Calcolo combinatorio

Uno studente di quinto liceo vuole configurare un codice di accesso di $4$ cifre distinte per il suo armadietto della palestra. Decide di utilizzare soltanto le cifre dispari $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ e non può ripetere nessuna cifra.

1. a) Quanti codici diversi può creare?

1. b) Se lo studente dimentica il codice, ma ricorda che la prima cifra era $7$, quanti codici diversi dovrebbe provare al massimo?

Per scegliere la delegazione di studenti che rappresenterà un liceo nel Consiglio scolastico comunale, si devono selezionare $3$ studenti da un gruppo di $24$ volontari di quinto liceo. Marco ragiona così nel suo compito: «Per il primo posto ho 24 opzioni, per il secondo 23 e per il terzo 22, quindi il numero totale di delegazioni possibili è $V_{24,3} = 24 \cdot 23 \cdot 22 = 12\,144$».\n\na) Individua l'errore concettuale commesso da Marco a partire dalle due domande chiave del calcolo combinatorio: l'ordine conta in questo caso? Si possono ripetere gli elementi?\nb) Correggi il calcolo e trova il numero effettivo di delegazioni possibili, giustificando con quale operazione deve essere sostituita la formula di Marco.\nc) Se i tre posti avessero cariche differenziate (un portavoce, un segretario e un membro), il calcolo originale di Marco sarebbe corretto? Giustifica la tua risposta.

Un servizio comunale di noleggio di biciclette elettriche in una città italiana rinnova i suoi lucchetti intelligenti. Ogni utente deve configurare un codice PIN di $4$ cifre con due condizioni: la prima cifra non può essere $0$ e non possono comparire due cifre consecutive uguali (ad esempio, il codice $4727$ è valido, ma $4772$ no).\n\na) Prima di eseguire qualsiasi calcolo matematico, stima in modo intuitivo se il numero di codici validi sarà più vicino a $5\,000$, a $6\,500$ o a $9\,000$. Giustifica brevemente su cosa basi la tua stima.\nb) Applica il principio fondamentale del calcolo combinatorio per calcolare esattamente quanti codici diversi soddisfano entrambe le condizioni.\nc) Verifica se il risultato esatto ottenuto conferma la tua stima iniziale e calcola quale percentuale rappresenta rispetto al totale delle combinazioni di quattro cifre che non iniziano per zero (da $1\,000$ a $9\,999$).

Una piattaforma di streaming sta progettando una nuova interfaccia personalizzata. Per il profilo utente, è possibile scegliere un avatar combinando i seguenti elementi: 4 forme di viso diverse, 5 tipi di pettinatura e 3 stili di occhiali. Inoltre, il nome utente deve essere una stringa di 5 caratteri formata da 3 lettere minuscole (di un alfabeto di 26) seguite da 2 cifre.

1. a) Quanti avatar diversi si possono creare?
2. b) Quanti nomi utente distinti si possono generare se non è permesso ripetere né lettere né cifre?
3. c) Se un utente decide di scegliere il suo avatar e il suo nome a caso (con le condizioni del punto b), qual è la probabilità che il suo nome inizi con la lettera "z" e termini con la cifra "9"?

Il sistema ordinario di immatricolazione dei veicoli in Spagna assegna a ogni veicolo una targa formata da un blocco di $4$ cifre (da $0000$ a $9999$) seguito da un blocco di $3$ lettere consonanti scelte tra $20$ lettere possibili (si escludono le vocali A, E, I, O, U e le lettere Ñ e Q per evitare confusioni e combinazioni sgradevoli).\n\na) Calcola il numero totale di targhe teoriche che questo sistema permette di emettere ed esprimi il risultato utilizzando potenze di base dieci.\nb) Un appassionato di calcolo combinatorio cerca «targhe simmetriche»: quelle il cui blocco numerico di $4$ cifre è palindromo (ad esempio $4884$ o $0330$) e il cui blocco di $3$ lettere è un palindromo (la prima e la terza lettera coincidono, come in $TRT$). Determina quante targhe simmetriche esistono e trova la probabilità che un veicolo immatricolato a caso presenti questa proprietà.\nc) La Dirección General de Tráfico (DGT) spagnola studia un algoritmo di lettura delle targhe e rileva errori nelle targhe che chiama «eterogenee miste»: quelle che hanno le loro $4$ cifre strettamente distinte tra loro e, contemporaneamente, nel blocco di lettere contengono esattamente due lettere uguali e una diversa (in qualsiasi ordine, come in $LBL$ o $DDH$). Imposta il modello e calcola quante targhe «eterogenee miste» esistono nel parco veicoli potenziale spagnolo.

