Forma trigonometrica e polare di un numero complesso
Un geometra che fa un rilievo non dice «il campanile è a 40 m verso Est e a 30 m verso Nord»: di solito dice «è a 50 m, in direzione 37° rispetto all'Est». Anche un numero complesso $z = a + ib$ si può individuare così, con una distanza dall'origine e un angolo, invece che con due coordinate cartesiane. Questa descrizione trasforma prodotti, quozienti e potenze in operazioni semplicissime. Alla fine della pagina vedrai perché.
Modulo e argomento
Nel piano di Gauss il numero $z = a + ib$ ha come punto immagine $P(a; b)$. Il segmento $OP$ è caratterizzato da una lunghezza e da un angolo.
Dal triangolo rettangolo con cateti $a$ e $b$ si ricava $\operatorname{tg}\theta = \dfrac{b}{a}$ (se $a \neq 0$). Se $a = 0$ non si divide: per $b > 0$ è $\theta = \dfrac{\pi}{2}$, per $b < 0$ è $\theta = \dfrac{3\pi}{2}$.
Osserva la rappresentazione nel piano complesso del vettore che definisce $z$. Determina il suo modulo e il suo argomento e scrivi la sua espressione in forma polare e…
Osserva la rappresentazione nel piano complesso del vettore che definisce $z$. Determina il suo modulo e il suo argomento e scrivi la sua espressione in forma polare e trigonometrica.
Marco deve scrivere il numero complesso $z = -2 + 2\sqrt{3}i$ in forma polare. Nella sua verifica scrive: «…
Marco deve scrivere il numero complesso $z = -2 + 2\sqrt{3}i$ in forma polare. Nella sua verifica scrive:
«$r = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.
$\alpha = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{-2}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -60^\circ = 300^\circ$.
Quindi $z = 4_{300^\circ}$».
Individua l'errore concettuale commesso da Marco nel determinare l'argomento, spiega analizzando i segni della parte reale e della parte immaginaria in quale quadrante deve trovarsi l'affisso di $z$ e scrivi la forma polare corretta con il suo argomento principale nell'intervallo $[0^\circ, 360^\circ)$.
Considera il numero complesso $z = -3\sqrt{2} - \sqrt{6}i$. a) Prima di calcolare: sapendo che $\sqrt{2} \approx 1,41$ e $\sqrt{6} \approx 2,45$, stima in modo motivato…
Considera il numero complesso $z = -3\sqrt{2} - \sqrt{6}i$.
- a) Prima di calcolare: sapendo che $\sqrt{2} \approx 1,41$ e $\sqrt{6} \approx 2,45$, stima in modo motivato il quadrante in cui si trova il suo affisso. Confronta il valore assoluto della parte reale ($|a| \approx 4,24$) con quello della parte immaginaria ($|b| \approx 2,45$): l'argomento principale sarà più vicino a $180^\circ$ o a $270^\circ$? Fornisci una stima del suo argomento (con un margine di $\pm 10^\circ$) e un'approssimazione del suo modulo.
- b) Calcola algebricamente il valore esatto del modulo $r$ e dell'argomento principale $\alpha$ di $z$. Scrivi $z$ in forma polare e in forma trigonometrica e confronta il risultato esatto con le stime effettuate nel punto precedente, giustificando se il calcolo è coerente con la posizione geometrica dell'affisso.
Forma trigonometrica e forma polare
Se conosci $\rho$ e $\theta$, ritrovi $a$ e $b$ con la trigonometria del triangolo rettangolo: $a = \rho\cos\theta$ e $b = \rho\operatorname{sen}\theta$.
La forma polare di $z$ si scrive con $\rho$ e $\theta$ espliciti: $z = \rho(\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta)$, con $\theta$ in radianti. Se un esercizio dà l'angolo in gradi, convertilo in radianti: $30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$, $45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$, $60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$, $90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$, $120^\circ = \dfrac{2\pi}{3}$, $180^\circ = \pi$. Qui useremo sempre i radianti. Gli esercizi possono dare l'angolo in gradi: convertilo con $\theta = \alpha\cdot\dfrac{\pi}{180}$.
Esprimi il numero complesso $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ in forma polare e in forma trigonometrica.
Esprimi il numero complesso $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ in forma polare e in forma trigonometrica.
Dato il numero complesso in forma polare $z = 4_{120^\circ}$, determina la sua espressione in forma algebrica.
Dato il numero complesso in forma polare $z = 4_{120^\circ}$, determina la sua espressione in forma algebrica.
