Esperimenti aleatori

Classifica i seguenti esperimenti come deterministici o aleatori, giustificando brevemente la risposta in ciascun caso:

1. a) Lasciar cadere uno smartphone da un metro di altezza e osservare se cade verso il suolo.
2. b) Aprire una playlist in modalità casuale e annotare quale è la prima canzone che parte.
3. c) Calcolare il tempo che impiega un'auto a percorrere $200$ km se viaggia a una velocità costante di $100$ km/h.
4. d) Chiedere alla prima persona che incontri per strada in quale mese è nata.
5. e) Estrarre una carta da un mazzo di $40$ carte napoletane e osservarne il seme.

Estraiamo una pallina da un'urna che contiene $5$ palline numerate da $1$ a $5$. Indica se i seguenti eventi sono possibili, certi o impossibili:

1. a) $A = \text{"ottenere un numero maggiore di 0"}$.
2. b) $B = \text{"ottenere il numero 7"}$.
3. c) $C = \text{"ottenere un numero pari"}$.
4. d) $D = \text{"ottenere un numero minore o uguale a 5"}$.
5. e) $F = \text{"ottenere un numero negativo"}$.

Uno studente ha nell'astuccio tre penne di colori diversi: Blu (B), Nera (N) e Rossa (R). Decide di estrarre due penne consecutivamente e senza rimettere la prima nell'astuccio.

1. a) Scrivi lo spazio campionario $E$ di questo esperimento.
2. b) Indica quanti eventi elementari formano tale spazio campionario.
3. c) Definisci l'evento composto $S = \text{"estrarre la penna blu in qualsiasi posizione"}$.

In una classe di quinta liceo si analizzano gli abbonamenti alle piattaforme di streaming. Chiamiamo $A$ l'evento "essere abbonato a Netflix" e $B$ l'evento "essere abbonato a Spotify". Esprimi a parole il significato dei seguenti eventi legati alle operazioni tra insiemi:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $\bar{A}$ (o evento contrario di $A$)
4. d) $A - B$
5. e) $\bar{A} \cap \bar{B}$

Osserva il seguente diagramma di Venn che rappresenta la distribuzione degli studenti che praticano Basket ($B$) e Calcio ($F$) in un centro sportivo comunale.

A partire dal grafico, definisci mediante operazioni tra eventi le seguenti regioni:

1. a) Studenti che praticano entrambi gli sport.
2. b) Studenti che praticano basket ma non calcio.
3. c) Studenti che praticano almeno uno dei due sport.
4. d) Studenti che non praticano nessuno dei due sport citati.

In un esperimento aleatorio, lo spazio campionario è formato da un insieme di numeri interi positivi $E = \{1, 2, 3, \dots, n\}$. Si definiscono tre eventi $A$, $B$ e $C$ di cui si conosce la seguente informazione:\n1. $A \cap B = \{4, 6\}$\n2. $A - B = \{2, 8\}$\n3. $B - A = \{1, 3, 5\}$\n4. $C$ è un evento incompatibile con $A$ ($A \cap C = \emptyset$), ma compatibile con $B$, e vale che $B \cap C = \{3\}$.\n5. $\overline{A \cup B \cup C} = \{7, 9, 10\}$\n6. Il numero di eventi elementari che formano $C$ è uguale a $3$.\na) Ricostruisci con motivazione gli insiemi che definiscono gli eventi $A$, $B$, $C$ e lo spazio campionario completo $E$, determinando il valore della cardinalità $n$.\nb) Esprimi mediante operazioni formali tra insiemi (unioni, intersezioni o complementari) e scrivi esplicitamente gli elementi dell'evento: «si verifica esattamente uno dei tre eventi ($A$, $B$ o $C$)».

In un nuovo gioco da tavolo strategico, un giocatore deve lanciare un dado tetraedrico (facce numerate da $1$ a $4$) e, contemporaneamente, estrarre una carta da un mazzo ridotto che contiene soltanto i quattro assi e i quattro re del mazzo di carte napoletane.

Considerando l'esperimento aleatorio di annotare il numero del dado e il valore della carta (Asso o Re):

1. a) Descrivi lo spazio campionario $E$ dell'esperimento.
2. b) Siano gli eventi:

$A$ = "Ottenere un numero pari sul dado".

$B$ = "Ottenere un Asso di qualsiasi seme".

$C$ = "Ottenere un numero minore di $3$ sul dado e la carta è un Re".

Determina gli elementi che compongono gli eventi $A \cup B$, $A \cap B$ e $B \cap C$.

Sia $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ lo spazio campionario di un esperimento aleatorio. Dati gli eventi $A = \{1, 3, 5, 7\}$ e $B = \{2, 3, 5, 8\}$, ottieni i seguenti insiemi:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $A \cap \bar{B}$
4. d) Verifica se vale la prima legge di De Morgan: $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$.