In un campionato di robotica, una squadra deve scegliere $3$ rappresentanti tra un gruppo di $8$ studenti per illustrare il progetto davanti alla giuria.

1. a) In quanti modi diversi si può scegliere il gruppo di rappresentanti se l'ordine di selezione non conta?

1. b) Se tra i $8$ studenti ce ne sono $2$ specialisti in programmazione e si decide che almeno uno di loro deve far parte del gruppo, quante selezioni diverse sono possibili?

Un laboratorio dispone di 8 sensori di temperatura di precisione e 6 sensori di umidità. Per un esperimento di controllo ambientale si devono scegliere a caso 4 sensori.

1. a) In quanti modi diversi si può effettuare la scelta dei 4 sensori se l'ordine non conta?
2. b) Qual è la probabilità che vengano scelti esattamente 2 sensori di temperatura e 2 di umidità?
3. c) Qual è la probabilità che tutti i sensori scelti siano dello stesso tipo?

Per correggere gli esami di maturità di Matematica in una sede universitaria, si deve formare una commissione valutatrice di $6$ correttori. Il corpo docente disponibile è composto da $10$ professori: $6$ provengono da licei statali e $4$ da scuole paritarie. Il regolamento della commissione organizzatrice richiede che la commissione comprenda almeno $2$ professori di scuole statali e almeno $2$ di scuole paritarie.\n\na) Modellizza la situazione individuando tutti i casi validi di composizione della commissione in base al numero di professori di ciascuna provenienza.\nb) Calcola quante commissioni diverse si possono costituire rispettando il regolamento stabilito.\nc) Se la commissione di $6$ persone fosse scelta completamente a caso tra i $10$ professori (senza richiedere alcuna quota di rappresentatività), qual sarebbe la probabilità che la commissione rispetti il regolamento? Interpreta se la restrizione esclude molte o poche delle combinazioni possibili.

La federazione scacchistica di una regione organizza una fase preliminare a eliminazione in cui tutti i partecipanti iscritti devono giocare esattamente una partita contro ciascuno degli altri avversari («tutti contro tutti»). La sala prenotata e il calendario disponibile consentono di disputare al massimo $100$ partite in totale.\n\na) Imposta una disequazione in funzione del numero di giocatori, $n$, che descriva il totale delle partite del torneo. Giustifica quale struttura combinatoria rappresenta tale numero di partite.\nb) Risolvi la disequazione per determinare il numero massimo di partecipanti che possono iscriversi senza superare il limite di partite e calcola quante partite si giocherebbero esattamente con quel numero massimo.\nc) Se alla fine si iscrivono $8$ partecipanti e l'organizzazione decide di consegnare un trofeo d'oro, uno d'argento e uno di bronzo ai primi tre classificati (senza pari merito), quante assegnazioni possibili del podio esistono?

Un esame di concorso consta di $80$ argomenti. Il candidato studia $55$ argomenti a caso. La commissione estrae a sorte $3$ argomenti e il candidato deve sceglierne uno da sviluppare.

1. a) Qual è la probabilità che il candidato non conosca nessuno dei tre argomenti estratti?
2. b) Qual è la probabilità che conosca esattamente due degli argomenti?
3. c) Se il candidato ha superato l'esame (il che implica che conosceva almeno uno degli argomenti), qual è la probabilità che conoscesse tutti e tre gli argomenti estratti?

