Calcolo combinatorio

Un ristorante offre nel suo menù del giorno $4$ primi piatti, $5$ secondi piatti e $3$ dessert. Calcola quanti menù completi diversi (composti da un primo, un secondo e un dessert) può ordinare un cliente.

Un lucchetto digitale di una bicicletta si apre con un codice di $4$ cifre (da $0$ a $9$). Determina quanti codici diversi si possono configurare se è consentito ripetere le cifre.

Il sistema ordinario di immatricolazione dei veicoli in Spagna (DGT) assegna a ogni veicolo una targa formata da un blocco di $4$ cifre numeriche seguito da un blocco di $3$ lettere. Per i numeri si usano le cifre da $0$ a $9$, che possono ripetersi liberamente (da 0000 a 9999). Per le lettere si utilizzano $20$ consonanti dell'alfabeto (si escludono le cinque vocali per evitare acronimi o parole sconvenienti, così come la Ñ e la Q per evitare confusioni visive con la N e la O o lo 0), ammettendo anche in questo caso la ripetizione.

1. a) Modella il numero di combinazioni fornito dal blocco numerico e dal blocco alfabetico mediante gli strumenti di calcolo combinatorio adeguati, e deduci il numero totale di targhe distinte che questo sistema ammette.
2. b) Secondo le statistiche di immatricolazione della DGT e delle associazioni del settore automobilistico, in Spagna ogni anno vengono immatricolati circa $1{,}2$ milioni di veicoli che richiedono questo tipo di targa. Supponendo un ritmo annuo costante, stima quanti anni impiegherà il sistema a esaurire tutte le sue targhe e valuta se il progetto è adeguato al parco veicoli spagnolo a medio e lungo termine.

Un'associazione di robotica ha $12$ membri. Determina in quanti modi diversi si può scegliere un consiglio direttivo formato da un presidente, un vicepresidente e un segretario, sapendo che una stessa persona non può ricoprire più di una carica.

Un sistema di sicurezza richiede una password formata da $2$ lettere vocali distinte seguite da $3$ cifre distinte (da $0$ a $9$). Calcola quante password diverse si possono configurare in queste condizioni.

Risolvi la seguente equazione combinatoria per trovare il valore naturale di $n$:

$3 \cdot V_{n, 3} = 4 \cdot V_{n-1, 3}$

Calcola in quanti modi diversi si possono disporre $6$ libri di testo diversi in fila su uno scaffale.

Calcola il numero di anagrammi distinti, con o senza significato, che si possono formare con tutte le lettere della parola $INGENIERIA$.

Le lettere della parola $AEROPUERTO$ vengono mescolate a caso per formare un nuovo anagramma. Calcola la probabilità che la nuova parola inizi e termini con la lettera $O$.

Una professoressa di tecnologia deve selezionare $4$ studenti di una classe di $20$ perché partecipino a una fiera della scienza. Calcola quanti gruppi diversi di rappresentanti si possono formare.

In un piano sono stati segnati $8$ punti, di cui nessuna terna è allineata. Determina quante rette distinte si possono tracciare unendo coppie di questi punti.

In una classe di prima liceo con $20$ studenti si deve scegliere un gruppo di $3$ rappresentanti solidali per organizzare una campagna territoriale di raccolta di alimenti, in modo che i tre componenti svolgano esattamente le stesse funzioni all'interno del gruppo. Marco afferma: «Poiché per il primo rappresentante ci sono $20$ possibilità, per il secondo $19$ e per il terzo $18$, il numero totale di gruppi possibili è $V_{20,3} = 20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840$». Spiega in dettaglio perché il ragionamento di Marco è errato, individua quale concetto combinatorio non ha considerato e calcola il numero reale di gruppi distinti che si possono formare.

Da un mazzo di $40$ carte si estraggono $3$ carte a caso e senza reinserimento. Calcola la probabilità che le tre carte siano tutte "Re".

In un campionato locale di padel sono iscritte $8$ coppie. Nella prima fase, l'organizzazione stabilisce un girone all'italiana con sola andata (ogni coppia affronta esattamente una volta ciascuna delle altre).

