Operazioni con i numeri complessi in forma algebrica

Esegui le seguenti operazioni di somma e sottrazione con numeri complessi: dati $z_1 = 3 - 4i$, $z_2 = -1 + 2i$ e $z_3 = 5i$, calcola in forma algebrica il risultato dell'espressione $z_1 - z_2 + z_3$.

Dato il numero complesso $z = -7 + 8i$, determina il suo coniugato $\bar{z}$ e il suo opposto $-z$. Quindi esegui l'operazione $z + \bar{z}$ e verifica algebricamente che il risultato è un numero reale.

Determina i valori dei numeri reali $x$ e $y$ affinché valga la seguente uguaglianza tra numeri complessi:

$(x + 2) + (y - 3)i = 5 + 4i$

Moltiplica i seguenti numeri complessi espressi in forma algebrica e semplifica il risultato raggruppando la parte reale e la parte immaginaria: $(2 + 5i)(-3 + i)$.

Semplifica le seguenti potenze dell'unità immaginaria $i$ applicando la periodicità dei loro valori:

• $i^{45}$

• $i^{102}$

• $i^{2024}$

• $i^{-13}$

Calcola il valore numerico del polinomio $P(z) = z^2 - 4z + 5$ quando viene valutato nel numero complesso $z = 2 + i$.

Sviluppa e semplifica l'espressione $(1 - i)^4$ operando esclusivamente in forma algebrica. Puoi utilizzare lo sviluppo del binomio di Newton o applicare le proprietà delle potenze $( (1-i)^2 )^2$.

Esegui la seguente divisione di numeri complessi moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore. Esprimi il risultato finale nella forma $a + bi$:

$\frac{4 - 3i}{1 + 2i}$

Luca cerca di semplificare la frazione di numeri complessi $\dfrac{5+2i}{2-i}$ per esprimerla in forma algebrica. Nella sua verifica scrive il seguente procedimento:

1. a) Individua motivando l'errore concettuale commesso da Luca nel denominatore e spiega perché il suo calcolo di $(2-i)(2+i)$ contraddice la regola di moltiplicare per il coniugato.
2. b) Risolvi correttamente l'operazione ed esprimi il risultato finale nella forma algebrica $a + bi$.

Determina il valore del parametro reale $k$ affinché il risultato del seguente quoziente sia un numero reale puro (cioè la sua parte immaginaria sia nulla):

$\frac{k + 2i}{3 - 4i}$

Risolvi la seguente equazione di secondo grado nell'insieme dei numeri complessi $\mathbb{C}$ e indica le sue due soluzioni:

$x^2 + 25 = 0$

Si vuole costruire un polinomio di secondo grado $P(x) = x^2 + bx + c$ a coefficienti reali ($b, c \in \mathbb{R}$) tale che una delle sue radici sia il numero complesso $z_1 = 2 - 3i$.

1. a) Giustifica, senza eseguire operazioni algebriche, quale deve essere necessariamente la seconda radice $z_2$ di questo polinomio, basandoti sulle proprietà spiegate riguardo alle equazioni a coefficienti reali.
2. b) Ottieni i valori esatti dei coefficienti $b$ e $c$ sviluppando il prodotto dei fattori $(x - z_1)(x - z_2)$ in forma algebrica e sostituendo $i^2 = -1$.

Un'alunna sostiene in classe la seguente affermazione: «Poiché per qualsiasi equazione quadratica con soluzioni complesse queste si presentano in coppie coniugate, allora nell'equazione $x^2 - (3+i)x + (4+3i) = 0$, sapendo che una soluzione è $x_1 = 1+2i$, l'altra soluzione deve essere obbligatoriamente il suo coniugato $x_2 = 1-2i$».

1. a) Verifica mediante sostituzione diretta e operazioni in forma algebrica se $x_1 = 1+2i$ e il suo presunto coniugato $1-2i$ soddisfano l'equazione quadratica data.
2. b) Spiega l'errore di ragionamento dell'alunna: quale condizione indispensabile indicata negli appunti non rispetta questa equazione, per cui non si applica la proprietà delle radici coniugate?
3. c) Utilizzando le relazioni tra coefficienti e radici per la somma ($x_1 + x_2 = 3+i$), calcola la vera seconda radice $x_2$ in forma algebrica e verifica che il prodotto $x_1 \cdot x_2$ coincide con il termine noto $4+3i$.

Trova il valore del numero reale $x$ affinché il prodotto dei numeri complessi $(x - 3i)$ e $(2 + 5i)$ dia come risultato un numero immaginario puro (cioè con parte reale uguale a zero).

In un modello matematico semplificato di meccanica quantistica, lo stato di una particella è descritto dall'ampiezza di probabilità $\psi = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$. Verifica se questo stato soddisfa la condizione di normalizzazione, la quale richiede che il prodotto del numero complesso per il suo coniugato sia esattamente uguale a uno ($\psi \cdot \bar{\psi} = 1$).

Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari in cui le incognite $z$ e $w$ sono numeri complessi. Esprimi entrambe le soluzioni in forma algebrica:

$\begin{cases} (1+i)z - w = 2 + i \\ 2z + (1-i)w = 3 - i \end{cases}$

Trova i numeri complessi $z = x + yi$ che sono radici quadrate del numero complesso $-5 + 12i$. A tal fine, imposta l'equazione $(x + yi)^2 = -5 + 12i$, uguaglia le parti reali e le parti immaginarie per formare un sistema di equazioni non lineare e risolvilo in $\mathbb{R}$.

In un circuito elettrico in corrente alternata, due componenti sono collegati in parallelo. Le loro impedenze complesse sono date da $Z_1 = 4 + 3i \ \Omega$ e $Z_2 = 2 - i \ \Omega$. Calcola l'impedenza equivalente del circuito, espressa in forma algebrica, utilizzando la formula fisica:

$Z_{eq} = \frac{Z_1 \cdot Z_2}{Z_1 + Z_2}$

Esegui le operazioni combinate indicate di seguito, rispettando la loro precedenza, ed esprimi il risultato finale in forma algebrica:

$\frac{(3 - i)(1 + 2i)}{2 + i} - (1 - 3i)$

In un progetto di ingegneria industriale in un impianto fotovoltaico di Napoli, si collegano due rami in parallelo la cui impedenza equivalente è data da $Z_p = \dfrac{Z_1 \cdot Z_2}{Z_1 + Z_2}$. Il primo ramo presenta un'impedenza $Z_1 = 3 + i\ \Omega$, mentre il secondo ramo ha un'impedenza $Z_2 = R - 2i\ \Omega$, dove $R > 0$ è una resistenza ohmica regolabile in ohm.

I tecnici devono regolare $R$ affinché il circuito entri in risonanza parallela, il che significa che l'impedenza globale $Z_p$ deve essere un numero reale puro (la sua parte immaginaria deve essere nulla), evitando sfasamenti tra tensione e corrente.

1. a) Sviluppa l'espressione di $Z_p$ in forma algebrica in funzione del parametro $R$, moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato opportuno.
2. b) Uguaglia a zero la parte immaginaria ottenuta per calcolare il valore esatto della resistenza $R$ da selezionare.
3. c) Con tale valore di $R$, trova il valore finale della resistenza equivalente $Z_p$ del circuito.