Distanze nello spazio

In un ambiente di sviluppo di un videogioco in 3D, due oggetti sono situati nei punti $A(2, -3, 1)$ e $B(6, 1, 1)$, dove le unità sono in metri. Calcola la distanza che separa i due oggetti per programmare una collisione se questa è minore di 5 metri.

Calcola le coordinate dei punti dell'asse delle ascisse (asse $OX$) la cui distanza dal punto $P(3, 2, 2)$ è esattamente $\sqrt{8}$ unità. Spiega perché geometricamente ottieni una sola soluzione.

Determina il luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti dai punti $A(1, -2, 3)$ e $B(3, 0, 1)$. Quale figura geometrica rappresenta? Calcola la distanza dall'origine del sistema di coordinate da tale luogo geometrico.

Un'antenna trasmittente di telefonia si trova nel punto $P(1, 2, -3)$. Si sa che il segnale è intercettato in modo ottimale da un pannello riflettente piano la cui equazione è $\pi: 3x - 4z + 2 = 0$. Determina la distanza minima che l'onda deve percorrere dall'antenna al pannello.

Un sensore di profondità laser si trova nel punto $S(5, -7, 4)$. Il laser punta direttamente verso la parete laterale, rappresentata dal piano coordinato $XZ$. A che distanza si trova il sensore da tale parete?

Trova le coordinate dei punti della retta $r \equiv x = y = z$ che si trovano a una distanza di $2\sqrt{3}$ unità dal piano $\pi \equiv x + 2y - 2z + 1 = 0$.

Si considera un piano $\pi$ che passa per il punto $M(1, 0, 3)$ ed è perpendicolare alla retta $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{1}$.

1. Determina l'equazione della sfera tangente al piano $\pi$ e con centro nel punto $C(4, 5, 2)$.

2. Calcola la distanza dall'origine delle coordinate al punto di tangenza tra la sfera e il piano.

Il gancio di una gru da cantiere è sospeso nella posizione $Q(4, -3, 12)$. I tecnici hanno bisogno di conoscere la distanza del gancio dall'asse delle quote (asse $OZ$). Calcola tale distanza per verificare lo spazio libero di rotazione della gru rispetto all'asse verticale di riferimento.

Considera il punto $A(1, 5, -2)$ e la retta $r$ definita dalle sue equazioni parametriche:

Trova la distanza del punto $A$ dalla retta $r$ applicando la formula del prodotto vettoriale.

Un razzo sonda segue una traiettoria lineare definita dalla retta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$. Il razzo deve inviare un segnale alla stazione di tracciamento situata nel punto $P(5, -1, 4)$. Calcola la distanza minima alla quale il razzo passerà dalla stazione di tracciamento durante il suo volo.

Un'azienda di logistica utilizza droni per il trasporto di pacchi. Un drone si sposta dal punto $A(1, 0, 2)$ in linea retta verso il punto $B(5, 4, 10)$. Al centro della zona operativa c'è un'antenna trasmittente situata nel punto $P(3, 5, 1)$.

Calcola:

1. Il punto esatto della traiettoria del drone che si trova alla distanza minima dall'antenna.

2. Se il segnale dell'antenna ha una portata di $5$ unità, determina durante quale intervallo del suo percorso (valori del parametro $\lambda$) il drone ha copertura.

Sia dato il punto $P(1, 2, -1)$ e la retta $r: \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - z = 4 \end{cases}$.

1. Calcola il punto simmetrico di $P$ rispetto alla retta $r$. Chiamiamolo $P'$.

2. Determina la distanza di $P'$ dal piano $\pi: 2x - 3y + z + 10 = 0$.

3. Qual è il volume del tetraedro formato dal punto $P$, dalla sua proiezione sulla retta $r$, e dai punti di intersezione del piano $\pi$ con gli assi $OX$ e $OY$?

Sono dati il punto $P(2, -1, 3)$ e la retta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+1}{-2}$. Un esercizio propone di risolvere due questioni successive:

(a) Calcolare la distanza del punto $P$ dalla retta $r$.

(b) Trovare le coordinate del punto $P'$, simmetrico di $P$ rispetto a $r$.

Due studenti discutono sulla strategia risolutiva:

• Lucia propone di risolvere (a) mediante la formula del prodotto vettoriale $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$, e poi di risolvere (b) determinando la proiezione ortogonale $M$ di $P$ su $r$.

• Carlo sostiene che usare la formula del prodotto vettoriale in questo esercizio è una cattiva scelta metodologica che genera calcoli ridondanti, e che è più efficiente cominciare direttamente cercando la proiezione ortogonale $M$.

