Vettori e spazi vettoriali

Esprimi il vettore $\vec{w} = (7, 11, 2)$ come combinazione lineare dei vettori della base canonica di $\mathbb{R}^3$, cioè in funzione di $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ e $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Un drone di sorveglianza decolla da una piattaforma situata nel punto $A(1, -2, 5)$ e si sposta in linea retta fino a raggiungere un obiettivo nel punto $B(4, 3, -1)$. Calcola le componenti del vettore spostamento $\vec{AB}$ e ricava il suo modulo per conoscere la distanza percorsa dal drone.

Si considera il vettore dello spazio $\vec{v} = (2,\; -6,\; 9)$.

1. a) Senza calcolare radici quadrate, giustifica perché il modulo di qualsiasi vettore non nullo $\vec{u} = (u_1,\; u_2,\; u_3)$ è sempre maggiore o uguale al valore assoluto di una qualsiasi delle sue componenti ($|\vec{u}| \ge |u_i|$, con disuguaglianza stretta se ha almeno due componenti non nulle) e minore o uguale alla somma dei valori assoluti di tutte esse ($|\vec{u}| \le |u_1| + |u_2| + |u_3|$).
2. b) Utilizza il ragionamento precedente per limitare il valore di $|\vec{v}|$ tra due numeri interi, stimando un intervallo in cui deve necessariamente trovarsi la sua lunghezza.
3. c) Calcola il modulo esatto di $\vec{v}$ applicando la formula tridimensionale e verifica se la tua stima iniziale era corretta.

Dati i vettori $\vec{u} = (2, -1, 3)$ e $\vec{v} = (0, 4, 1)$, esegui le seguenti operazioni analitiche:

1. a) $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$

1. b) $\vec{t} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$

1. c) Calcola il valore dello scalare $k$ sapendo che $k \cdot \vec{u} = (10, -5, 15)$.

Determina se i vettori $\vec{a} = (1, -2, 4)$ e $\vec{b} = (-3, 6, -12)$ sono linearmente dipendenti. Giustifica la risposta verificando se le loro coordinate sono proporzionali e spiega quale relazione geometrica esiste tra essi (sono paralleli?).

Calcola il valore del parametro $m$ affinché il vettore $\vec{u} = (m, 2, 4)$ sia combinazione lineare dei vettori $\vec{v} = (1, 0, 2)$ e $\vec{w} = (0, 1, -1)$ mediante l'espressione $\vec{u} = 3\vec{v} + 2\vec{w}$.

Un drone per le consegne si muove nello spazio tridimensionale seguendo traiettorie definite da vettori. I suoi propulsori di base gli consentono di eseguire tre movimenti fondamentali definiti dai vettori $\vec{u} = (1, -1, 0)$, $\vec{v} = (0, 2, 1)$ e $\vec{w} = (2, 0, 3)$. Se il drone deve effettuare un trasporto urgente dal centro di controllo a un cliente seguendo il vettore spostamento risultante $\vec{d} = (5, 1, 10)$, calcola i coefficienti $a, b$ e $c$ tali che il movimento si possa esprimere come combinazione lineare dei propulsori: $\vec{d} = a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$.

Si considerano i vettori dello spazio $\vec{u} = (1,\; -1,\; 2)$ e $\vec{v} = (0,\; 2,\; 1)$, nonché il vettore dipendente da un parametro reale $k$: $\vec{w}_k = (2,\; k,\; 7)$.

1. a) Imposta il sistema di tre equazioni in due incognite ($a, b$) che traduce la condizione che $\vec{w}_k$ sia combinazione lineare di $\vec{u}$ e $\vec{v}$, cioè $\vec{w}_k = a\vec{u} + b\vec{v}$.
2. b) Risolvi le equazioni indipendenti da $k$ per determinare gli unici coefficienti possibili $a$ e $b$. A partire da essi, deduci se esiste qualche valore del parametro $k$ per il quale $\vec{w}_k$ sia combinazione lineare di $\vec{u}$ e $\vec{v}$.
3. c) Supponi ora che sia definito il vettore $\vec{t} = (3,\; -3,\; 6)$. Senza risolvere alcun sistema di equazioni, stabilisci se $\vec{t}$ è linearmente dipendente da $\vec{u}$ e descrivi la posizione reciproca delle rette che contengono i due vettori nello spazio.
4. d) Giustifica in modo formale e motivato perché nessuna coppia di scalari reali non nulli $\alpha, \beta \neq 0$ può soddisfare $\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} = (0,\; 0,\; 0)$, collegando il tuo argomento all'indipendenza lineare di $\vec{u}$ e $\vec{v}$.

