Misura degli angoli: gradi e radianti

Un angolo misura esattamente $3$ radianti. Senza usare la calcolatrice, stabilisci se questo angolo è maggiore, minore o uguale a un angolo piatto ($180^\circ$) e determina in quale quadrante si trova.

Esprimi in radianti, usando frazioni ridotte ai minimi termini di $\pi$, i seguenti angoli dati in gradi sessagesimali: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ e $330^\circ$.

Converti in gradi sessagesimali i seguenti angoli espressi in radianti: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ e $\frac{11\pi}{3}$.

Calcola la somma degli angoli interni di un ottagono regolare ed esprimi in radianti il valore di ciascuno dei suoi angoli interni, usando frazioni di $\pi$.

Riduci i seguenti angoli al primo giro (cioè trova l'angolo equivalente compreso tra $0^\circ$ e $360^\circ$) e indica in quale quadrante si trova il lato finale di ciascuno: $1250^\circ$ e $2460^\circ$.

Trova l'angolo positivo equivalente nel primo giro (compreso tra $0$ e $2\pi$ rad) per i seguenti angoli negativi: $-\frac{\pi}{4}$ e $-\frac{13\pi}{6}$.

Calcola l'angolo al centro sotteso da un arco lungo $12$ cm in una circonferenza di raggio $4$ cm. Esprimi il risultato sia in radianti sia in gradi sessagesimali.

Determina la lunghezza dell'arco descritto dall'estremo inferiore di un pendolo lungo $60$ cm quando oscilla di un angolo di $\frac{\pi}{8}$ radianti.

Lucia deve calcolare l'area di un'aiuola a forma di settore circolare, il cui raggio misura $6\text{ m}$ e il cui angolo al centro è di $45^\circ$. Per risolvere, applica direttamente la formula $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ e scrive nel compito:

Vedendo il risultato, l'insegnante le dice di rivedere i calcoli, perché il cerchio completo di raggio $6\text{ m}$ ha una superficie di appena $113,1\text{ m}^2$ circa. Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale commesso da Lucia, giustifica perché la formula usata richiede che l'angolo sia espresso in radianti e calcola la soluzione corretta sia in forma esatta (in funzione di $\pi$) sia con approssimazione a due cifre decimali.

Un irrigatore agricolo copre un settore circolare. Il getto d'acqua raggiunge una distanza massima di $18$ metri e la testa dell'irrigatore spazza un angolo di $140^\circ$. Calcola l'area totale del terreno irrigato e la lunghezza dell'arco esterno descritto dall'acqua.

In una pista di atletica circolare, un corridore si muove sulla corsia interna mantenendosi a $50$ metri dal centro. Se percorre una distanza di $120$ metri, calcola l'angolo in radianti descritto rispetto al centro della pista. Esprimi poi questo risultato anche in gradi, primi e secondi.

Un disco in vinile gira su un giradischi a una velocità di $33$ giri al minuto (rpm). Calcola la sua velocità angolare in radianti al secondo e determina l'angolo, in radianti, descritto da un punto del suo bordo in $2,5$ secondi.

Il sistema di trasmissione di una macchina industriale è formato da due pulegge collegate da una cinghia tesa. La puleggia motrice ha un raggio di $15$ cm e la puleggia condotta ha un raggio di $45$ cm. Se la puleggia motrice ruota di un angolo di $\frac{7\pi}{2}$ radianti, calcola di quanti radianti ruota la puleggia condotta e quanti giri completi compie.

Il raggio delle ruote di un'automobile è di $32$ cm. Se il veicolo viaggia a una velocità costante di $90$ km/h, calcola la velocità angolare delle ruote espressa in radianti al secondo. Determina poi l'angolo totale ruotato da una ruota in un tragitto di $15$ minuti e convertilo in numero di giri completi.