Disequazioni goniometriche

Disequazioni elementari

Una disequazione goniometrica elementare ha la forma $\operatorname{sen} x > a$ (oppure $<$, $\ge$, $\le$), e analogamente per $\cos x$ e $\operatorname{tg} x$.

Il metodo più sicuro usa la circonferenza goniometrica, dove il seno è l'ordinata del punto associato all'angolo $x$ e il coseno è la sua ascissa.

1. Risolvi l'equazione associata ($\operatorname{sen} x = a$) e individua i due punti della circonferenza.

2. Traccia la retta $y = a$ (per il seno) o $x = a$ (per il coseno): divide la circonferenza in due archi.

3. Scegli l'arco che soddisfa il verso della disequazione: sopra o sotto la retta per il seno, a destra o a sinistra per il coseno.

4. Leggi gli angoli degli estremi dell'arco, rispettando l'intervallo richiesto.

Per $\operatorname{sen} x > \frac{1}{2}$ i punti con ordinata maggiore di $\frac{1}{2}$ formano l'arco da $\frac{\pi}{6}$ a $\frac{5\pi}{6}$.

Per il coseno il ragionamento è analogo: $\cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ richiede punti con ascissa minore o uguale a $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Per la tangente si usa l'asse delle tangenti, la retta $x = 1$, e bisogna ricordare le condizioni di esistenza: $\operatorname{tg} x$ non esiste per $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Disequazioni di secondo grado in seno o coseno

Se compare solo $\operatorname{sen} x$ (o solo $\cos x$) elevato anche al quadrato, poni $t = \operatorname{sen} x$. Si risolve la disequazione algebrica in $t$ e poi si torna a disequazioni elementari.

Ricorda che $-1 \le t \le 1$: le soluzioni fuori da questo intervallo non danno nessun angolo.

Se compaiono sia $\operatorname{sen}$ che $\cos$ al quadrato, usa la relazione fondamentale $\cos^2 x = 1 - \operatorname{sen}^2 x$ per avere una sola funzione.

Disequazioni lineari in seno e coseno

Una disequazione come $\operatorname{sen} x - \cos x > 1$ contiene seno e coseno insieme. Si può ricondurre a un'unica funzione con il metodo dell'angolo aggiunto, che usa le formule di addizione:

Perché? Per la formula di sottrazione,

Disequazioni fratte, domini e modelli

Disequazioni fratte. Studia il segno di numeratore e denominatore separatamente, poi usa la tabella dei segni. Il denominatore non può mai annullarsi: i suoi zeri si escludono sempre dalla soluzione.

Domini. Per una funzione con radice quadrata, come $f(x) = \sqrt{g(x)}$, il dominio si trova da $g(x) \ge 0$. Se $g$ contiene sia seno che coseno al quadrato, riduci a una funzione sola con $\cos^2 x = 1 - \operatorname{sen}^2 x$.

Modelli periodici. Nel porto di Genova l'altezza dell'acqua è $h(t) = 2 + \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{6}t\right)$ metri, con $t \in [0, 12]$ ore. Per avere $h(t) \ge 2{,}5$ serve $\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{6}t\right) \ge \frac{1}{2}$. Con $u = \frac{\pi}{6}t \in [0, 2\pi]$ la condizione dà $\frac{\pi}{6} \le u \le \frac{5\pi}{6}$, quindi $1 \le t \le 5$. Torna al principio: la nave può attraccare per 4 ore, dall'una alle cinque.

Parametri. Una disequazione in $\operatorname{sen} x$ vale per ogni $x \in \mathbb{R}$ se e solo se la disequazione in $t$ vale per ogni $t \in [-1; 1]$, perché $\operatorname{sen} x$ assume tutti i valori di quell'intervallo.

In sintesi

• Una disequazione elementare si risolve con la circonferenza goniometrica: seno = ordinata, coseno = ascissa, tangente sull'asse $x = 1$ (con le condizioni di esistenza).

• Disegna sempre i due punti della retta e scegli l'arco giusto, rispettando l'intervallo richiesto.

• Se compare una sola funzione goniometrica elevata a più potenze, poni $t = \operatorname{sen} x$ (o $\cos x$) e ricorda $-1 \le t \le 1$.

• Per $a\operatorname{sen} x + b\cos x$ usa l'angolo aggiunto e ricorda di cambiare anche l'intervallo della variabile.

• Nelle disequazioni fratte studia il segno di $N$ e $D$ e escludi sempre gli zeri di $D$.

• Con i parametri, riduci a una disequazione in $t \in [-1; 1]$ e controlla gli estremi.