Tecniche di conteggio
Hai mai provato a indovinare il PIN del cellulare di un amico? Quanti tentativi servirebbero, e che probabilità hai di azzeccarlo al primo colpo? Per rispondere devi saper contare i casi possibili e i casi favorevoli.
Principio fondamentale del calcolo combinatorio
Se una scelta si compie in più fasi, i casi totali si ottengono moltiplicando le possibilità di ogni fase. Per esempio, un menù con $4$ primi, $3$ secondi e $2$ dessert offre $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ menù diversi.
Un ristorante offre $4$ primi piatti, $3$ secondi e $2$ dessert. Se un cliente sceglie il suo menù a caso, qual è la probabilità che scelga esattamente l'insalata come…
Un ristorante offre $4$ primi piatti, $3$ secondi e $2$ dessert. Se un cliente sceglie il suo menù a caso, qual è la probabilità che scelga esattamente l'insalata come primo, il salmone come secondo e la torta come dessert?
Si lancia un dado equilibrato a $6$ facce $4$ volte consecutive. Qual è la probabilità che esca il numero $5$ in tutti i lanci?
Si lancia un dado equilibrato a $6$ facce $4$ volte consecutive. Qual è la probabilità che esca il numero $5$ in tutti i lanci?
Fattoriale e coefficiente binomiale
Il fattoriale è $n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1$ e conta gli ordinamenti di $n$ oggetti. Il coefficiente binomiale $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ conta i modi di scegliere $k$ oggetti su $n$ senza badare all'ordine: sono le combinazioni $C_{n,k}=\binom{n}{k}$. Se l'ordine conta, le disposizioni semplici sono $D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$, con ripetizione $D'_{n,k} = n^k$; le permutazioni di $n$ oggetti sono $P_n = n!$.
Anagrammi e permutazioni circolari
Se tra gli $n$ oggetti ce ne sono di uguali, gli ordinamenti distinti sono meno di $n!$: se un oggetto compare $k_1$ volte, un altro $k_2$ volte e così via, il numero di ordinamenti è $\frac{n!}{k_1!\,k_2!\cdots}$. Il motivo: scambiando tra loro gli oggetti uguali non si ottiene un ordinamento nuovo, quindi si divide per $k_1!$, $k_2!$, ...
Se $n$ oggetti distinti si dispongono attorno a un tavolo circolare, due disposizioni che differiscono solo per una rotazione sono la stessa: le disposizioni sono $(n-1)!$. Si può fissare un oggetto in un posto e ordinare gli altri $n-1$.
In una gara di $100$ metri piani partecipano $6$ atleti. Se tutti hanno la stessa probabilità di vincere e non ci sono pareggi, qual è la probabilità che l'ordine di…
In una gara di $100$ metri piani partecipano $6$ atleti. Se tutti hanno la stessa probabilità di vincere e non ci sono pareggi, qual è la probabilità che l'ordine di arrivo sia esattamente A, B, C, D, E, F?
Da un gruppo di $8$ studenti se ne scelgono $3$ a caso per formare una commissione rappresentativa. Qual è la probabilità che gli eletti siano esattamente i $3$ studenti…
Da un gruppo di $8$ studenti se ne scelgono $3$ a caso per formare una commissione rappresentativa. Qual è la probabilità che gli eletti siano esattamente i $3$ studenti più grandi di età del gruppo?
Si formano tutte le parole possibili riordinando le lettere della parola "BANANA". Qual è la probabilità che le tre lettere "A" compaiano consecutive?
Si formano tutte le parole possibili riordinando le lettere della parola "BANANA". Qual è la probabilità che le tre lettere "A" compaiano consecutive?
Otto persone, tra le quali ci sono due fratelli, si siedono a caso attorno a un tavolo circolare. Qual è la probabilità che i due fratelli non siedano su sedie vicine?
Otto persone, tra le quali ci sono due fratelli, si siedono a caso attorno a un tavolo circolare. Qual è la probabilità che i due fratelli non siedano su sedie vicine?