Un team di cybersicurezza sta analizzando la vulnerabilità di un sistema di accesso che utilizza password di $8$ caratteri. I caratteri consentiti sono le $26$ lettere dell'alfabeto (senza distinguere maiuscole e minuscole) e le cifre da $0$ a $9$. Una password è considerata "robusta" se soddisfa le seguenti condizioni:

1. Contiene esattamente $2$ numeri distinti e $6$ lettere.

2. Le lettere non possono ripetersi.

3. I due numeri devono trovarsi in posizioni consecutive.

Calcola:

1. a) Il numero totale di password robuste che si possono generare.
2. b) Se un software a forza bruta genera una password casuale seguendo soltanto la struttura di $8$ caratteri (lettere o numeri), qual è la probabilità che indovini una specifica password robusta al primo tentativo?

Alla cerimonia di diploma dell'ultimo anno di liceo vengono assegnate $8$ menzioni d'onore. Sul palco sono state collocate $8$ poltroncine allineate e numerate da $1$ a $8$. Tra i $8$ studenti premiati ci sono Chiara e Sergio, che hanno avuto un recente disaccordo, e l'organizzazione vuole farli sedere in modo che non siano su poltroncine contigue. Due membri del comitato organizzatore discutono su come calcolare il numero di sistemazioni valide:\n- Metodo A (metodo degli spazi o diretto): Si siedono prima gli altri $6$ studenti in ordine e poi si scelgono due dei $7$ spazi possibili (estremi o tra compagni) per collocare Chiara e Sergio.\n- Metodo B (metodo del complementare): Si calcola il numero totale di modi di sedere i $8$ studenti senza alcuna restrizione e si sottraggono i casi sfavorevoli, in cui Chiara e Sergio siedono vicini formando un unico blocco.\n\na) Sviluppa in dettaglio l'impostazione combinatoria e il risultato numerico applicando il Metodo A.\nb) Sviluppa in dettaglio l'impostazione combinatoria e il risultato numerico applicando il Metodo B.\nc) Verifica che entrambi i percorsi portano alla stessa soluzione e giustifica in modo ragionato quale dei due metodi sarebbe chiaramente preferibile e meno soggetto a errori se la restrizione richiedesse che tre studenti determinati (Chiara, Sergio e Paolo) non possano sedere in posizioni contigue l'uno con l'altro.

Utilizza le proprietà dei coefficienti binomiali e il binomio di Newton per risolvere:

1. a) Sviluppa completamente l'espressione $(x + 2)^4$.

1. b) Senza sviluppare tutto il binomio, calcola il valore del coefficiente del termine che contiene $x^3$ nello sviluppo di $(x + 3)^5$.

La figura mostra le righe del triangolo di Tartaglia fino a $n = 5$. I suoi numeri sono i coefficienti binomiali $\binom{n}{k}$: ricorda che il coefficiente di un termine del binomio, oltre a quel numero, include le potenze del secondo addendo.

Nello sviluppo di un nuovo binomio, uno studente di ingegneria deve determinare alcuni coefficienti. Si considera lo sviluppo del binomio $Q(x) = \left( \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{k}{x} \right)^{12}$, dove $k$ è un numero reale positivo.

1. a) Determina il valore di $k$ sapendo che il termine indipendente da $x$ nello sviluppo di $Q(x)$ è uguale a $7920$.
2. b) Una volta trovato $k$, calcola il coefficiente del termine che contiene $x^9$.

In una fabbrica di componenti elettronici, la probabilità che un microchip sia difettoso è $0,02$. Se i microchip vengono confezionati in scatole da $10$ unità e la presenza di difetti in uno è indipendente dagli altri:

1. a) Qual è la probabilità che in una scatola non ci sia nessun microchip difettoso?

1. b) Qual è la probabilità che nella scatola ci sia esattamente un microchip difettoso? (Esprimi il risultato usando i coefficienti binomiali).

Un'azienda che produce componenti elettronici con stampa 3D ha osservato che la probabilità che un pezzo presenti qualche difetto di finitura è del $5\%$. Se si stampa un lotto di 12 pezzi:

1. a) Qual è la probabilità che esattamente 2 pezzi siano difettosi?
2. b) Qual è la probabilità che ci sia più di un pezzo difettoso?
3. c) Calcola la media e la deviazione standard del numero di pezzi difettosi nel lotto.

