Movimenti nel piano

Un drone per le consegne si trova nella posizione $P(3, -2)$, espressa in chilometri rispetto alla sua base. Il controllore gli invia l'istruzione di effettuare uno spostamento rettilineo definito dal vettore di traslazione $\vec{v} = (-5, 4)$. Determina le coordinate della nuova posizione del drone.

Una macchina da taglio laser si sposta in linea retta su una lastra di metallo dal punto iniziale $A(-1, 5)$ al punto finale $B(4, 2)$. Calcola il vettore di traslazione che descrive esattamente questo movimento.

Una gru sposta in orizzontale e in verticale una trave rettilinea i cui estremi iniziali sono $A(1, 1)$ e $B(5, 3)$. Il movimento avviene mediante una traslazione definita dal vettore $\vec{t} = (0, -4)$. Calcola le coordinate dei nuovi estremi $A'$ e $B'$ della trave.

La traiettoria di un nastro trasportatore segue la retta di equazione $y = 2x - 1$. Per esigenze di spazio nella fabbrica, tutto il nastro viene traslato di $3$ unità verso sinistra e di $2$ unità verso l'alto. Scrivi l'equazione generale della nuova retta che definisce la traiettoria traslata.

Un'antenna di telefonia mobile fornisce copertura in una zona circolare la cui equazione cartesiana è $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$. A causa di problemi di interferenze con un edificio vicino, la compagnia decide di spostare l'antenna (il centro della circonferenza) secondo il vettore $\vec{v} = (-3, 5)$. Determina l'equazione generale della nuova zona di copertura.

Il riflettore di un faro d'automobile segue il profilo della parabola $y = x^2 - 6x + 11$. Per facilitare la programmazione della macchina utensile CNC, l'ingegnere deve applicare alla parabola una traslazione in modo che il suo vertice coincida esattamente con l'origine delle coordinate. Determina il vettore di traslazione necessario e la nuova equazione della parabola.

L'orbita di una cometa è proiettata su un piano astronomico secondo l'equazione dell'ellisse $4x^2 + 9y^2 - 24x + 36y + 36 = 0$. Mediante una traslazione degli assi è possibile esprimere questa equazione nella sua forma canonica centrata nell'origine. Calcola il vettore di traslazione che porta il centro geometrico della conica nell'origine delle coordinate e scrivi l'equazione dell'ellisse dopo tale traslazione.

Nel progetto di un giardino simmetrico si vuole collocare una fontana nel punto $F'$ che sia il simmetrico di una statua situata in $E(4, 7)$ rispetto a un palo centrale posto nell'origine delle coordinate $O(0, 0)$. Trova le coordinate in cui deve essere installata la fontana.

Luca sta programmando un videogioco e deve calcolare la posizione del riflesso di un personaggio situato nel punto $A(4, -1)$ mediante una simmetria centrale rispetto al punto di controllo $M(1, 2)$. Sul quaderno imposta quanto segue:

«Poiché $M$ è il punto medio tra $A$ e il suo simmetrico $A'$, calcolo le coordinate di $A'$ facendo la media di $A$ e $M$:

$$A' = \frac{A + M}{2} = \left(\frac{4+1}{2},\ \frac{-1+2}{2}\right) = (2,5;\ 0,5)$$»

Individua l'errore concettuale commesso da Luca, spiega perché il suo risultato contraddice la definizione geometrica di simmetria centrale e determina le coordinate corrette del punto simmetrico $A'$.

Una linea ferroviaria segue la traiettoria della retta $r \equiv 3x + 4y - 12 = 0$. Un urbanista vuole tracciare un nuovo viale $s$ perfettamente simmetrico alla linea ferroviaria rispetto a un monumento centrale situato in $C(1, -1)$. Trova l'equazione generale del viale $s$.

Un punto di controllo topografico si trova in $P(-3, 5)$ e gli viene applicata una simmetria assiale rispetto alla retta orizzontale $r \equiv y = 1$.

1) Prima di eseguire qualsiasi calcolo analitico, stima in modo motivato in quale quadrante del piano si troverà il punto trasformato $P'$. Argomenta quale coordinata rimarrà invariata e quale cambierà, stimando mentalmente il suo nuovo valore a partire dalla distanza di $P$ dall'asse.

2) Calcola analiticamente le coordinate di $P'$ mediante la condizione di punto medio e di perpendicolarità, e verifica se il risultato coincide con la tua stima iniziale.

