Concetti preliminari

Si lancia un dado a $8$ facce a forma di ottaedro regolare, numerate da $1$ a $8$. Scrivi lo spazio campionario $E$ associato a questo esperimento aleatorio e determina gli elementi che compongono i seguenti eventi:

• $A =$ "Ottenere un numero primo".

• $B =$ "Ottenere un numero maggiore di $5$".

• $C = A \cap B$.

Si lanciano simultaneamente $3$ monete equilibrate (non truccate). Scrivi lo spazio campionario completo $E$ usando la notazione $C$ per testa e $X$ per croce. Successivamente, calcola la probabilità di ottenere esattamente due teste.

Nel reparto di controllo qualità di una fabbrica di componenti elettronici, si estrae a caso un pezzo da un lotto di prova. Il lotto contiene $5$ pezzi difettosi di colore rosso, $3$ pezzi funzionanti di colore blu e $2$ pezzi funzionanti di colore giallo.

Calcola, utilizzando la definizione classica di probabilità, la probabilità di:

1. a) Estrarre un pezzo di colore blu.
2. b) Estrarre un pezzo funzionante (non difettoso).
3. c) Estrarre un pezzo che non sia giallo.

Siano $A$ e $B$ due eventi di uno stesso esperimento aleatorio. Si conoscono le seguenti probabilità: $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ e la probabilità che si verifichino entrambi simultaneamente è $P(A \cap B) = 0,15$.

Calcola la probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi, cioè $P(A \cup B)$, e la probabilità che non si verifichi $A$, indicata come $P(\overline{A})$.

Da un mazzo di $40$ carte napoletane si estrae una carta a caso. Definisci gli eventi $A =$ "Estrarre un Re" e $B =$ "Estrarre una carta di Spade".

Determina le probabilità $P(A)$, $P(B)$ e $P(A \cap B)$. A partire da esse, calcola la probabilità di estrarre un Re o una carta di Spade.

In un istituto tecnologico di $150$ studenti è stato condotto un sondaggio sull'uso dei linguaggi di programmazione. I risultati mostrano che $85$ studenti programmano in Python ($P$), $60$ programmano in Java ($J$) e $25$ programmano in entrambi i linguaggi.

Se si seleziona a caso uno studente di questo liceo, determina le seguenti probabilità:

1. a) Che programmi in almeno uno dei due linguaggi.
2. b) Che non programmi in nessuno di questi due linguaggi.
3. c) Che programmi in Python, ma non in Java.

In una clinica veterinaria, il $55\%$ dei cani visitati è vaccinato contro la rabbia ($R$), il $40\%$ è vaccinato contro il parvovirus ($P$) e il $25\%$ è vaccinato contro entrambe le malattie. Si sceglie a caso la cartella di un cane. Calcola la probabilità che:

1. a) Sia vaccinato contro la rabbia ma non contro il parvovirus, cioè $P(R - P)$.
2. b) Sia vaccinato contro esattamente una delle due malattie.

In uno studio meteorologico, la probabilità che piova sabato è $P(S)$ e quella che piova domenica è $P(D)$. Sapendo che la probabilità che piova in almeno uno dei due giorni del fine settimana è $P(S \cup D) = 0,85$, utilizza le leggi di De Morgan o le proprietà dell'evento contrario per calcolare la probabilità che non piova in nessun giorno del fine settimana, cioè $P(\overline{S} \cap \overline{D})$.

In uno studio meteorologico, si registrano i seguenti eventi per un determinato giorno d'autunno: $L =$ «piove» e $V =$ «ci sono raffiche di vento forte», con probabilità note $P(L) = 0,40$, $P(V) = 0,30$ e $P(L \cap V) = 0,15$.

Lucia deve calcolare la probabilità che un giorno «non piova e non ci sia nemmeno vento forte». Nel suo quaderno scrive:

«L'evento contrario a quello in cui non accade nessuna delle due cose è che accadano entrambe nello stesso momento, cioè il complementare dell'intersezione: $\overline{L \cap V}$. Quindi: $P(\overline{L \cap V}) = 1 - P(L \cap V) = 1 - 0,15 = 0,85$».

