Formule di sottrazione degli angoli
Sai che $\sin 45^\circ$ e $\sin 30^\circ$ si ricavano a mente, ma quanto vale $\sin 15^\circ$? Non è un angolo notevole, eppure è la differenza di due angoli che conosci bene. In questa pagina impari le formule di sottrazione: servono per calcolare valori esatti, dimostrare identità e risolvere problemi in cui compaiono due angoli, come due visuali di un geometra o due segnali sfasati.
Le formule di sottrazione
Dimostriamo prima la formula del coseno sulla circonferenza goniometrica. Prendi i punti $A(\cos\alpha; \sin\alpha)$ e $B(\cos\beta; \sin\beta)$: la loro distanza dipende solo dall'angolo $\alpha-\beta$ tra i raggi. Ruotando la figura di $-\beta$, $B$ va in $B'(1; 0)$ e $A$ in $A'(\cos(\alpha-\beta); \sin(\alpha-\beta))$, e la rotazione conserva le distanze, quindi $AB^2=A'B'^2$.
Calcola i due membri: $AB^2=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2=2-2\cos\alpha\cos\beta-2\sin\alpha\sin\beta$ e $A'B'^2=(\cos(\alpha-\beta)-1)^2+\sin^2(\alpha-\beta)=2-2\cos(\alpha-\beta)$. Uguagliando ottieni $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$.
Le altre formule ne discendono: per il seno usi $\sin x=\cos(90^\circ-x)$, per la tangente il rapporto $\frac{\sin}{\cos}$. In alternativa, dalle formule di addizione sostituisci $\beta$ con $-\beta$. Ricorda che il seno è una funzione dispari, $\sin(-\beta) = -\sin\beta$, e il coseno è pari, $\cos(-\beta) = \cos\beta$.
Semplifica al massimo la seguente espressione trigonometrica: $\cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$. Poi usa il risultato semplificato per calcolare in modo esatto…
Semplifica al massimo la seguente espressione trigonometrica: $\cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$. Poi usa il risultato semplificato per calcolare in modo esatto l'espressione quando $x = 75^\circ$ e $y = 15^\circ$.
Sapendo che $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ e $\cos \beta = \frac{12}{13}$, e che sia $\alpha$ sia $\beta$ sono angoli del primo quadrante, calcola il valore esatto di…
Sapendo che $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ e $\cos \beta = \frac{12}{13}$, e che sia $\alpha$ sia $\beta$ sono angoli del primo quadrante, calcola il valore esatto di $\sin(\alpha - \beta)$.
Calcola in modo esatto, senza usare la calcolatrice, la seguente espressione trigonometrica, individuando a quale sviluppo corrisponde:…
Calcola in modo esatto, senza usare la calcolatrice, la seguente espressione trigonometrica, individuando a quale sviluppo corrisponde:
$\sin(75^\circ) \cos(15^\circ) - \cos(75^\circ) \sin(15^\circ)$
Angoli complementari e supplementari
Quando uno dei due angoli è $90^\circ$ o $180^\circ$, i valori $\sin$ e $\cos$ sono $0$ oppure $\pm1$ e le formule si semplificano molto.
Semplifica l'espressione $\sin(90^\circ - x)$ applicando la formula del seno della differenza di due angoli e verifica che equivale a una delle funzioni trigonometriche…
Semplifica l'espressione $\sin(90^\circ - x)$ applicando la formula del seno della differenza di due angoli e verifica che equivale a una delle funzioni trigonometriche fondamentali dell'angolo $x$.
Dimostra passo per passo che $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ usando la formula del coseno della differenza di angoli.
Dimostra passo per passo che $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ usando la formula del coseno della differenza di angoli.
Sapendo che due angoli $\alpha$ e $\beta$ sono complementari ($\alpha + \beta = 90^\circ$), dimostra passo per passo che vale l'identità…
Sapendo che due angoli $\alpha$ e $\beta$ sono complementari ($\alpha + \beta = 90^\circ$), dimostra passo per passo che vale l'identità $\sin(\alpha - \beta) = \cos(2\beta)$.
Valori esatti con gli angoli notevoli
Un angolo come $15^\circ$ o $105^\circ$ non è notevole, ma si scrive come differenza di due angoli notevoli: $15^\circ=45^\circ-30^\circ=60^\circ-45^\circ$.
