Risoluzione dei triangoli rettangoli

Un triangolo rettangolo ha cateti che misurano $5$ cm e $12$ cm. Calcola la lunghezza dell'ipotenusa e la misura in gradi dei suoi due angoli acuti.

I punti $A(0,0)$, $B(8,0)$ e $C(8,6)$ formano un triangolo rettangolo nel piano cartesiano. Calcola le funzioni trigonometriche (seno, coseno e tangente) dell'angolo con vertice in $A$.

Una scala lunga $4$ m è appoggiata a un muro verticale. Se la base della scala si trova a $1,2$ m dalla parete, determina l'angolo che la scala forma con il suolo orizzontale e l'altezza raggiunta dalla sua estremità superiore sul muro.

Un obelisco proietta un'ombra lunga $15$ m sul suolo orizzontale nel momento in cui i raggi del sole formano un angolo di $42^\circ$ con l'orizzontale. Calcola l'altezza dell'obelisco.

Un bambino fa volare un aquilone trattenuto da un filo lungo $45$ m, completamente teso. Se il filo forma un angolo di $55^\circ$ con il suolo orizzontale, a che altezza si trova l'aquilone? (Supponi che il bambino tenga il filo a livello del suolo).

In uno schermo di computer di formato rettangolare, la diagonale misura $60$ cm e forma un angolo di $29^\circ$ con il lato inferiore della cornice. Calcola la larghezza e l'altezza dello schermo.

Una rampa rettilinea di accesso per sedie a rotelle è lunga $6$ m e supera un dislivello verticale di $0,45$ m. Determina l'angolo di inclinazione della rampa rispetto all'orizzontale.

Nella ristrutturazione di un poliambulatorio in Toscana, si progetta una rampa rettilinea di accesso per superare un dislivello verticale di $1,2\text{ m}$. Per limiti di spazio urbano sul marciapiede, lo sviluppo orizzontale massimo disponibile è esattamente $10\text{ m}$.

1. a) Prima di calcolare: stabilisci se l'angolo di inclinazione della rampa sarà maggiore o minore di $10^\circ$. Per argomentare, considera quale angolo di inclinazione corrisponderebbe a una pendenza del $100\,\%$ (cateti uguali) e come varia la funzione tangente per angoli acuti piccoli.
2. b) Calcola la misura esatta dell'angolo di inclinazione $\alpha$ della rampa con l'orizzontale e la lunghezza che un utente percorrerà su di essa in linea retta.
3. c) Il D.M. 236/1989 sull'accessibilità fissa per le rampe una pendenza massima dell'$8\,\%$, ma il capitolato di questo progetto, più restrittivo, impone di non superare una pendenza del $6\,\%$ (cioè $\tan(\alpha) \le 0,06$). Verifica se la rampa progettata rispetta il vincolo di progetto e indica se la tua stima iniziale del punto a) era coerente.

Un cartello stradale segnala una pendenza prolungata del $15\%$. Ciò indica che per ogni $100$ m percorsi nella proiezione orizzontale, si salgono $15$ m in verticale. Calcola l'angolo di inclinazione della strada e la distanza reale che un veicolo percorrerà sull'asfalto se avanza di $600$ m nella proiezione orizzontale.

Per calcolare la distanza tra la base di un faro costiero alto $24\text{ m}$ sul livello del mare e una barca all'ancora, Luca misura un angolo di depressione di $20^\circ$ dalla lanterna del faro. Sul quaderno scrive:

1. a) Senza usare la calcolatrice, spiega con un semplice ragionamento geometrico (confrontando mentalmente con la forma di un triangolo di $45^\circ$) perché un risultato di $8,74\text{ m}$ è evidentemente assurdo per un angolo di depressione di soli $20^\circ$.
2. b) Individua l'errore concettuale commesso da Luca nel collocare l'angolo di depressione rispetto alla verticale anziché all'orizzontale.
3. c) Correggi l'impostazione e calcola la distanza orizzontale reale $x$ tra il faro e la barca.

Dalla lanterna di un faro, situata a $45$ m sul livello del mare, si osservano due barche che navigano allineate con la base del faro. L'angolo di depressione sotto cui si vede la barca più vicina è di $34^\circ$, e quello della barca più lontana è di $18^\circ$. Calcola la distanza esatta che separa le due barche.

Due ciminiere industriali verticali alte $20$ m e $35$ m sono costruite su un terreno pianeggiante. Dal punto medio del segmento rettilineo che unisce le loro basi, si osserva la sommità della prima ciminiera con un angolo di elevazione di $35^\circ$. Con quale angolo di elevazione si osserverà la sommità della seconda ciminiera dallo stesso punto medio?

Da un punto a terra si osserva la navicella di un aerogeneratore con un angolo di elevazione di $32^\circ$. Avanzando di $25$ m in linea retta verso la base del palo, il nuovo angolo di elevazione è di $50^\circ$. Imposta un sistema di equazioni trigonometriche e calcola l'altezza dell'aerogeneratore.

Due osservatori, $A$ e $B$, si trovano a una distanza di $300$ m su una pianura orizzontale. Entrambi guardano un drone fermo che si trova esattamente nel piano verticale passante per la retta che li unisce, e situato tra loro. L'osservatore $A$ vede il drone con un angolo di elevazione di $60^\circ$ e l'osservatore $B$ lo vede con un angolo di $45^\circ$. Calcola l'altezza esatta a cui vola il drone, esprimendo il risultato con radicali.

Un palo verticale proietta un'ombra su un terreno pianeggiante. In un momento della mattina, quando l'elevazione del sole è di $\alpha = 30^\circ$, l'ombra misura $L$ metri. Un paio d'ore più tardi, quando l'elevazione del sole è aumentata a $\beta = 45^\circ$, si verifica che l'ombra si è accorciata esattamente di $10$ metri. Imposta un sistema di equazioni e calcola l'altezza esatta del palo espressa con radicali.

Un triangolo isoscele ha due lati uguali che misurano $14$ cm ciascuno, e l'angolo diverso (quello compreso tra essi) misura $40^\circ$. Tracciando l'altezza relativa alla base per dividerlo in due triangoli rettangoli, calcola la lunghezza di tale base.

Calcola l'area e il perimetro di un esagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio $12$ cm. (Ricorda di dividere il poligono in triangoli per usare la trigonometria).

Le diagonali di un rombo misurano $24$ cm e $10$ cm. Sapendo che le diagonali di un rombo si intersecano perpendicolarmente nel loro punto medio, calcola la misura dei lati del rombo e l'ampiezza dei suoi quattro angoli interni.

Da un punto $P$ esterno a una circonferenza di raggio $8$ cm si tracciano le due rette tangenti alla circonferenza. Se la distanza dal punto $P$ al centro della circonferenza è di $17$ cm, calcola l'angolo totale formato tra loro dalle due rette tangenti.

Sulla terrazza piana di un edificio è installata un'antenna per telecomunicazioni. Da un punto a terra, situato a $45$ m dalla base dell'edificio, un topografo osserva la base dell'antenna con un angolo di elevazione di $38^\circ$ e la punta superiore dell'antenna con un angolo di elevazione di $46^\circ$. Calcola l'altezza dell'edificio e la lunghezza esatta dell'antenna.