Diagrammi ad albero e tabelle di contingenza

Uno studente dell'ultimo anno di liceo sostiene un esame finale di Fisica. Si sa che il $70\%$ degli studenti che hanno studiato con la piattaforma digitale della scuola è stato promosso, mentre solo il $40\%$ di quelli che non l'hanno usata ha ottenuto la sufficienza. Si stima che il $60\%$ della classe abbia utilizzato tale piattaforma.

Utilizzando un diagramma ad albero, determina:

1. a) La probabilità che uno studente scelto a caso abbia superato l'esame.
2. b) Se sappiamo che uno studente non ha superato l'esame, qual è la probabilità che non abbia usato la piattaforma digitale?

Abbiamo due urne preparate per un'estrazione. L'Urna A contiene $3$ palline verdi e $2$ rosse. L'Urna B contiene $1$ pallina verde e $4$ rosse. L'esperimento consiste nel lanciare una moneta: se esce testa, estraiamo una pallina dall'Urna A; se esce croce, la estraiamo dall'Urna B.

1. a) Rappresenta la situazione mediante un diagramma ad albero.
2. b) Calcola la probabilità che la pallina estratta sia rossa.

In un'azienda di produzione di componenti elettronici si usano due macchine, $M_1$ e $M_2$, per produrre chip. La macchina $M_1$ produce il $60\%$ dei chip e il resto lo produce $M_2$. Il $2\%$ dei chip di $M_1$ è difettoso, mentre per $M_2$ la percentuale di difettosi è del $5\%$.

1. a) Costruisci il diagramma ad albero associato a questo processo produttivo.
2. b) Se si seleziona un chip a caso e risulta difettoso, qual è la probabilità che sia stato prodotto dalla macchina $M_1$?

Una scatola di forniture tecnologiche contiene $8$ mouse wireless di colore bianco e $4$ di colore nero. Se si estraggono successivamente due mouse senza reinserimento:

1. a) Disegna il diagramma ad albero che descrive tutti i risultati possibili, indicando le probabilità su ogni ramo.
2. b) Calcola la probabilità che i due mouse estratti siano dello stesso colore.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Paolo e Clara preparano una lotteria di beneficenza di fine anno con un'urna che contiene esattamente $10$ chiavette USB apparentemente identiche: $3$ sono di $64\text{ GB}$ e $7$ sono di $128\text{ GB}$. Il gioco consiste nell'estrarre due chiavette consecutivamente senza reinserimento. Paolo vuole calcolare la probabilità che entrambe le chiavette siano di $64\text{ GB}$ e scrive alla lavagna:

$$P(\text{entrambe di } 64\text{ GB}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{100} = 0,09$$

Quando Clara gli fa notare che il risultato è sbagliato, Paolo si difende dicendo: «La proporzione di chiavette di $64\text{ GB}$ nella scatola è di $3$ su $10$; quella probabilità è una proprietà fissa delle chiavette e non può cambiare per il semplice fatto che io ne estragga una».

1. a) Spiega in modo motivato l'errore concettuale di Paolo. Quale regola dei diagrammi ad albero ha violato e cosa significa in questo contesto che i rami del secondo stadio riportano probabilità condizionate a quanto già avvenuto?
2. b) Modella l'esperimento descrivendo i rami che partirebbero da ciascun nodo in un diagramma ad albero corretto (con le loro probabilità precise).
3. c) Calcola la probabilità reale che entrambe le chiavette siano di $64\text{ GB}$ e la probabilità che almeno una delle due sia di $128\text{ GB}$.

In un corso di formazione professionale ci sono $10$ studenti che svolgono il tirocinio in azienda, dei quali $6$ sono in aziende tecnologiche e $4$ in aziende industriali. Si scelgono due studenti a caso in modo consecutivo e senza reinserimento.

1. a) Disegna il diagramma ad albero indicando le probabilità su ogni ramo.
2. b) Calcola la probabilità che i due studenti scelti siano nello stesso tipo di azienda.
3. c) Calcola la probabilità che almeno uno sia in un'azienda tecnologica.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un'azienda tecnologica produce componenti per droni in tre stabilimenti diversi: $F_1$, $F_2$ e $F_3$. Il $40 \%$ della produzione totale proviene da $F_1$, il $35 \%$ da $F_2$ e il resto da $F_3$. Il controllo qualità indica che la percentuale di componenti difettosi è del $3 \%$ in $F_1$, del $2 \%$ in $F_2$ e del $5 \%$ in $F_3$.

1. a) Calcola la probabilità che un componente scelto a caso dalla produzione complessiva non sia difettoso.
2. b) Se un cliente acquista un componente e questo risulta difettoso, in quale stabilimento è più probabile che sia stato prodotto? Giustifica il risultato applicando il teorema di Bayes.

Sul corridoio ferroviario ad alta velocità Roma-Milano competono tre operatori di trasporto passeggeri: Trenitalia, che gestisce il $50\,\%$ dei collegamenti giornalieri; Italo, che opera il $30\,\%$; e un terzo operatore, che copre il restante $20\,\%$. Secondo i dati di puntualità, la probabilità che un treno subisca un ritardo superiore a $15$ minuti è del $3\,\%$ per Trenitalia, del $5\,\%$ per Italo e del $10\,\%$ per il terzo operatore.