Calcola il valore esatto di $\cos(15^\circ)$ senza usare la calcolatrice, applicando la formula del coseno della differenza di due angoli e sapendo che…
Calcola il valore esatto di $\cos(15^\circ)$ senza usare la calcolatrice, applicando la formula del coseno della differenza di due angoli e sapendo che $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.
Trova il valore esatto di $\sin(15^\circ)$ esprimendo l'angolo come la differenza $60^\circ - 45^\circ$ e applicando l'identità corrispondente.
Trova il valore esatto di $\sin(15^\circ)$ esprimendo l'angolo come la differenza $60^\circ - 45^\circ$ e applicando l'identità corrispondente.
Determina il valore esatto di $\tan(15^\circ)$ a partire dalle tangenti degli angoli notevoli $45^\circ$ e $30^\circ$. Razionalizza il risultato se necessario.
Determina il valore esatto di $\tan(15^\circ)$ a partire dalle tangenti degli angoli notevoli $45^\circ$ e $30^\circ$. Razionalizza il risultato se necessario.
Problemi, identità ed equazioni
Spesso il testo non dà gli angoli ma alcune loro funzioni goniometriche. Allora: ricava con $\sin^2x+\cos^2x=1$ le funzioni mancanti scegliendo il segno dal quadrante, poi applica la formula.
Per le equazioni, controlla prima se hai già un angolo composto: per $\sin(x-30^\circ)=\frac{\sqrt3}{2}$ non serve sviluppare.
In una simulazione di navigazione marittima, una nave deve correggere la propria rotta attuale. L'angolo di correzione necessario è dato dall'espressione…
In una simulazione di navigazione marittima, una nave deve correggere la propria rotta attuale. L'angolo di correzione necessario è dato dall'espressione $\alpha - \beta$. Sapendo che $\alpha$ e $\beta$ sono angoli acuti, con $\tan \alpha = 3$ e $\tan \beta = \frac{1}{2}$, calcola il valore esatto di $\tan(\alpha - \beta)$ e deduci l'ampiezza dell'angolo di correzione.
Un raggio di luce attraversa due mezzi diversi con angoli di rifrazione $\alpha$ e $\beta$. Se per le proprietà dei materiali sappiamo che $\cos \alpha = \frac{3}{5}$…
Un raggio di luce attraversa due mezzi diversi con angoli di rifrazione $\alpha$ e $\beta$. Se per le proprietà dei materiali sappiamo che $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ (con $\alpha$ angolo del quarto quadrante) e $\sin \beta = \frac{5}{13}$ (con $\beta$ angolo del secondo quadrante), determina il valore esatto di $\cos(\alpha - \beta)$.
In uno studio di mercato, i cicli di vendita stagionali di due prodotti sono modellati mediante funzioni trigonometriche. La differenza di fase che determina la…
In uno studio di mercato, i cicli di vendita stagionali di due prodotti sono modellati mediante funzioni trigonometriche. La differenza di fase che determina la concorrenza diretta è data dal valore di $\cos(x - y)$. Se $\sin x = \frac{1}{3}$ e $\cos y = \frac{2}{5}$, con $x$ nel primo quadrante e $y$ nel quarto quadrante, trova il valore esatto di $\cos(x - y)$.
Risolvi la seguente equazione trigonometrica, trovando tutte le soluzioni possibili nell'intervallo $0^\circ \leq x < 360^\circ$:…
Risolvi la seguente equazione trigonometrica, trovando tutte le soluzioni possibili nell'intervallo $0^\circ \leq x < 360^\circ$:
$\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Dimostra la seguente identità trigonometrica combinando opportunamente le formule di addizione e sottrazione degli angoli per il seno e il coseno:…
Dimostra la seguente identità trigonometrica combinando opportunamente le formule di addizione e sottrazione degli angoli per il seno e il coseno:
$\frac{\cos(a - b) - \cos(a + b)}{\sin(a + b) + \sin(a - b)} = \tan b$
In un circuito in corrente alternata, la differenza di potenziale tra due nodi è data dalla sovrapposizione di due segnali sfasati:…
In un circuito in corrente alternata, la differenza di potenziale tra due nodi è data dalla sovrapposizione di due segnali sfasati: $V(t) = 10 \sin(\omega t) - 10 \sin(\omega t - \frac{\pi}{3})$. Usa le formule trigonometriche della differenza di angoli per esprimere la differenza di potenziale $V(t)$ nella forma semplificata $A \sin(\omega t + \phi)$, determinando i valori di $A$ e $\phi$.
Torna all'inizio: $\sin15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$.