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Lucia nel tradurre la frase verbale in operazioni tra insiemi e spiega con ragionamento perché la sua equivalenza logica è falsa.
2. b) Scrivi l'espressione insiemistica corretta per l'evento «non piove e non c'è vento» e utilizza una delle leggi di De Morgan per trovarne la probabilità corretta.

In una catena di montaggio di motori elettrici si sa che la probabilità che un motore presenti un difetto di tipo meccanico è $P(M) = 0,06$, la probabilità che presenti un difetto di tipo elettrico è $P(E) = 0,04$, e la probabilità che presenti entrambi i difetti contemporaneamente è $P(M \cap E) = 0,01$. Calcola la probabilità che un motore scelto a caso:

1. a) Presenti almeno un difetto.

1. b) Non presenti alcun difetto.

1. c) Presenti un difetto meccanico sapendo che non presenta alcun difetto elettrico, cioè $P(M \mid \overline{E})$ (puoi servirti del fatto che $P(M \cap \overline{E}) = P(M) - P(M \cap E)$).

Si effettua l'esperimento aleatorio del lancio di un dado cubico perfetto numerato da $1$ a $6$. Considera gli eventi $A =$ "Ottenere un numero pari" e $B =$ "Ottenere un numero primo maggiore di $2$".

Scrivi gli elementi di ciascun evento e determina, giustificando la risposta, se gli eventi $A$ e $B$ sono compatibili o incompatibili.

Si lanciano due dadi cubici equilibrati, uno rosso e uno blu. Si annota il punteggio della faccia superiore di ciascuno. Calcola la probabilità che si verifichi l'evento $A =$ "La somma dei punteggi è esattamente $8$" oppure l'evento $B =$ "Il valore assoluto della differenza tra i punteggi è esattamente $2$". $A$ e $B$ sono eventi incompatibili?

In uno studio di tossicologia ambientale su un fiume si monitorano tre contaminanti. Siano $A$, $B$ e $C$ gli eventi di trovare livelli pericolosi del rispettivo contaminante. Si sa che $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{3}$ e $P(C) = \frac{1}{4}$.

Inoltre, si sa che i contaminanti $A$ e $B$ non compaiono mai insieme a livelli pericolosi (sono eventi incompatibili), e che ogni volta che si rileva il contaminante $C$, si rileva anche il contaminante $B$ (cioè $C$ è un sottoinsieme di $B$, $C \subset B$).

Calcola la probabilità di non trovare né il contaminante $A$ né il contaminante $B$, cioè $P(\overline{A} \cap \overline{B})$, e la probabilità di trovare almeno uno dei tre contaminanti, $P(A \cup B \cup C)$.

A partire dai dati sulla mobilità urbana giovanile pubblicati dai consorzi di trasporto in Italia, si analizza come si spostano gli studenti di un comune. Si considerano i seguenti eventi:

$M =$ «usa abitualmente la metropolitana»,

$A =$ «usa abitualmente l'autobus urbano»,

$B =$ «usa la bicicletta o il monopattino elettrico personale».

I dati registrati mostrano le seguenti probabilità: $P(M) = 0,45$; $P(A) = 0,50$; $P(B) = 0,30$; $P(M \cap A) = 0,20$; $P(M \cap B) = 0,12$; $P(A \cap B) = 0,15$, e la probabilità di combinare i tre mezzi è $P(M \cap A \cap B) = 0,05$.

1. a) Modella la situazione esprimendo nel linguaggio degli insiemi (usando unioni, intersezioni o complementari) i seguenti eventi: $S_1 =$ «usa almeno uno dei tre mezzi di trasporto», $S_2 =$ «non usa nessuno di questi tre mezzi di trasporto», e $S_3 =$ «usa esclusivamente la metropolitana».
2. b) Calcola la probabilità di $S_1$ applicando la formula generale per l'unione di tre eventi.
3. c) Determina la probabilità di $S_2$ e di $S_3$, indicando i passaggi intermedi.

In una piattaforma di intrattenimento digitale con $500$ abbonati si analizzano le preferenze per tre generi: Azione ($A$), Commedia ($C$) e Drammatico ($D$). I dati rivelano che:

• $220$ guardano Azione, $180$ guardano Commedia, $150$ guardano Drammatico.

• $70$ guardano Azione e Commedia, $50$ guardano Azione e Drammatico, $40$ guardano Commedia e Drammatico.

