Prove ripetute e schema di Bernoulli
Marco tira 5 volte una moneta e vuole sapere quanto è probabile ottenere esattamente 2 teste. Non basta moltiplicare $\frac12 \cdot \frac12$: le due teste possono uscire in momenti diversi. Come si contano tutti i modi possibili, e con quale probabilità ciascuno? Lo scopriremo con lo schema di Bernoulli.
Lo schema di Bernoulli
Alcuni esperimenti si ripetono sempre uguali: tiri liberi, lanci di una moneta, pezzi controllati in una fabbrica. Hanno in comune tre caratteristiche.
Il «successo» è semplicemente l'esito che ci interessa contare (anche se è un pezzo difettoso!).
Poiché le prove sono indipendenti, la probabilità di una specifica sequenza si ottiene moltiplicando: SIISI ha probabilità $p\cdot q\cdot q\cdot p\cdot q=p^2q^3$. Ogni sequenza con 2 successi e 3 insuccessi ha la stessa probabilità $p^2q^3$, in qualunque ordine.
Un giocatore di pallacanestro segna un tiro libero con probabilità $0{,}8$. Calcola la probabilità che, in 3 tiri, li segni tutti.
Un giocatore di pallacanestro segna un tiro libero con probabilità $0{,}8$. Calcola la probabilità che, in 3 tiri, li segni tutti.
La formula di Bernoulli
Quante sono le sequenze di $n$ prove con esattamente $k$ successi? Basta scegliere in quali $k$ posizioni (su $n$) mettere i successi: sono $\binom{n}{k}$ modi, cioè le combinazioni $C_{n,k}$. Ognuna ha probabilità $p^k q^{n-k}$.
Il coefficiente binomiale conta i modi, la potenza dà la probabilità di ciascun modo: sommiamo $\binom{n}{k}$ volte lo stesso numero.
Si lancia 5 volte una moneta equilibrata. Calcola la probabilità di ottenere esattamente 2 volte testa.
Si lancia 5 volte una moneta equilibrata. Calcola la probabilità di ottenere esattamente 2 volte testa.
Un dado equilibrato viene lanciato 4 volte. Calcola la probabilità che il numero 6 esca esattamente 1 volta.
Un dado equilibrato viene lanciato 4 volte. Calcola la probabilità che il numero 6 esca esattamente 1 volta.
Una squadra di pallavolo vince ogni set con probabilità $0{,}6$, indipendentemente dagli altri. Una partita si vince vincendo 3 set su 5. Calcola la probabilità che la…
Una squadra di pallavolo vince ogni set con probabilità $0{,}6$, indipendentemente dagli altri. Una partita si vince vincendo 3 set su 5. Calcola la probabilità che la squadra vinca la partita ai 5 set, cioè con risultato 3 a 2.
«Al più», «almeno» e valore atteso
Spesso la domanda non riguarda un solo $k$. Gli eventi «$k$ successi» per $k$ diversi sono incompatibili, quindi si sommano le probabilità. Nota anche che, essendo $(p+q)^n=1$ per il binomio di Newton,
$$\sum_{k=0}^{n}\binom nk p^kq^{n-k}=(p+q)^n=1.$$La somma di tutte le $P(k)$ è 1: per questo conviene usare l'evento contrario.
Per «al più uno» invece si somma: $P(0)+P(1)$.
Ha senso: su 10 lanci di moneta ci aspettiamo $10\cdot\frac12=5$ teste.
Il «numero minimo di prove» si trova risolvendo una disequazione. Per esempio, con $p=0{,}1$: $1-0{,}9^n>0{,}5\iff 0{,}9^n<0{,}5\iff n>\frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}9}\approx6{,}58$, cioè $n\ge7$ (si inverte il verso perché $\ln0{,}9<0$).
In una fabbrica di Torino il 4% dei pezzi prodotti è difettoso. Si estraggono 10 pezzi in modo indipendente. Calcola la probabilità che: a) non ci siano pezzi difettosi;…
In una fabbrica di Torino il 4% dei pezzi prodotti è difettoso. Si estraggono 10 pezzi in modo indipendente. Calcola la probabilità che:
- a) non ci siano pezzi difettosi;
- b) ci sia al più un pezzo difettoso;
- c) ci siano almeno due pezzi difettosi.
Un test a risposta multipla ha 10 domande, ciascuna con 4 opzioni di cui una sola corretta. Uno studente risponde a caso. Calcola la probabilità che dia almeno 8…
Un test a risposta multipla ha 10 domande, ciascuna con 4 opzioni di cui una sola corretta. Uno studente risponde a caso. Calcola la probabilità che dia almeno 8 risposte corrette e il numero medio di risposte corrette atteso.
Un'azienda di Napoli spedisce pacchi, ciascuno dei quali ha probabilità $p=0{,}02$ di arrivare danneggiato, indipendentemente dagli altri. Determina il minimo numero $n$…
Un'azienda di Napoli spedisce pacchi, ciascuno dei quali ha probabilità $p=0{,}02$ di arrivare danneggiato, indipendentemente dagli altri. Determina il minimo numero $n$ di pacchi per cui la probabilità che almeno uno sia danneggiato supera $0{,}5$. Giustifica il procedimento.
Il valore più probabile
Quale numero di successi è il più probabile? Confrontiamo due termini consecutivi:
$$\frac{P(k+1)}{P(k)}=\frac{\binom n{k+1}p^{k+1}q^{n-k-1}}{\binom nk p^kq^{n-k}}=\frac{n-k}{k+1}\cdot\frac pq.$$Qui si usa $\binom n{k+1}=\binom nk\cdot\frac{n-k}{k+1}$. La probabilità cresce finché il rapporto è maggiore di 1, cioè $(n-k)p>(k+1)q$, che equivale a $k Per concludere il problema dell'urna: senza reimmissione la probabilità di rossa cambia a ogni estrazione, quindi lo schema di Bernoulli non vale (si userebbe l'ipergeometrica, che non è in programma). In $n$ prove indipendenti con probabilità di successo $p$, sia $P(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$. Un'urna contiene 3 palline rosse e 7 bianche. Si estrae una pallina, la si rimette nell'urna e si ripete l'estrazione $n$ volte. Vuoi altro allenamento?In $n$ prove indipendenti con probabilità di successo $p$, sia $P(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$. a) Dimostra che $\dfrac{P(k+1)}{P(k)}=\dfrac{(n-k)\,p}{(k+1)(1-p)}$. b)…
Un'urna contiene 3 palline rosse e 7 bianche. Si estrae una pallina, la si rimette nell'urna e si ripete l'estrazione $n$ volte. a) Determina la probabilità di ottenere…
In sintesi
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Schema di Bernoulli: $n$ prove indipendenti, due esiti, $P(S)=p$ costante.
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$P(k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$: il binomio conta le sequenze, la potenza dà la probabilità di ciascuna.
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«Al più» e «almeno» si ottengono sommando o passando all'evento contrario.
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Valore atteso dei successi: $n\cdot p$; la somma di tutte le $P(k)$ è 1.
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Senza reimmissione lo schema non vale.
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Vuoi tornare all'inizio? Per 2 teste su 5 lanci: $10\cdot\frac1{32}=\frac5{16}$.