In uno scaffale si dispongono a caso $5$ libri di matematica e $3$ di fisica. Qual è la probabilità che tutti i libri di fisica risultino collocati vicini?
In uno scaffale si dispongono a caso $5$ libri di matematica e $3$ di fisica. Qual è la probabilità che tutti i libri di fisica risultino collocati vicini?
Oggetti vicini: il blocco
Se alcuni oggetti devono stare vicini, li consideri come un unico blocco da ordinare insieme agli altri; poi moltiplichi per gli ordinamenti interni del blocco.
Probabilità con la definizione classica
Se i casi sono equiprobabili, $P = \frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}}$. Si estrae senza reimmissione quando l'oggetto non torna nell'urna; con reimmissione le fasi sono indipendenti.
In una scatola ci sono $5$ palline rosse e $4$ palline blu. Si estraggono $2$ palline a caso contemporaneamente. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano…
In una scatola ci sono $5$ palline rosse e $4$ palline blu. Si estraggono $2$ palline a caso contemporaneamente. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano rosse?
In un'azienda tecnologica lavorano $7$ ingegneri e $5$ economisti. Si deve formare un gruppo di progetto di $4$ persone scelte a caso. Qual è la probabilità che il…
In un'azienda tecnologica lavorano $7$ ingegneri e $5$ economisti. Si deve formare un gruppo di progetto di $4$ persone scelte a caso. Qual è la probabilità che il gruppo sia formato esattamente da $2$ ingegneri e $2$ economisti?
Un lotto di $20$ microchip contiene $4$ pezzi difettosi. Si seleziona un campione casuale di $3$ microchip per l'ispezione. Qual è la probabilità che nel campione ci sia…
Un lotto di $20$ microchip contiene $4$ pezzi difettosi. Si seleziona un campione casuale di $3$ microchip per l'ispezione. Qual è la probabilità che nel campione ci sia almeno un microchip difettoso?
Si distribuiscono a caso $5$ palline distinguibili in $3$ urne distinguibili. Qual è la probabilità che nessuna delle tre urne resti vuota?
Si distribuiscono a caso $5$ palline distinguibili in $3$ urne distinguibili. Qual è la probabilità che nessuna delle tre urne resti vuota?
Quattro persone lasciano i cappotti al guardaroba di un teatro. All'uscita, a causa di un blackout, l'addetto restituisce loro i quattro cappotti a caso. Qual è la…
Quattro persone lasciano i cappotti al guardaroba di un teatro. All'uscita, a causa di un blackout, l'addetto restituisce loro i quattro cappotti a caso. Qual è la probabilità che esattamente una persona riceva il proprio cappotto?
Prove ripetute
Se ripeti $n$ volte la stessa prova, indipendente dalle altre, e in ogni prova il successo ha probabilità $p$, la probabilità di ottenere esattamente $k$ successi è $P = \binom{n}{k}\, p^k\,(1-p)^{n-k}$ (schema di Bernoulli). Il motivo: una sequenza precisa con $k$ successi e $n-k$ insuccessi ha probabilità $p^k(1-p)^{n-k}$, perché le prove sono indipendenti; le sequenze di questo tipo sono $\binom{n}{k}$, cioè i modi di scegliere in quali prove si ha il successo.
Si lanciano in aria contemporaneamente $5$ monete equilibrate. Qual è la probabilità di ottenere esattamente $2$ teste e $3$ croci?
Si lanciano in aria contemporaneamente $5$ monete equilibrate. Qual è la probabilità di ottenere esattamente $2$ teste e $3$ croci?
Un test a risposta multipla consta di $10$ domande, ciascuna con $4$ opzioni di risposta di cui una sola è corretta. Se uno studente risponde a tutte le domande a caso,…
Un test a risposta multipla consta di $10$ domande, ciascuna con $4$ opzioni di risposta di cui una sola è corretta. Se uno studente risponde a tutte le domande a caso, qual è la probabilità che indovini esattamente $6$ domande?
Tornando all'inizio: un PIN a $4$ cifre si indovina con probabilità $\frac{1}{10.000}$.