Seno, coseno e tangente hanno ciascuno un «gemello»: il loro reciproco. Compaiono continuamente quando si semplificano espressioni, si risolvono equazioni goniometriche e in fisica: per esempio, la lunghezza di una rampa che supera un'altezza $h$ con un'inclinazione $\alpha$ si esprime con una cosecante. Sono semplici frazioni capovolte, ma conviene padroneggiarle perché fanno risparmiare passaggi in metà degli esercizi di questo blocco.
Tre nuovi rapporti: secante, cosecante e cotangente
Ciascuno dei tre nuovi rapporti è, per definizione, il reciproco di uno di quelli che già conosci.
In un triangolo rettangolo con angolo acuto $\alpha$ questo significa: $\sec\alpha=\dfrac{\text{ipotenusa}}{\text{cateto adiacente}}$, $\operatorname{cosec}\alpha=\dfrac{\text{ipotenusa}}{\text{cateto opposto}}$, $\operatorname{cotg}\alpha=\dfrac{\text{cateto adiacente}}{\text{cateto opposto}}$.
Esercitati★☆☆Da iniziare
Sapendo che $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ e che $\alpha$ è un angolo del primo quadrante, calcola il valore esatto di $\csc \alpha$ e $\sec \alpha$.
Sapendo che $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ e che $\alpha$ è un angolo del primo quadrante, calcola il valore esatto di $\csc \alpha$ e $\sec \alpha$.
La relazione fondamentale $\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ ha due versioni «con i reciproci», che si ottengono dividendo l'uguaglianza per $\cos^2\alpha$ oppure per $\operatorname{sen}^2\alpha$.
Esercitati★☆☆Da iniziare
Se $\tan \beta = \frac{4}{3}$ e $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, usa la relazione fondamentale $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ per calcolare $\sec \beta$.
Se $\tan \beta = \frac{4}{3}$ e $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, usa la relazione fondamentale $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ per calcolare $\sec \beta$.
Sapendo che $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ e che $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcola il valore esatto degli altri rapporti trigonometrici (seno, coseno, tangente,…
Sapendo che $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ e che $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcola il valore esatto degli altri rapporti trigonometrici (seno, coseno, tangente, cosecante e cotangente).
Poiché $\sec\alpha$ ha lo stesso segno di $\cos\alpha$, e $\operatorname{cosec}\alpha$ e $\operatorname{cotg}\alpha$ lo stesso segno di $\operatorname{sen}\alpha$ e $\operatorname{tg}\alpha$, la tabella dei segni dei rapporti originali vale anche per i reciproci: non c'è nulla di nuovo da imparare.
Esercitati★☆☆Da iniziare
Un angolo $\gamma$ soddisfa $\sec \gamma < 0$ e $\csc \gamma > 0$. Stabilisci, motivando, in quale quadrante della circonferenza goniometrica si trova l'angolo $\gamma$.
Un angolo $\gamma$ soddisfa $\sec \gamma < 0$ e $\csc \gamma > 0$. Stabilisci, motivando, in quale quadrante della circonferenza goniometrica si trova l'angolo $\gamma$.
Sapendo che $\csc x = 3$ e che l'angolo $x$ appartiene al secondo quadrante, calcola il valore esatto dell'espressione $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.
Sapendo che $\csc x = 3$ e che l'angolo $x$ appartiene al secondo quadrante, calcola il valore esatto dell'espressione $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.
Per semplificare espressioni con i reciproci conviene riscrivere tutto in seno e coseno: di solito è la strada più breve perché si semplificano i fattori comuni.
Esercitati★☆☆Da iniziare
Semplifica al massimo la seguente espressione trigonometrica: $\cos x \cdot \sec x + \sin x \cdot \csc x$.
Semplifica al massimo la seguente espressione trigonometrica: $\cos x \cdot \sec x + \sin x \cdot \csc x$.
Un'equazione con secante o cosecante si riconduce a una elementare in seno o coseno, capovolgendo entrambi i membri (dopo aver escluso i valori in cui i denominatori si annullano).
Esercitati★★☆Da iniziare
Risolvi la seguente equazione trigonometrica indicando tutte le soluzioni nell'intervallo $[0, 2\pi]$: $2\csc x + 4 = 0$.
Risolvi la seguente equazione trigonometrica indicando tutte le soluzioni nell'intervallo $[0, 2\pi]$: $2\csc x + 4 = 0$.
Torniamo all'inizio: una rampa che supera un'altezza $h$ con inclinazione $\alpha$ è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo, quindi la sua lunghezza è $L = \frac{h}{\operatorname{sen}\alpha} = h\operatorname{cosec}\alpha$. Per esempio, per $h = 1$ m e $\alpha = 30^\circ$, poiché $\operatorname{cosec}(30^\circ) = 2$, la rampa misura $L = 2$ m.
In sintesi
Mettiti alla prova! 10 esercizi di livello medio in questa sezione