• $15$ guardano tutti e tre i generi.

Se si sceglie a caso un abbonato, determina la probabilità che:

1. a) Guardi esclusivamente film d'Azione.
2. b) Guardi esattamente uno solo dei tre generi.
3. c) Non guardi nessuno di questi tre generi.

In uno stabilimento di produzione di microchip in Italia, ogni componente è sottoposto a tre controlli di qualità automatizzati. Si definiscono gli eventi di guasto: $F_1 =$ «fallisce il test elettrico», $F_2 =$ «fallisce il test termico» e $F_3 =$ «fallisce il test ottico». I dati storici di controllo sono: $P(F_1) = 0,08$; $P(F_2) = 0,06$; $P(F_3) = 0,05$; $P(F_1 \cap F_2) = 0,02$; $P(F_1 \cap F_3) = 0,015$; $P(F_2 \cap F_3) = 0,01$ e $P(F_1 \cap F_2 \cap F_3) = 0,003$.

Il team di ingegneria della qualità deve determinare la probabilità che un pezzo superi con successo almeno uno dei tre test (cioè che non fallisca contemporaneamente in tutti).

Per calcolare tale probabilità, due tecnici propongono vie diverse:

• Metodo di Marco: Esprime l'evento come $\overline{F_1} \cup \overline{F_2} \cup \overline{F_3}$ e propone di applicare direttamente la formula dell'unione di tre eventi: $P(\overline{F_1} \cup \overline{F_2} \cup \overline{F_3}) = P(\overline{F_1}) + P(\overline{F_2}) + P(\overline{F_3}) - P(\overline{F_1} \cap \overline{F_2}) - P(\overline{F_1} \cap \overline{F_3}) - P(\overline{F_2} \cap \overline{F_3}) + P(\overline{F_1} \cap \overline{F_2} \cap \overline{F_3})$.

• Metodo di Sara: Applica le leggi di De Morgan generalizzate a tre eventi per trasformare l'unione di complementari nel complementare di un'intersezione diretta, calcolando il risultato in un unico passaggio.

1. a) Risolvi il problema applicando il metodo di Sara e calcola il valore numerico finale.
2. b) Senza bisogno di eseguire tutti i calcoli del metodo di Marco, spiega quale difficoltà operativa presenta: come dovrebbe calcolare Marco probabilità come $P(\overline{F_1} \cap \overline{F_2})$ o $P(\overline{F_1} \cap \overline{F_2} \cap \overline{F_3})$ a partire dai dati forniti?
3. c) Confronta i due metodi: giustifica quale sia più efficiente e spiega perché il passaggio al complementare è una tecnica fondamentale per semplificare i problemi di probabilità.

Uno studente di ingegneria informatica sta configurando un nuovo server. Può scegliere tra $3$ modelli di processore, $4$ diverse capacità di memoria RAM e $2$ tipi di disco rigido (SSD o NVMe). Applicando il principio moltiplicativo, quante configurazioni diverse di server può creare scegliendo esattamente un componente per ciascun tipo? Se sceglie una configurazione a caso, qual è la probabilità che abbia un disco NVMe?

Un gruppo di ricerca è formato da $12$ specialisti: $7$ biologi e $5$ chimici. Si deve selezionare a caso un comitato rappresentativo di $3$ persone per partecipare a un congresso internazionale. Utilizzando il calcolo combinatorio (combinazioni), calcola la probabilità che il comitato sia formato esclusivamente da biologi.

In un sistema di controllo aerospaziale, tre sensori $A$, $B$ e $C$ sono disposti in modo che il sensore $A$ sia in serie con un blocco formato dai sensori $B$ e $C$ in parallelo. Il sistema funziona se il segnale può attraversarlo da sinistra a destra.

Le probabilità di guasto individuale di ciascun sensore sono $P(F_A) = 0,1$, $P(F_B) = 0,2$ e $P(F_C) = 0,2$. Sapendo che i guasti avvengono in modo indipendente (cioè la probabilità dell'intersezione è il prodotto delle probabilità: $P(X \cap Y) = P(X) \cdot P(Y)$), calcola la probabilità che il sistema complessivo funzioni correttamente. (Nota: il sistema funziona se $A$ funziona e, inoltre, funziona $B$ oppure funziona $C$).