In un programma di grafica è stato tracciato un poligono con un vertice chiave nel punto $V(5, -2)$. Si applica una simmetria assiale rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante (retta $y=x$). Determina analiticamente le coordinate del vertice simmetrico $V'$.

Un raggio laser viene emesso da un proiettore situato nel punto $P(-2, 4)$. Di fronte c'è uno specchio piano posto esattamente sulla retta di equazione $r \equiv x - 2y + 5 = 0$. Calcola le coordinate del punto virtuale $P'$ (simmetrico di $P$ rispetto allo specchio) da cui sembra provenire la luce riflessa.

Due torri di avvistamento forestale si trovano nei punti $T_1(-3, 1)$ e $T_2(5, 5)$. Si vuole tracciare una linea tagliafuoco rettilinea che funga da asse di simmetria tra le due torri, in modo che ogni punto della linea sia equidistante da $T_1$ e $T_2$. Calcola l'equazione generale della retta che definisce tale tagliafuoco.

Due rotaie rettilinee e parallele in un tratto ferroviario sono descritte dalle rette $r \equiv 2x - y + 3 = 0$ e $s \equiv 2x - y - 7 = 0$.

1) Determina l'equazione generale della retta che funge da asse di simmetria assiale che trasforma la rotaia $r$ nella rotaia $s$.

2) Se invece di una simmetria si vuole passare dalla retta $r$ alla retta $s$ mediante una traslazione di vettore $\vec{v}$, esistono infiniti vettori possibili. Determina le componenti e il modulo del vettore di traslazione $\vec{v}$ che ha la minima lunghezza geometrica possibile.

Un raggio di luce viaggia lungo la retta $r \equiv 2x - y + 4 = 0$ e urta contro uno specchio piano situato sulla retta $s \equiv x + y - 1 = 0$. Determina l'equazione generale della retta $r'$ che contiene il raggio riflesso, sapendo che tale retta è la simmetrica di $r$ rispetto a $s$.

Il contorno di un ingranaggio circolare ha equazione $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$. Questo ingranaggio viene riflesso in uno specchio inclinato rappresentato dalla retta $r \equiv 3x - 4y + 10 = 0$. Determina l'equazione generale della circonferenza che rappresenta l'immagine riflessa dell'ingranaggio.

Data la retta $r \equiv 2x - y + 1 = 0$ e l'asse di simmetria assiale $s \equiv x + y - 4 = 0$, si chiede di trovare l'equazione generale della retta $r'$ simmetrica rispetto a $s$. Due studenti discutono su quale procedimento seguire:

• Candida propone: «Calcolo il punto di intersezione $I = r \cap s$, che è invariante perché appartiene all'asse ($I' = I$). Poi scelgo un punto ausiliario $P \in r$ con $P \neq I$, calcolo il suo simmetrico $P'$ rispetto a $s$, e la retta cercata sarà quella che passa per $I$ e $P'$».

• Matteo propone: «Prendo due punti arbitrari distinti $A$ e $B$ sulla retta $r$, calcolo il simmetrico di ciascuno ($A'$ e $B'$) tracciando le perpendicolari a $s$ e trovandone i piedi, e poi scrivo la retta che unisce $A'$ e $B'$».

1) Confronta il carico di calcolo e i vantaggi geometrici dei due metodi, giustificando in modo motivato quale dei due è più efficiente.

2) Applica il metodo scelto per ottenere l'equazione generale della retta simmetrica $r'$.

Due paesi, $A(1, 5)$ e $B(7, 2)$, devono collegarsi a una tubatura principale dell'acqua che corre in linea retta lungo l'asse delle ascisse ($y=0$). Si vuole costruire una stazione di pompaggio $P$ sulla tubatura principale in modo che la lunghezza totale dei tubi secondari ($AP + PB$) sia minima. Utilizzando il concetto di simmetria assiale, calcola le coordinate esatte del punto $P$ e la lunghezza minima totale della tubatura.

Su un tavolo da biliardo, una palla bianca si trova nel punto $B(2, 3)$ e una palla rossa in $R(8, 6)$. Un giocatore vuole colpire la palla rossa facendo rimbalzare prima la bianca sulla sponda superiore del tavolo, che si trova sulla retta $y = 10$. Supponendo che l'angolo di incidenza sia uguale a quello di riflessione, calcola le coordinate del punto esatto della sponda in cui deve colpire la palla bianca per raggiungere il suo obiettivo.

