Formule di duplicazione

Semplifica la seguente espressione trigonometrica fino a un unico valore numerico esatto:

$4\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$

Sapendo che $\cos(x) = 0,6$, determina il valore di $\cos(2x)$ usando esclusivamente l'identità che mette in relazione il coseno dell'angolo doppio con il coseno dell'angolo semplice.

Marco deve calcolare il valore di $\sin(2\alpha)$ sapendo che $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ e che $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. Nel compito scrive la seguente risoluzione:

«Trattandosi dell'angolo doppio, il valore del seno semplicemente raddoppia: $\sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5} = 1,2$. Tuttavia, poiché il seno di un qualsiasi angolo reale non può mai essere maggiore di $1$, questo esercizio non ha soluzione e l'angolo proposto è impossibile».

1. a) Individua i due errori commessi da Marco (uno concettuale sulla presunta linearità delle funzioni trigonometriche e uno nella sua conclusione finale).
2. b) Correggi l'esercizio calcolando il valore esatto di $\sin(2\alpha)$ mediante l'identità dell'angolo doppio e determina con un ragionamento in quale quadrante si trova $2\alpha$ studiando il segno di $\cos(2\alpha)$.

Sapendo che $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ e che $\alpha$ è un angolo del primo quadrante, calcola il valore esatto di $\sin(2\alpha)$.

Dato che $\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ e che $\alpha$ appartiene al secondo quadrante, determina il valore esatto di $\cos(2\alpha)$.

Se $\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$, calcola il valore di $\tan(2\alpha)$ esprimendo il risultato come frazione ridotta ai minimi termini.

Calcola il valore esatto della seguente espressione senza usare la calcolatrice:

$\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$

Scrivi la seguente espressione in funzione di un'unica funzione trigonometrica dell'angolo $x$, semplificando al massimo:

$\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$

Trova il valore esatto della seguente operazione usando le identità di duplicazione:

$\frac{2\tan(22,5^\circ)}{1 - \tan^2(22,5^\circ)}$

Un raggio di luce incide su un sistema di specchi in modo che il suo angolo di deviazione finale è $2\theta$. Se le misurazioni di laboratorio indicano che $\cos(2\theta) = 0,28$ e sappiamo che l'angolo di incidenza $\theta$ è acuto, determina il valore esatto di $\sin(\theta)$ e $\cos(\theta)$.

Dimostra la seguente identità trigonometrica, trasformando il primo membro fino a ottenere il secondo:

$\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \tan(x)$

Un meccanismo a forbice per un sollevatore idraulico ha un perno centrale che forma un angolo di apertura $2\alpha$. La forza di taglio sul perno centrale è data da un'espressione proporzionale a $F(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$. Dimostra che questa espressione si può semplificare in un'unica funzione trigonometrica dell'angolo $\alpha$.

Dimostra la seguente identità trigonometrica, valida per qualsiasi angolo $x$ per cui le espressioni siano definite:

$\frac{1 + \sin(2x) - \cos(2x)}{1 + \sin(2x) + \cos(2x)} = \tan(x)$

Risolvi la seguente equazione trigonometrica, trovando tutte le soluzioni nell'intervallo $[0, 2\pi)$:

$\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(x) = 0$

Risolvi la seguente equazione trigonometrica e dai le soluzioni in gradi per l'intervallo $[0^\circ, 360^\circ)$:

$\cos(2x) - 3\sin(x) = 2$

Risolvi la seguente equazione trigonometrica, determinando tutte le soluzioni nell'intervallo $[0, 2\pi)$:

$\tan(2x) \cdot \tan(x) = 1$

Nella costruzione di un capannone industriale sono state progettate due falde di copertura contigue. La prima falda ha un'inclinazione $\alpha$ rispetto all'orizzontale tale che $\tan(\alpha) = 0,4$. Per ragioni di drenaggio dell'acqua, la seconda falda è stata progettata con un angolo di inclinazione esattamente doppio rispetto a quello della prima, cioè $2\alpha$. Calcola la pendenza esatta (tangente) della seconda falda.

In fisica, la gittata massima $R$ di un proiettile lanciato su un terreno orizzontale è modellata dalla formula $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$, dove $v_0$ è la velocità iniziale, $\theta$ è l'angolo di lancio e $g \approx 10 \text{ m/s}^2$ è l'accelerazione di gravità. Se un cannone di prova spara un proiettile con una velocità iniziale di $30 \text{ m/s}$ e si vuole colpire un bersaglio situato a una distanza di $45 \text{ m}$, trova i possibili angoli di lancio $\theta$ in gradi.

La funzione di ricavo di un'azienda per la vendita di un prodotto stagionale è data dall'espressione $I(x) = 5\sin(x)\cos(x) - 2\sin^2(x) + 1$, dove $x$ è il tempo in mesi trascorso ($x \ge 0$). Esprimi $I(x)$ in funzione di $\sin(2x)$ e $\cos(2x)$, e determina il ricavo massimo che l'azienda può raggiungere.