1. a) Prima di effettuare qualsiasi calcolo esatto, fai una stima intuitiva: pensi che il numero totale di partite necessarie sarà più vicino a $25$, a $50$ o a $100$? Scrivi la tua stima iniziale e motiva brevemente la tua intuizione.
2. b) Modella la situazione individuando la tecnica combinatoria adeguata e calcola il numero esatto di partite che si disputeranno.
3. c) Confronta il valore ottenuto con la tua stima iniziale e rifletti sul perché, nei problemi di conteggio di accoppiamenti, l'intuizione tende a sovrastimare il risultato.

Un gruppo di ricerca biomedica deve essere formato da $5$ persone. I candidati disponibili sono $6$ biologi e $4$ chimici. Determina quanti gruppi diversi si possono formare se nel gruppo devono esserci esattamente $3$ biologi e $2$ chimici.

Sette amici vanno al cinema e si siedono in una fila di $7$ poltrone. Due di loro, Anna e Bruno, vogliono sedersi obbligatoriamente vicini. Calcola in quanti modi diversi possono occupare i posti.

Un'azienda tecnologica vuole formare un comitato di cybersicurezza di $6$ esperti scelti tra $8$ ingegneri del software e $7$ analisti di reti. Calcola quanti comitati diversi si possono formare se nel gruppo devono esserci almeno $4$ ingegneri del software.

Una commissione tecnica dell'Assessorato all'Ambiente deve essere formata da $5$ specialisti scelti tra un gruppo di candidati composto da $6$ biologi, $5$ chimici e $4$ giuristi. Per vincolo del bando, nella commissione deve figurare almeno un giurista. Per calcolare il numero totale di commissioni possibili, tre membri della giuria propongono strategie diverse:

• Strategia A (metodo diretto): scomporre il conteggio in quattro casi disgiunti a seconda che la commissione abbia $1$, $2$, $3$ o $4$ giuristi, calcolare le combinazioni possibili in ciascun caso e sommarle.

• Strategia B (metodo indiretto o complementare): calcolare il totale delle commissioni di $5$ persone che si possono formare con i $15$ candidati senza alcuna condizione preliminare, e sottrarre quelle commissioni in cui non c'è alcun giurista.

• Strategia C (assegnazione preliminare): scegliere per prima cosa $1$ dei $4$ giuristi disponibili per garantire il requisito di legge, e poi completare i $4$ posti rimanenti scegliendo liberamente tra i $14$ candidati rimasti.

1. a) Analizza criticamente le tre strategie: dimostra quale di esse commette un grave errore concettuale di conteggio (spiegando quali elementi vengono contati più volte) e confronta l'efficienza di calcolo tra le due valide, giustificando quale sia preferibile.
2. b) Applica la strategia valida più efficiente per calcolare il numero esatto di commissioni valide che si possono costituire.

Un lotto di $20$ microchip contiene $4$ pezzi difettosi. Se si selezionano a caso $3$ microchip senza reinserimento per un'ispezione, calcola la probabilità che esattamente $1$ di essi sia difettoso.

Da un mazzo di carte francesi di $52$ carte si distribuisce una mano di $5$ carte. Calcola la probabilità che il giocatore ottenga esattamente $3$ Assi nella sua mano iniziale.

Un'urna contiene $5$ palline rosse, $4$ palline azzurre e $3$ palline verdi. Se si estraggono $3$ palline contemporaneamente a caso, calcola la probabilità che siano tutte di colore diverso.

In un processo di controllo di qualità, si estrae un campione casuale di $5$ pezzi da una linea di produzione che contiene in totale $50$ pezzi, dei quali il $10\%$ sono difettosi. Calcola la probabilità di trovare al massimo $1$ pezzo difettoso nel campione estratto.

Si estraggono $5$ carte a caso da un mazzo di carte francesi di $52$ carte. Calcola la probabilità di ottenere un "Full House", cioè una mano formata da $3$ carte dello stesso valore e $2$ carte di un altro valore diverso.

In un torneo di scacchi in cui ogni partecipante gioca esattamente una partita contro ciascuno degli altri giocatori, sono state disputate in totale $105$ partite. Determina il numero di giocatori che hanno partecipato al torneo.

Un centro comprensoriale di emergenze mediche organizza turni notturni in cui ogni guardia deve essere coperta da una coppia di $2$ medici. Attualmente, combinando i medici dell'organico disponibile, si possono formare esattamente $66$ coppie di guardia distinte (senza importanza per l'ordine in cui vengono assegnati all'interno della coppia).