Si chiede di:

1. Valuta criticamente entrambe le posizioni: spiega perché il metodo di Lucia raddoppia il lavoro di calcolo e dimostra come l'aver ottenuto prima la proiezione ortogonale $M$ permetta di rispondere immediatamente ai punti (a) e (b).

2. Seguendo il metodo proposto da Carlo (mediante un punto generico della retta o costruendo il piano ausiliario perpendicolare a $r$ passante per $P$), trova le coordinate della proiezione ortogonale $M$, deduci da essa la distanza esatta $d(P, r)$ e calcola le coordinate del punto simmetrico $P'$.

Un raggio laser parte dal punto $A(5, 2, 6)$ e si riflette su uno specchio piano rappresentato dal piano coordinato $XY$ ($z=0$). Il raggio riflesso deve passare per il punto $B(1, 4, 2)$.

Si chiede di:

1. Determinare le coordinate del punto di impatto $C$ del laser sullo specchio.

2. Calcolare la distanza totale percorsa dal raggio dal punto $A$ al punto $B$. (Nota: la distanza minima si ottiene mediante il punto simmetrico).

Si stanno progettando le strutture di sostegno di un padiglione. Due delle travi principali sono modellizzate dalle rette $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$ e $s \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{3}$. Determina la distanza minima che separa le due travi per verificare se sia necessario installare un connettore di sicurezza tra di esse.

Due satelliti per le comunicazioni seguono traiettorie lineari nello spazio (misurate in centinaia di chilometri) rappresentate dalle rette $r$ e $s$:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$ e $s: \frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-k}{1}$

Si chiede di:

1. Determinare i valori del parametro $k$ affinché la distanza minima tra le due traiettorie sia esattamente di $\sqrt{6}$ unità (600 km).

2. Per ciascun valore di $k$ ottenuto nel punto precedente, calcola i punti di ciascuna traiettoria in cui si raggiunge tale distanza minima (punti della perpendicolare comune).

Nel progetto di una sala espositiva, il pavimento e il soffitto sono stati modellizzati come due piani paralleli di equazioni $\pi_1: x - 2y + 2z - 4 = 0$ e $\pi_2: x - 2y + 2z + 11 = 0$. Trova l'altezza della sala.

È stata installata una rotaia metallica per un robot industriale che segue la traiettoria della retta:

Se il pavimento della fabbrica è il piano $\pi: x - 2z + 5 = 0$, verifica prima che la rotaia è parallela al pavimento e calcola poi la distanza di sicurezza a cui si trova la rotaia dal pavimento stesso.

Calcola il valore del parametro $k$ affinché la distanza tra i piani paralleli $\pi_1 \equiv 2x + 2y - z + 3 = 0$ e $\pi_2 \equiv 4x + 4y - 2z + k = 0$ sia di 3 unità. Spiega perché esistono due possibili valori per $k$.

Data la famiglia di piani $\pi_a: ax + (a-1)y + z + (a-2) = 0$, dove $a \in \mathbb{R}$:

1. Dimostra che tutti i piani della famiglia contengono una stessa retta comune $r$. Trova le equazioni di tale retta.

2. Calcola la distanza del punto $Q(2, -1, 0)$ dalla retta $r$.

3. Determina il valore di $a$ per il quale il piano $\pi_a$ si trova a una distanza di $\frac{1}{\sqrt{2}}$ unità dal punto $P(0, 0, 0)$.

Due piani incidenti $\pi_1 \equiv 2x - y + 2z - 1 = 0$ e $\pi_2 \equiv x + 2y - 2z + 5 = 0$ si intersecano lungo una retta nello spazio, dividendolo in quattro regioni angolari diedre.

1. Utilizzando la definizione analitica di distanza di un punto da un piano, imposta la condizione geometrica che deve soddisfare ogni punto $X(x, y, z)$ dello spazio per essere equidistante da entrambi i piani: $d(X, \pi_1) = d(X, \pi_2)$.

2. Sviluppa l'equazione ottenuta applicando le proprietà del valore assoluto e ricava le equazioni generali dei due piani bisettori risultanti, $\sigma_1$ e $\sigma_2$.

3. A partire dai vettori normali di $\sigma_1$ e $\sigma_2$, verifica algebricamente che i due piani bisettori sono perpendicolari tra loro.

4. Generalizza il risultato precedente a qualsiasi coppia di piani incidenti: se due piani hanno vettori normali unitari $\vec{u}$ e $\vec{v}$ (con $\vec{u} \neq \pm \vec{v}$), dimostra mediante le proprietà del prodotto scalare che i vettori normali dei piani bisettori, $\vec{n}_1 = \vec{u} + \vec{v}$ e $\vec{n}_2 = \vec{u} - \vec{v}$, sono sempre ortogonali, spiegando il significato geometrico di questo fatto.