Coniugato, opposto e uguaglianza
In forma algebrica il coniugato cambia il segno di $b$ e l'opposto cambia entrambi i segni. In forma polare lo stesso fatto si legge nell'angolo.
Due numeri complessi non nulli in forma trigonometrica sono uguali se hanno lo stesso modulo e argomenti che differiscono per un multiplo di $2\pi$: $\rho(\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta) = \sigma(\cos\varphi + i\operatorname{sen}\varphi) \iff \rho = \sigma$ e $\theta = \varphi + 2k\pi$, con $k \in \mathbb{Z}$. Il motivo è semplice: aggiungere un giro completo riporta sullo stesso punto. Per questo si sceglie l'argomento principale in $[0; 2\pi)$ .
Trova il coniugato e l'opposto del numero complesso $z = 6_{45^\circ}$. Esprimi entrambi i risultati in forma polare con argomenti positivi compresi tra $0^\circ$ e…
Trova il coniugato e l'opposto del numero complesso $z = 6_{45^\circ}$. Esprimi entrambi i risultati in forma polare con argomenti positivi compresi tra $0^\circ$ e $360^\circ$.
Si cerca un numero complesso $z$ il cui affisso si trova nel quarto quadrante e la cui distanza dall'origine è uguale a $6$. Si sa che il suo coniugato, $\bar{z}$, ha la…
Si cerca un numero complesso $z$ il cui affisso si trova nel quarto quadrante e la cui distanza dall'origine è uguale a $6$. Si sa che il suo coniugato, $\bar{z}$, ha la parte reale esattamente pari alla metà del suo modulo ($a = r/2$). Determina in modo motivato l'argomento di $\bar{z}$, deduci la forma polare di $z$ con il suo argomento nell'intervallo $[0^\circ, 360^\circ)$ e trova la forma algebrica esatta del suo opposto, $-z$.
Per calcolare la forma algebrica dell'opposto del coniugato del numero complesso $z = 4_{150^\circ}$, cioè $-\bar{z}$, due studenti discutono su quale strategia sia più…
Per calcolare la forma algebrica dell'opposto del coniugato del numero complesso $z = 4_{150^\circ}$, cioè $-\bar{z}$, due studenti discutono su quale strategia sia più conveniente:
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Metodo 1 (via algebrica): convertire prima $z = 4_{150^\circ}$ in forma algebrica usando $a = r\cos\alpha$ e $b = r\sin\alpha$, calcolare poi il suo coniugato $\bar{z} = a - bi$ e infine cambiare il segno di entrambe le componenti per ottenere $-\bar{z}$.
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Metodo 2 (via polare): calcolare direttamente l'argomento di $-\bar{z}$ utilizzando le proprietà dell'argomento del coniugato ($\arg(\bar{z}) = -\alpha$) e dell'opposto ($\arg(-w) = \arg(w) + 180^\circ$), semplificare l'angolo risultante in $[0^\circ, 360^\circ)$ sapendo che il modulo non varia, e passare in forma algebrica solo il risultato finale.
Applica entrambi i metodi passo dopo passo per trovare $-\bar{z}$ in forma algebrica e argomenta quale dei due percorsi minimizza il rischio di commettere errori di calcolo con i segni e i rapporti trigonometrici.
Prodotto, quoziente e inverso
Ecco il vantaggio promesso. Siano $z_1 = \rho_1(\cos\theta_1 + i\operatorname{sen}\theta_1)$ e $z_2 = \rho_2(\cos\theta_2 + i\operatorname{sen}\theta_2)$. Moltiplicando e applicando le formule di addizione:
$$z_1 z_2 = \rho_1\rho_2\big[(\cos\theta_1\cos\theta_2 - \operatorname{sen}\theta_1\operatorname{sen}\theta_2) + i(\operatorname{sen}\theta_1\cos\theta_2 + \cos\theta_1\operatorname{sen}\theta_2)\big] = \rho_1\rho_2\big[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\operatorname{sen}(\theta_1 + \theta_2)\big].$$Geometricamente, moltiplicare per un numero di modulo $1$ e argomento $\varphi$ (cioè $\cos\varphi + i\operatorname{sen}\varphi$) è una rotazione di angolo $\varphi$ attorno all'origine, in senso antiorario.
Calcola il prodotto dei numeri complessi $z_1 = 2_{30^\circ}$ e $z_2 = 5_{45^\circ}$. Esprimi il risultato in forma polare.
Calcola il prodotto dei numeri complessi $z_1 = 2_{30^\circ}$ e $z_2 = 5_{45^\circ}$. Esprimi il risultato in forma polare.