1. a) Modella la scelta e il viaggio di un passeggero preso a caso mediante un diagramma ad albero in cui figurino tutti gli eventi semplici, le loro probabilità marginali e le probabilità condizionate di ritardo.
2. b) Se un treno selezionato a caso arriva a destinazione senza ritardo (cioè puntuale o con meno di $15$ minuti di ritardo), qual è la probabilità che il servizio sia stato operato dal terzo operatore?
3. c) Un'associazione di consumatori sostiene sui social: «Poiché il terzo operatore presenta di gran lunga il tasso di ritardi più alto ($10\,\%$), dato un treno che arriva in ritardo alla stazione di Milano Centrale, è molto probabile che appartenga a quell'operatore». Dimostra formalmente, calcolando le probabilità a posteriori di ciascuna compagnia dato un treno in ritardo, se questa affermazione è vera o falsa, e ragiona su quale peso abbia la quota di mercato nella conclusione.

Un algoritmo di raccomandazione di una piattaforma di streaming musicale utilizza tre modelli diversi ($M_1, M_2, M_3$) per suggerire canzoni agli utenti. Il $40 \%$ delle volte usa $M_1$, il $35 \%$ usa $M_2$ e le restanti volte usa $M_3$.

La probabilità che un utente metta "mi piace" a una canzone suggerita da $M_1$ è $0,3$. Se la canzone è suggerita da $M_2$, la probabilità è $0,45$. Si sa che la probabilità totale che un utente metta "mi piace" a una canzone scelta a caso è $0,4325$.

1. a) Calcola la probabilità che un utente metta "mi piace" a una canzone suggerita dal terzo modello, $M_3$.

1. b) Se un utente ha messo "non mi piace" (evento contrario a "mi piace") a una canzone, qual è la probabilità che sia stata suggerita dal modello $M_1$?

1. c) Si scelgono tre canzoni suggerite in modo indipendente. Qual è la probabilità che almeno una di esse riceva un "mi piace"?

In uno studio sull'uso dei social network in un liceo di Roma, si è osservato che in un gruppo di $100$ studenti di liceo, $65$ usano abitualmente TikTok e $45$ usano Instagram. Inoltre, si sa che $25$ studenti usano entrambe le piattaforme.

Rappresenta questi dati in una tabella di contingenza (con le righe «TikTok» e «No TikTok», le colonne «Instagram» e «No Instagram», e i totali di righe e colonne) e calcola la probabilità che, scegliendo uno studente a caso:

1. a) Non usi nessuno dei due social network.

1. b) Usi TikTok, sapendo che usa già Instagram.

Un laboratorio di riparazione di cellulari riceve dispositivi con due tipi principali di guasti: schermo rotto o batteria difettosa. Il mese scorso, dei $200$ cellulari riparati, $120$ avevano lo schermo rotto, $70$ avevano problemi di batteria e $30$ avevano entrambi i guasti.

Organizza le informazioni in una tabella di contingenza e rispondi:

1. a) Qual è la probabilità che un cellulare scelto a caso abbia solo lo schermo rotto?

1. b) Se il cellulare ha la batteria difettosa, qual è la probabilità che abbia anche lo schermo rotto?

In un liceo di Roma è stato svolto un sondaggio sull'uso dei social network negli ultimi anni di liceo. I dati sono stati organizzati nella seguente tabella di contingenza, anche se alcuni valori sono andati persi:

	Instagram ($I$)	TikTok ($T$)	Totale
Quarto anno	$45$		$110$
Quinto anno		$60$
Totale	$85$		$210$

1. a) Completa la tabella di contingenza sul tuo quaderno.
2. b) Se scegliamo uno studente a caso e risulta essere di quinto anno, qual è la probabilità che il suo social preferito sia Instagram?
3. c) Gli eventi "essere di quarto anno" e "preferire TikTok" sono indipendenti? Giustifica la tua risposta matematicamente.

È stato svolto un sondaggio su $80$ persone riguardo alle loro abitudini di lettura in formato digitale o cartaceo. I risultati mostrano che $32$ persone leggono esclusivamente su carta, $28$ persone leggono in entrambi i formati e le restanti leggono esclusivamente in digitale.

1. a) Elabora una tabella di contingenza che riassuma questi dati.
2. b) Calcola la probabilità che una persona scelta a caso legga in formato digitale.
3. c) Se sappiamo che la persona legge su carta, qual è la probabilità che legga anche in digitale?

Una piattaforma di streaming offre due tipi di abbonamento: Standard e Premium. Si sa che il $60 \%$ degli utenti ha l'abbonamento Standard, mentre gli altri hanno il Premium. Tra gli utenti con abbonamento Standard, il $25 \%$ guarda contenuti in risoluzione 4K, mentre tra gli utenti Premium questa percentuale sale al $80 \%$.

Rappresenta la situazione mediante un diagramma ad albero e calcola:

1. a) La probabilità che un utente scelto a caso guardi contenuti in 4K.

1. b) Se sappiamo che un utente sta guardando un film in 4K, qual è la probabilità che abbia un abbonamento Standard?

In una prestigiosa accademia di e-sports, i giocatori sono classificati in base al rendimento in due categorie: Élite ($E$) e Promessa ($P$). È stato condotto uno studio sull'uso di tastiere meccaniche ($M$) e tastiere a membrana ($\bar{M}$).

Si sa che il $30 \%$ dei giocatori è di categoria Élite. Inoltre, tra i giocatori Promessa, la probabilità che usino una tastiera a membrana è il doppio di quella che usino una tastiera meccanica. Infine, si sa che la probabilità che un giocatore scelto a caso sia Élite e usi una tastiera meccanica è $0,24$.

1. a) Costruisci la tabella di contingenza completa con le probabilità di ciascun evento.

1. b) Calcola la probabilità che un giocatore usi una tastiera meccanica.

1. c) Se scegliamo un giocatore che usa una tastiera meccanica, qual è la probabilità che appartenga alla categoria Promessa?

1. d) Gli eventi "essere un giocatore Élite" e "usare una tastiera meccanica" sono indipendenti? Giustifica la risposta matematicamente.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.