In un laboratorio di genetica si studia la resistenza di una pianta a un parassita. Si sa che la probabilità che una pianta sia resistente è $p$. Si scelgono $8$ piante a caso e si osserva che la probabilità che esattamente $2$ siano resistenti è uguale alla probabilità che esattamente $3$ siano resistenti.

1. a) Calcola il valore della probabilità $p$.
2. b) Con il valore di $p$ trovato, calcola la probabilità che almeno una pianta sia resistente.
3. c) Determina il valore atteso e la deviazione standard del numero di piante resistenti in un campione di $100$ piante.

Siano $A$ e $B$ due eventi associati a un esperimento casuale tali che $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,4$ e $P(A \cap B) = 0,2$. Calcola le seguenti probabilità:

1. a) $P(A \cup B)$

1. b) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ (probabilità che non si verifichi né $A$ né $B$).

1. c) $P(A - B)$ (probabilità che si verifichi $A$ ma non si verifichi $B$).

Il diagramma di Venn mostra gli eventi $A$ e $B$ all'interno dello spazio campionario $E$, con la probabilità dell'intersezione.

Un server di videogiochi ha due nodi di connessione: il Nodo 1, che serve il $70\%$ degli utenti, e il Nodo 2, che serve il resto. Si sa che il $5\%$ delle connessioni sul Nodo 1 soffre di lag, mentre sul Nodo 2 questo problema si verifica nel $10\%$ delle connessioni.

1. a) Rappresenta la situazione mediante un diagramma ad albero di probabilità.

1. b) Se un giocatore entra a caso nel server, qual è la probabilità che la sua connessione soffra di lag?

Tre operatori di telefonia, $M_1$, $M_2$ e $M_3$, gestiscono rispettivamente il $40\%$, il $35\%$ e il $25\%$ delle chiamate di un centro di assistenza clienti. La percentuale di chiamate che si interrompono inaspettatamente è, per ciascun operatore, rispettivamente del $2\%$, $3\%$ e $4\%$.

Si sceglie una chiamata a caso e risulta essersi interrotta. Calcola la probabilità che sia stata gestita dall'operatore $M_1$.

In una gara di robotica, le squadre devono superare due prove indipendenti. Si sa che la probabilità che un robot superi la prova di velocità è $P(V) = 0,75$ e la probabilità che superi la prova di precisione è $P(P) = 0,60$. Calcola la probabilità che una squadra scelta a caso:

1. a) Superi almeno una delle due prove.
2. b) Superi la prova di velocità ma non quella di precisione.
3. c) Sapendo che ha superato almeno una prova, qual è la probabilità che le abbia superate entrambe?

Un sistema di cybersicurezza utilizza due filtri per rilevare e-mail di tipo phishing. Il Filtro A rileva il $92\%$ di queste e-mail, mentre il Filtro B rileva il $88\%$. Per la struttura del sistema, un'e-mail viene analizzata dal Filtro B solo se non è stata rilevata dal Filtro A. Se un'e-mail non viene rilevata da nessuno dei due, arriva nella casella di posta dell'utente. Si stima che il $3\%$ delle e-mail ricevute in azienda siano tentativi di phishing.

1. a) Qual è la probabilità che un'e-mail di phishing arrivi nella casella di posta?
2. b) Se un'e-mail è arrivata nella casella di posta, qual è la probabilità che sia davvero un'e-mail di phishing?

Una piattaforma di streaming utilizza un algoritmo di raccomandazione per prevedere se a un utente piacerà una nuova serie. L'algoritmo a volte sbaglia: il $10\%$ delle serie che a un utente piacerebbero molto non viene raccomandato ($FN$: falso negativo), e il $20\%$ delle serie che a un utente non piacerebbero viene raccomandato per errore ($FP$: falso positivo).

Se il $60\%$ di tutte le serie del catalogo è potenzialmente di gradimento per un utente specifico, calcola:

1. a) La probabilità che l'algoritmo raccomandi una serie scelta a caso.
2. b) Se l'algoritmo ha appena raccomandato una serie a questo utente, qual è la probabilità che sia davvero una serie che gli piace?