Esegui la divisione dei numeri complessi $z_1 = 12_{150^\circ}$ e $z_2 = 3_{60^\circ}$. Esprimi il risultato finale in forma trigonometrica.
Esegui la divisione dei numeri complessi $z_1 = 12_{150^\circ}$ e $z_2 = 3_{60^\circ}$. Esprimi il risultato finale in forma trigonometrica.
In un circuito in corrente alternata, la tensione è rappresentata dal numero complesso $V = 220_{30^\circ}$ e l'impedenza da $Z = 10_{-15^\circ}$. La legge di Ohm per la…
In un circuito in corrente alternata, la tensione è rappresentata dal numero complesso $V = 220_{30^\circ}$ e l'impedenza da $Z = 10_{-15^\circ}$. La legge di Ohm per la corrente alternata stabilisce che l'intensità è $I = \frac{V}{Z}$. Calcola l'intensità $I$ in forma polare ed esprimila poi in forma algebrica.
Potenze e formula di De Moivre
Se in $z\cdot z$ applichi la regola del prodotto, ottieni $\rho^2$ e argomento $2\theta$; si dimostra la formula di De Moivre per induzione su $n$. Per $n = 1$ la formula è ovvia. Se vale per $n$, allora $[\rho(\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta)]^{n+1} = \rho^n(\cos n\theta + i\operatorname{sen}n\theta)\cdot\rho(\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta)$, e per la regola del prodotto è $\rho^{n+1}[\cos(n+1)\theta + i\operatorname{sen}(n+1)\theta]$: vale anche per $n+1$.
Applica la formula di De Moivre per calcolare la potenza quarta del numero complesso $z = 2_{20^\circ}$. Esprimi il risultato in forma polare.
Applica la formula di De Moivre per calcolare la potenza quarta del numero complesso $z = 2_{20^\circ}$. Esprimi il risultato in forma polare.
Calcola il valore dell'espressione $\frac{(1 - \sqrt{3}i)^5}{(-2+2i)^3}$. A tal fine, converti prima il numeratore e il denominatore in forma polare.
Calcola il valore dell'espressione $\frac{(1 - \sqrt{3}i)^5}{(-2+2i)^3}$. A tal fine, converti prima il numeratore e il denominatore in forma polare.
Utilizza la formula di De Moivre per sviluppare l'espressione $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partire dall'uguaglianza tra le parti reali e immaginarie, deduci le…
Utilizza la formula di De Moivre per sviluppare l'espressione $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partire dall'uguaglianza tra le parti reali e immaginarie, deduci le identità trigonometriche per $\cos(3\alpha)$ e $\sin(3\alpha)$ in funzione di $\cos \alpha$ e $\sin \alpha$.
Radici n-esime
Dato $w = \rho(\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta)$, cerchiamo i numeri $z$ tali che $z^n = w$. Se $z = r(\cos\varphi + i\operatorname{sen}\varphi)$, deve essere $r^n = \rho$ e $n\varphi = \theta + 2k\pi$.
Per $k = n, n+1, \dots$ gli angoli si ripetono (differiscono di giri interi), quindi non nascono nuove radici. È per questo che nell'equazione $z^n = w$ le soluzioni complesse sono $n$ (coerente con il teorema fondamentale dell'algebra).
Calcola le radici quadrate del numero complesso $z = 9_{80^\circ}$ ed esprimi i risultati in forma polare.
Calcola le radici quadrate del numero complesso $z = 9_{80^\circ}$ ed esprimi i risultati in forma polare.
Risolvi l'equazione $z^4 + 81 = 0$ utilizzando la forma polare dei numeri complessi. Esprimi le quattro soluzioni ottenute in forma algebrica.
Risolvi l'equazione $z^4 + 81 = 0$ utilizzando la forma polare dei numeri complessi. Esprimi le quattro soluzioni ottenute in forma algebrica.
Trova tutti i numeri complessi $z$ che soddisfano l'equazione $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$. Esprimi le soluzioni in forma trigonometrica. (Suggerimento: effettua un cambio di…
Trova tutti i numeri complessi $z$ che soddisfano l'equazione $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$. Esprimi le soluzioni in forma trigonometrica. (Suggerimento: effettua un cambio di variabile).
In sintesi
Vuoi chiudere il cerchio con il gancio iniziale? Una posizione «a 50 m, in direzione 37°» è proprio la forma polare con $\rho = 50$ e $\theta \approx 0{,}65$ rad, e per portarla in coordinate cartesiane basta $a = 50\cos\theta$ e $b = 50\operatorname{sen}\theta$.