Poliedri, aree e volumi

Prismi, parallelepipedi e cubo

Un prisma retto ha due basi uguali (poligoni) e facce laterali rettangolari perpendicolari alle basi. Se $P$ è il perimetro di base, $S_b$ l'area di base e $h$ l'altezza:

La formula del volume ha un perché semplice: l'area di base dice quanti cubetti stanno nel primo strato, l'altezza quanti strati ci sono.

Il parallelepipedo rettangolo di dimensioni $a$, $b$, $c$ è un prisma con base rettangolare. Il cubo è il caso $a=b=c=\ell$.

La diagonale $d$ unisce due vertici opposti. Si ottiene con Pitagora due volte: prima la diagonale di base $\sqrt{a^2+b^2}$, poi il triangolo rettangolo formato da questa diagonale, dallo spigolo $c$ e da $d$. Per il cubo, $d=\ell\sqrt3$.

Piramide retta: apotema, area e volume

Una piramide è retta se la base è un poligono regolare e il piede dell'altezza coincide con il centro della base. Allora le facce laterali sono triangoli isosceli uguali. L'altezza di una faccia laterale, relativa al lato di base, si chiama apotema della piramide.

Nella figura compaiono due triangoli rettangoli fondamentali, con lo stesso cateto $h$: quello con altezza $h$, apotema di base $a_b$ (raggio del cerchio inscritto nella base) e apotema della piramide $a_p$ (in azzurro); e quello con $h$, il raggio $r$ del cerchio circoscritto alla base e lo spigolo laterale $s$ (tratteggiato).

Perché $A_{\text{lat}}=\frac{P\,a_p}{2}$? Ogni faccia è un triangolo di base $\ell$ e altezza $a_p$; sommando le $n$ facce si ha $\frac{a_p}{2}(\ell+\dots+\ell)=\frac{P\,a_p}{2}$. Il fattore $\frac13$ nel volume viene dal fatto che tre piramidi uguali riempiono un prisma con la stessa base e la stessa altezza (lo giustifichiamo con il principio di Cavalieri, nella sezione successiva).

Per la base regolare: il quadrato di lato $\ell$ ha $a_b=\ell/2$ e $r=\ell\sqrt2/2$; l'esagono regolare di lato $\ell$ ha $r=\ell$ e $a_b=\ell\sqrt3/2$.

Angolo diedro

Un angolo diedro è la porzione di spazio compresa tra due semipiani con la stessa retta origine (lo spigolo). Per misurarlo si taglia con un piano perpendicolare allo spigolo: la sezione normale è un angolo piano, e la sua ampiezza è l'ampiezza del diedro.

Nella piramide retta l'angolo tra una faccia laterale e la base è l'angolo in $M$ del triangolo rettangolo $V\hat{M}O$ della figura precedente (con $O$ il piede dell'altezza): $VM=a_p$ è perpendicolare allo spigolo di base e $OM=a_b$ pure. Perciò, chiamando $\varphi$ il diedro:

Per il diedro tra due facce laterali adiacenti vale lo stesso principio: scegli un punto $H$ sullo spigolo comune, traccia in ciascuna faccia la perpendicolare allo spigolo passante per $H$. L'angolo tra le due perpendicolari è il diedro. Spesso conviene poi usare il teorema del coseno nel triangolo che ha per vertici $H$ e gli estremi dei due segmenti.

Principio di Cavalieri e volume della piramide

È come due pile di fogli: se sposti i fogli senza cambiarne la forma, il volume non cambia.

Uso per la piramide: due piramidi con basi equivalenti e la stessa altezza $h$ hanno sezioni parallele alla base che a distanza $x$ dal vertice sono simili alla base con rapporto $\frac{x}{h}$, quindi di area $S_b\frac{x^2}{h^2}$: uguale per entrambe. Dunque hanno lo stesso volume. Un prisma triangolare si scompone in tre piramidi con basi equivalenti e la stessa altezza, quindi ciascuna ha volume $\frac13 S_b h$.

Tetraedro regolare e sezioni

Il tetraedro regolare ha quattro facce che sono triangoli equilateri di lato $a$. Per trovare l'altezza, il piede $O$ dell'altezza è il baricentro della base, quindi dista dai vertici $\frac23$ dell'altezza del triangolo equilatero, cioè $\frac23\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{3}$.

Sezioni di un cubo

Un piano che taglia un cubo lascia sulle facce dei segmenti: la sezione è il poligono che ha per lati questi segmenti. Se il piano passa per tre punti di spigoli uscenti dallo stesso vertice $V$, la sezione è un triangolo e il solido staccato è un tetraedro con tre spigoli ortogonali in $V$. Il suo volume è $\frac13\cdot\text{(area del triangolo rettangolo in }V)\cdot\text{(terzo spigolo)}$.

In sintesi

Torniamo al campanile: per il tetto serve l'area laterale $\frac{P\,a_p}{2}$, con l'apotema ricavato da Pitagora a partire da altezza e lato di base.

• Prisma retto: $A_{\text{lat}}=P\,h$, $V=S_b\,h$. Parallelepipedo: $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$; cubo: $d=\ell\sqrt3$.

• Piramide retta: $a_p=\sqrt{h^2+a_b^2}$, $A_{\text{lat}}=\frac{P\,a_p}{2}$, $V=\frac{S_b\,h}{3}$.

• Diedro faccia-base: $\cos\varphi=\frac{a_b}{a_p}$, $\operatorname{tg}\varphi=\frac{h}{a_b}$. Si misura con perpendicolari allo spigolo.

• Tetraedro regolare: $h=\frac{a\sqrt6}{3}$, $V=\frac{a^3\sqrt2}{12}$, diedro con $\cos\varphi=\frac13$, $r=\frac{a\sqrt6}{12}$.

• Metodo generale: individua il triangolo rettangolo giusto e applica Pitagora o la trigonometria.