In un'azienda agricola con serre a Vittoria (Ragusa), si progetta di installare una presa d'acqua $B$ situata sul margine di un canale di irrigazione rettilineo, la cui traiettoria segue la retta $r \equiv x - 2y + 2 = 0$. La presa deve rifornire due settori di coltivazione situati in $A(1, 4)$ e $C(7, 6)$ (coordinate espresse in centinaia di metri). Si vuole collocare $B$ sul canale in modo che la lunghezza totale della tubatura installata, $L = d(A, B) + d(B, C)$, sia minima.

1) Giustifica teoricamente, utilizzando le proprietà della simmetria assiale come isometria che conserva le distanze, perché la posizione ottimale di $B$ coincide con l'intersezione del canale $r$ e del segmento che unisce il simmetrico di $A$ rispetto a $r$ (indicato con $A'$) con il punto $C$.

2) Determina analiticamente le coordinate del punto simmetrico $A'$ rispetto alla retta $r$.

3) Trova le coordinate esatte della presa d'acqua $B$ sul canale che minimizza la lunghezza dell'impianto.

Un peschereccio compie due spostamenti consecutivi in alto mare. Prima si sposta secondo il vettore $\vec{u} = (2, 6)$ e poi secondo il vettore $\vec{v} = (3, -1)$. Se è partito da un porto situato nelle coordinate $P(-4, -5)$, determina la sua posizione finale dopo entrambi gli spostamenti.

In un'animazione di un videogioco, il centro geometrico di un personaggio situato in $A(1, 3)$ subisce una traslazione di vettore $\vec{t} = (4, -2)$ seguita immediatamente da una simmetria centrale rispetto al punto $C(2, 0)$. Trova la posizione finale del personaggio e verifica analiticamente se il risultato sarebbe lo stesso applicando prima la simmetria e poi la traslazione.

In un capannone logistico automatizzato a Bologna, le merci si spostano in un piano coordinato in metri. Un pacco situato nella posizione $A(1, 2)$ è sottoposto a una traslazione definita dal vettore $\vec{v} = (6, -2)$, raggiungendo la posizione intermedia $A'$. Successivamente, il sistema di guida gli applica una simmetria centrale rispetto a un palo di controllo situato in $M(5, 3)$, portandolo alla sua destinazione finale $A''$.

1) Calcola le coordinate delle posizioni $A'$ e $A''$.

2) Se l'operatrice del capannone avesse invertito l'ordine delle istruzioni (applicando prima a $A$ la simmetria centrale rispetto a $M$ e poi la traslazione di vettore $\vec{v}$), il pacco sarebbe finito nella stessa posizione $A''$? Giustifica la risposta calcolando le nuove coordinate ed enunciando la proprietà teorica che regola la commutatività nella composizione dei movimenti.

Dimostra analiticamente che la composizione di due simmetrie assiali rispetto a rette parallele equivale a una traslazione. A tale scopo, considera le rette $r \equiv x - 2y = 0$ e $s \equiv x - 2y + 10 = 0$. Prendi un punto generico $P(x_0, y_0)$, trova il suo simmetrico $P'$ rispetto a $r$, e poi il simmetrico $P''$ di $P'$ rispetto a $s$. Determina il vettore di traslazione $\vec{v} = \vec{PP''}$ e verifica che è perpendicolare alle rette e che il suo modulo è il doppio della distanza tra di esse.

Date le rette parallele $r \equiv 2x + y - 3 = 0$ e $s \equiv 2x + y + 7 = 0$, trova il vettore di traslazione $\vec{v}$ di modulo minore che trasforma la retta $r$ nella retta $s$. Dimostra analiticamente che questo vettore è perpendicolare a entrambe le rette e che il suo modulo coincide con la distanza minima tra di esse.

Un'isometria del piano trasforma il punto $A(1, 2)$ in $A'(5, 4)$ e il punto $B(3, -1)$ in $B'(7, 1)$.

1. a) Dimostra che la distanza tra $A$ e $B$ è la stessa che tra $A'$ e $B'$.
2. b) Determina se il movimento descritto corrisponde a una traslazione pura o a una simmetria centrale, giustificando analiticamente la risposta e trovando il vettore di traslazione o il centro di simmetria corrispondente.