Una fabbrica di componenti elettronici ha tre linee di produzione: $L_1$, $L_2$ e $L_3$. La linea $L_1$ produce il doppio della $L_2$, e la $L_3$ produce quanto la $L_1$ e la $L_2$ insieme. La percentuale di componenti difettosi è del $1\%$ in $L_1$, del $3\%$ in $L_2$ e del $2\%$ in $L_3$.

1. a) Calcola la probabilità che un componente scelto a caso dalla produzione totale sia difettoso.
2. b) Se scegliamo un componente e risulta difettoso, qual è la probabilità che provenga dalla linea $L_3$?
3. c) Se si analizzano $10$ componenti della linea $L_1$ in modo indipendente, qual è la probabilità che almeno uno di essi sia difettoso?

In uno studio sull'uso dei dispositivi mobili in una classe di $30$ studenti, è stata ottenuta la seguente tabella di contingenza che classifica gli studenti in base al sistema operativo preferito e al fatto che facciano abitualmente acquisti online:

Se viene scelto uno studente a caso, calcola:

1. a) La probabilità che usi iOS.

1. b) La probabilità che faccia acquisti online sapendo che usa Android.

1. c) Gli eventi "Usare Android" e "Fare acquisti online" sono indipendenti? Giustifica la tua risposta.

È stato condotto un sondaggio su 250 studenti di un istituto tecnologico sull'uso dei sistemi operativi. I risultati sono mostrati nella seguente tabella di contingenza:

Se viene scelto uno studente a caso, calcola:

1. a) La probabilità che sia uno studente del Triennio e usi principalmente Linux.
2. b) Sapendo che lo studente usa principalmente Windows, qual è la probabilità che sia del Biennio?
3. c) Gli eventi "essere studente del Triennio" e "usare principalmente Linux" sono indipendenti? Motiva la risposta.

L'autonomia di una nuova flotta di monopattini elettrici per uso urbano segue una distribuzione normale di media $35$ km e deviazione standard $4$ km.

1. a) Calcola la probabilità che un monopattino scelto a caso abbia un'autonomia superiore a $40$ km.
2. b) Quale percentuale di monopattini avrà un'autonomia compresa tra $30$ e $38$ km?
3. c) Se l'azienda vuole garantire che il $90\%$ dei suoi monopattini superi una determinata autonomia minima $d$, quale deve essere il valore di $d$?

Si sa che il $15\%$ degli utenti che visitano un sito web di vendita di componenti informatici finisce per effettuare un acquisto. Se in un giorno determinato il sito riceve 400 visite indipendenti:

1. a) Indica quale distribuzione di probabilità segue la variabile "numero di acquisti effettuati" e giustifica se si può approssimare con una distribuzione normale.
2. b) Utilizzando l'approssimazione adeguata, calcola la probabilità che vengano effettuati tra 50 e 70 acquisti (entrambi inclusi).

Un'azienda di corrieri utilizza droni per consegnare pacchi in una città. La probabilità che un drone subisca un guasto tecnico durante un volo di consegna è $0,02$. L'azienda effettua $250$ consegne al giorno in modo indipendente.

1. a) Giustifica se la variabile "numero di guasti giornalieri" può essere approssimata da una distribuzione normale. In caso affermativo, indica i suoi parametri.
2. b) Utilizzando l'approssimazione adeguata, calcola la probabilità che in un determinato giorno si verifichino esattamente $5$ guasti.
3. c) Calcola la probabilità che si verifichino tra $3$ e $8$ guasti (entrambi inclusi).

Il peso delle confezioni di caffè prodotte da uno stabilimento segue una distribuzione normale $N(\mu, \sigma)$. Si è osservato che il $15,87\%$ delle confezioni pesa più di $510$ grammi, e che il $2,28\%$ delle confezioni pesa meno di $480$ grammi.

1. a) Calcola la media $\mu$ e la deviazione standard $\sigma$ della distribuzione. (Ricorda che per una $Z \sim N(0,1)$, $P(Z < 1) \approx 0,8413$ e $P(Z < 2) \approx 0,9772$).
2. b) Se il peso netto indicato sull'etichetta è $500$ grammi, quale percentuale delle confezioni è al di sotto del peso legale?