Nella progettazione di una struttura metallica, due travi si uniscono nei loro estremi rappresentati dai punti $P(2, 5, -3)$ e $Q(8, -1, 7)$. Per rinforzare la struttura, si deve collocare un sostegno esattamente nel punto medio del segmento $PQ$. Trova le coordinate di tale punto medio $M$.

Tre stazioni radio si trovano nei punti $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$ e $C(5, 3, -1)$. Verifica se le tre stazioni sono allineate (appartengono alla stessa retta) studiando la proporzionalità dei vettori $\vec{AB}$ e $\vec{BC}$.

Dati i punti $A(2, -1, 4)$ e $B(8, 5, -2)$, trova le coordinate dei punti $C$ e $D$ che dividono il segmento $AB$ in tre parti uguali. Spiega la relazione vettoriale che hai utilizzato per risolverlo.

Considera un parallelogramma in cui tre vertici consecutivi sono $A(1, 1, 0)$, $B(4, 2, 1)$ e $C(5, 5, 3)$. Utilizzando l'uguaglianza tra vettori (ad esempio, $\vec{AB} = \vec{DC}$), calcola le coordinate del quarto vertice $D$.

Studia la dipendenza lineare dei punti $A(1, 1, 1)$, $B(0, 2, 2)$, $C(2, 0, 0)$ e $D(m, m, m)$.

• a) Determina per quali valori di $m$ i quattro punti sono complanari.

• b) Esiste qualche valore di $m$ per il quale il vettore $\vec{AB}$ sia ortogonale al vettore $\vec{CD}$?

• c) Spiega geometricamente che cosa accade ai punti quando $m=1$.

Sono noti i punti dello spazio $A(1,\; -1,\; 2)$ e $B(3,\; 1,\; 0)$. Si vuole determinare la posizione di un terzo punto $P(x,\; y,\; z)$ che soddisfa simultaneamente tre condizioni:

1. I punti $A$, $B$ e $P$ sono allineati su una stessa retta.

2. La distanza tra $A$ e $P$ è esattamente il triplo della distanza tra $A$ e $B$ (cioè $|\vec{AP}| = 3\cdot |\vec{AB}|$).

3. La terza coordinata di $P$ è strettamente negativa ($z < 0$).

1. a) Ricava le componenti del vettore $\vec{AB}$ e calcola il suo modulo esatto.
2. b) Imposta la relazione vettoriale tra $\vec{AP}$ e $\vec{AB}$, deducendo i due possibili vettori spostamento $\vec{AP}$ che soddisfano la condizione sulla distanza.
3. c) Determina, motivando, le coordinate del punto $P$ scartando la soluzione che non soddisfa la restrizione sulla coordinata $z$.

Per determinare se tre punti dello spazio $A(1,\; 2,\; -1)$, $B(3,\; -2,\; 3)$ e $C(6,\; -8,\; 9)$ sono allineati su una stessa retta, si propongono due diverse strategie risolutive:

• Metodo 1 (metrico): calcolare le distanze euclidee $d(A, B)$, $d(B, C)$ e $d(A, C)$ mediante il modulo dei rispettivi vettori e verificare se la somma delle due distanze minori coincide esattamente con la maggiore.

• Metodo 2 (vettoriale): costruire i vettori $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$ e analizzare se sono linearmente dipendenti verificando la proporzionalità delle loro componenti: $\frac{b_1-a_1}{c_1-a_1} = \frac{b_2-a_2}{c_2-a_2} = \frac{b_3-a_3}{c_3-a_3}$.

1. a) Applica il Metodo 2 per stabilire, motivando, se i punti $A$, $B$ e $C$ sono allineati oppure no.
2. b) Applica il Metodo 1 calcolando i moduli $|\vec{AB}|$ e $|\vec{AC}|$ e semplificando i radicali ottenuti, e verifica che si giunge alla stessa conclusione.
3. c) Confronta criticamente i due metodi e scrivi una giustificazione motivata su quale sia il più conveniente. Considera nella tua analisi due aspetti: il costo algebrico (presenza di radici quadrate rispetto a rapporti diretti) e la facilità di applicazione nel caso in cui la terza coordinata di $C$ contenesse un parametro letterale incognito $k$.