1. a) Imposta un'equazione a partire dalla formula combinatoria corrispondente e risolvi per determinare quanti medici compongono l'organico attuale.
2. b) In vista della stagione estiva, la direzione calcola che avrà bisogno di disporre di almeno $105$ coppie di guardia distinte per evitare il sovraccarico di lavoro e garantire una rotazione adeguata. Quanti medici in più, come minimo, dovrà assumere il centro comprensoriale?

Quattro uomini e quattro donne si siedono a cena attorno a un tavolo rotondo. Determina in quanti modi distinti possono sedersi se le persone dello stesso sesso non possono stare vicine (cioè uomini e donne devono alternarsi). Considera che due disposizioni sono uguali se una si può ottenere ruotando l'altra.

Un investitore vuole ripartire $10\,000$ euro tra $4$ imprese emergenti (startup). Se l'investimento in ciascuna impresa deve essere un multiplo esatto di $1\,000$ euro (compresa la possibilità di investire $0$ euro in qualcuna di esse), determina in quanti modi distinti può distribuire il capitale.

In una città le cui strade formano una griglia perfetta, calcola quanti percorsi di lunghezza minima esistono per andare dal punto $A(0,0)$ al punto $B(6,5)$, passando obbligatoriamente per l'incrocio $C(3,2)$.

L'Agenzia Spaziale Europea deve assegnare $12$ astronauti a $3$ moduli spaziali distinti (Modulo di Comando, Modulo Lunare e Modulo di Servizio). Calcola in quanti modi distinti si possono distribuire i membri dell'equipaggio se ogni modulo deve ospitare esattamente $4$ astronauti.

Un corriere in bicicletta deve spostarsi lungo la rete stradale a griglia regolare del distretto dell'Eixample di Milano. Deve partire dal magazzino centrale e consegnare un pacco urgente in un punto situato esattamente a $6$ isolati verso Est e $4$ isolati verso Nord. Perché il percorso sia di distanza minima, a ogni incrocio può pedalare solo verso Est (E) o verso Nord (N). Tuttavia, il Comune ha chiuso al traffico per lavori l'incrocio situato a $3$ isolati a Est e $2$ isolati a Nord del magazzino.

1. a) Giustifica rigorosamente perché il calcolo del totale dei percorsi minimi teorici (senza considerare i lavori) si può modellizzare sia mediante permutazioni con ripetizione sia mediante combinazioni, e calcola tale numero totale.
2. b) Modella matematicamente il numero di percorsi che passano obbligatoriamente per l'incrocio chiuso per lavori, dividendo il viaggio in due tappe consecutive indipendenti e applicando il principio di moltiplicazione.
3. c) Deduci il numero finale di percorsi ottimali diversi di cui dispone il corriere per completare l'incarico evitando la zona in lavori.

Sfida del tema. Quando si esaurirà l'attuale sistema di targhe in Spagna? La tua missione è consigliare le autorità del traffico analizzando la scadenza del modello attuale e progettando un'alternativa praticabile.

1. Ricerca dei dati: Consulta il portale dell'INE o della DGT per trovare il numero di immatricolazioni di veicoli in Spagna nell'ultimo anno (circa $1,1$ milioni).

2. Analisi combinatoria: Il sistema ordinario attuale è composto da $4$ cifre (da $0$ a $9$) e $3$ lettere (si usano $20$ consonanti, omettendo le vocali, la Ñ e la Q). Calcola mediante disposizioni con ripetizione ($VR_{n,k}$) e il principio moltiplicativo il numero totale di targhe possibili.

3. Simulazione in foglio di calcolo: Modella in un foglio di calcolo l'evoluzione del parco veicoli con il dato dell'INE per prevedere quanti anni di validità restano al sistema prima del collasso.

4. Proposta tecnica: Progetta un nuovo formato di targa che moltiplichi almeno per $4$ la capacità attuale. Calcola il suo spazio campionario combinatorio e presenta le tue conclusioni in una breve relazione di una pagina.

Verrà valutato:

• L'identificazione e l'applicazione corretta degli strumenti del calcolo combinatorio (disposizioni, principio di moltiplicazione).

• Il rigore nel reperimento, nel trattamento e nell'interpretazione dei dati reali dell'INE nel foglio di calcolo.

• La fattibilità, la creatività e il fondamento matematico del nuovo sistema proposto.