Ugo, studente di quinta liceo, analizza il controllo di qualità di componenti elettronici in uno stabilimento automobilistico in Piemonte. Per ogni componente scelto a caso, definisce gli eventi $A$: «il componente presenta un difetto elettrico» e $B$: «il componente presenta un difetto meccanico». Nello scrivere il rapporto tecnico, Ugo afferma: «L'evento consistente nel fatto che un componente non presenti nessuno dei due difetti si esprime formalmente come $\overline{A} \cup \overline{B}$».\na) Trova l'errore concettuale commesso da Ugo e spiega con precisione quale tipo di componenti è realmente rappresentato dall'unione $\overline{A} \cup \overline{B}$.\nb) Correggi la sua proposta scrivendo in modo matematicamente rigoroso l'evento «il componente non presenta nessuno dei due difetti» in due forme equivalenti: prima come intersezione di eventi e poi applicando le leggi di De Morgan a partire da un'unione.

Siano $A, B$ e $C$ tre eventi qualsiasi di un esperimento aleatorio. Dimostra formalmente, utilizzando le proprietà dell'algebra degli eventi (distributiva, complementarità, ecc.), la seguente identità:

Spiega che nome ha questa operazione nella teoria degli insiemi e rappresenta l'evento risultante mediante un diagramma di Venn con la zona opportuna colorata.

Consideriamo l'esperimento aleatorio che consiste nel lanciare un dado tetraedrico (4 facce) con le facce numerate da $1$ a $4$, e una moneta da $1$ euro. Annotiamo il numero della faccia inferiore del dado e se la moneta mostra testa $(C)$ o croce $(X)$.

1. a) Utilizza un diagramma ad albero per rappresentare tutti i risultati possibili.
2. b) Scrivi lo spazio campionario $E$.
3. c) Determina gli elementi dell'evento $A = \text{"ottenere un numero pari con il dado e testa con la moneta"}$.

Un videogioco di ruolo permette di creare un personaggio scegliendo tra due fazioni: Guerriero (G) o Mago (M). Inoltre, il personaggio può appartenere a tre razze: Umano (H), Elfo (E) o Nano (D).

Si sceglie un personaggio a caso dal server di gioco.

1. a) Scrivi lo spazio campionario $E$ utilizzando la nomenclatura delle iniziali (per esempio, $GH$ per Guerriero Umano).
2. b) Descrivi l'evento $S = \text{"il personaggio non è un Mago"}$.
3. c) Se chiamiamo $A$ l'evento $\text{"il personaggio è un Elfo"}$, indica quali elementi compongono l'evento contrario $\bar{A}$.

Un gruppo di analisti di dati di una piattaforma di e-commerce con sede in Italia classifica ogni reclamo secondo due fattori: il canale di ingresso (Telefono, Web, App mobile) e il reparto di risoluzione assegnato (Logistica, Fatturazione, Garanzie, Assistenza clienti). L'esperimento aleatorio consiste nel registrare entrambi i fattori per il prossimo reclamo ricevuto.\na) Senza scrivere l'elenco dettagliato dei casi, fai una stima intuitiva di quanti risultati elementari compongono lo spazio campionario $E$ e di quanti eventi distinti in totale (sottoinsiemi di $E$) si possono definire teoricamente in questo esperimento. Verifica le tue stime calcolando la cardinalità di $E$ mediante il principio moltiplicativo e la cardinalità dell'insieme delle parti $\mathcal{P}(E)$. Commenta se l'ordine di grandezza del numero totale di eventi corrisponde alla tua intuizione iniziale.\nb) Si definiscono gli eventi $A$: «il reclamo non arriva dall'App mobile» e $B$: «il reclamo è assegnato a Logistica o Fatturazione». Descrivi con precisione il significato verbale dell'evento $\overline{A \cup B}$, trasformalo applicando le leggi di De Morgan e determina quanti eventi elementari lo compongono.\nc) Giustifica analiticamente se gli eventi $A$ e $\overline{B}$ sono compatibili o incompatibili.

In un ambiente di sviluppo di applicazioni mobili, un programmatore sta testando la sicurezza di un sistema di accesso. Si definisce un esperimento aleatorio consistente nel generare una chiave casuale di 4 cifre usando soltanto i numeri $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Si considerano i seguenti eventi:

• $A$: "La chiave contiene almeno due cifre uguali consecutive".

• $B$: "La somma delle cifre della chiave è un numero primo maggiore di 15".

• $C$: "La chiave è palindroma (si legge allo stesso modo da sinistra a destra e da destra a sinistra)".

Descrivi dettagliatamente lo spazio campionario $E$ indicandone la cardinalità e usa l'algebra degli eventi per esprimere simbolicamente i seguenti eventi:

1. a) La chiave non è palindroma oppure la somma delle sue cifre non è un numero primo maggiore di 15.

1. b) La chiave è palindroma e ha almeno due cifre uguali consecutive, ma la somma delle sue cifre non è un numero primo maggiore di 15.

1. c) Dimostra se gli eventi $A$ e $C$ sono compatibili o incompatibili, giustificando la risposta con un esempio di un elemento dello spazio campionario.