti
Spesso non si conoscono gli angoli, ma solo qualche loro rapporto. Occorre prima trovare quelli mancanti con la relazione fondamentale $\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, scegliendo il segno in base al quadrante, e poi applicare la formula.
Sapendo che $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ e $\cos \beta = \frac{12}{13}$, e che sia $\alpha$ sia $\beta$ sono angoli acuti (appartenenti al primo quadrante), calcola il…
Sapendo che $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ e $\cos \beta = \frac{12}{13}$, e che sia $\alpha$ sia $\beta$ sono angoli acuti (appartenenti al primo quadrante), calcola il valore esatto di $\sin(\alpha + \beta)$.
Dati due angoli $\alpha$ e $\beta$ tali che $\tan \alpha = 3$ e $\tan \beta = 2$, determina il valore esatto di $\tan(\alpha + \beta)$.
Dati due angoli $\alpha$ e $\beta$ tali che $\tan \alpha = 3$ e $\tan \beta = 2$, determina il valore esatto di $\tan(\alpha + \beta)$.
Dati gli angoli $\alpha$ e $\beta$ tali che $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ con $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ e $\cos \beta = \frac{5}{13}$ con…
Dati gli angoli $\alpha$ e $\beta$ tali che $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ con $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ e $\cos \beta = \frac{5}{13}$ con $\beta \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$, calcola il valore esatto di $\cos(\alpha + \beta)$.
Un topografo osserva la sommità di un edificio con un angolo di elevazione $\alpha$, con $\cos \alpha = \frac{4}{5}$. Dietro questo edificio, sulla stessa linea visuale,…
Un topografo osserva la sommità di un edificio con un angolo di elevazione $\alpha$, con $\cos \alpha = \frac{4}{5}$. Dietro questo edificio, sulla stessa linea visuale, c'è una torre di telecomunicazioni. L'angolo di elevazione aggiuntivo dalla sommità dell'edificio fino alla punta della torre, misurato a partire dalla visuale precedente, è $\beta$, con $\sin \beta = \frac{7}{25}$. Sapendo che entrambi gli angoli sono acuti, calcola il valore esatto del coseno dell'angolo totale di elevazione $\alpha + \beta$ verso la punta della torre.
Applicazioni: pannelli, rotte ed equazioni
Le formule servono ogni volta che due rotazioni o inclinazioni si sommano: un pannello fotovoltaico, un braccio robotico, la rotta di un aereo deviata dal vento. Servono anche per risolvere equazioni in cui compare l'angolo somma: si sviluppa, si porta tutto in $\operatorname{sen}x$ e $\cos x$ e si ricava $\operatorname{tg}x$.
In un progetto di ingegneria solare, un pannello fotovoltaico ha un'inclinazione iniziale $\alpha$ tale che $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Per ottimizzare la captazione in…
In un progetto di ingegneria solare, un pannello fotovoltaico ha un'inclinazione iniziale $\alpha$ tale che $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Per ottimizzare la captazione in inverno, un meccanismo aumenta l'inclinazione di un angolo aggiuntivo di $15^\circ$. Calcola il valore esatto di $\tan(\alpha + 15^\circ)$ senza usare approssimazioni decimali, sapendo che $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$.
Sapendo che $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ e che la tangente dell'angolo somma è $\tan(\alpha + \beta) = 3$, determina il valore esatto di $\tan \beta$ impostando…
Sapendo che $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ e che la tangente dell'angolo somma è $\tan(\alpha + \beta) = 3$, determina il valore esatto di $\tan \beta$ impostando l'equazione corrispondente a partire dalla formula di addizione.
Risolvi l'equazione trigonometrica $\sin(x + 30^\circ) = 2\cos x$ per l'intervallo $x \in [0^\circ, 360^\circ)$. Esprimi le soluzioni in forma esatta in gradi.
Risolvi l'equazione trigonometrica $\sin(x + 30^\circ) = 2\cos x$ per l'intervallo $x \in [0^\circ, 360^\circ)$. Esprimi le soluzioni in forma esatta in gradi.
Vuoi tornare al punto di partenza? L'inclinazione totale del pannello si ottiene con $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)$ o $\operatorname{sen}(\alpha+\beta)$ calcolati con le formule di questa pagina, senza mai sommare i rapporti.