Rango di una matrice
Hai una matrice con molte righe e colonne: quante informazioni indipendenti contiene davvero? Il rango risponde a questa domanda, e per le matrici quadrate dice anche se il determinante può annullarsi.
Il rango e i minori
Il rango di una matrice è l'ordine massimo di un minore non nullo. Un minore di ordine $k$ è il determinante di una sottomatrice quadrata $k \times k$ ottenuta scegliendo $k$ righe e $k$ colonne.
Una riga che è combinazione lineare delle altre (per esempio un multiplo di un'altra riga) non aggiunge informazione: le righe sono linearmente dipendenti e il rango diminuisce. Il rango è il numero massimo di righe linearmente indipendenti.
Per una matrice $m \times n$ il massimo ordine possibile di un minore è $\min(m; n)$. I minori di ordine $k$ si ottengono scegliendo $k$ righe e $k$ colonne: sono $\binom{m}{k}\binom{n}{k}$. Per una matrice $2 \times 4$ i minori di ordine 2 sono $\binom{2}{2}\binom{4}{2} = 6$.
Determina il rango della seguente matrice $A$ osservando la relazione tra le sue righe: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
Determina il rango della seguente matrice $A$ osservando la relazione tra le sue righe:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$Calcola il rango della matrice $B$ cercando il minore di ordine massimo diverso da zero: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ a) Indica qual è…
Calcola il rango della matrice $B$ cercando il minore di ordine massimo diverso da zero:
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$- a) Indica qual è il massimo ordine possibile di un minore di $B$ e quanti minori di tale ordine si possono formare.
- b) Calcola uno di questi minori e verifica se è diverso da zero.
- c) Scrivi il rango di $B$ e giustifica la risposta.
Determinante e rango
Una matrice quadrata di ordine $n$ ha rango $n$ se e solo se $|A| \neq 0$, ossia se è una matrice invertibile (non singolare). Per una matrice $3 \times 3$ calcola il determinante con la regola di Sarrus: se è diverso da zero il rango è 3 e la matrice ammette l'inversa (la calcolerai con i determinanti in DET-INV). Se $|A| = 0$ il rango è minore di $n$: le righe sono linearmente dipendenti.
Trova il valore del determinante della matrice $B$ utilizzando la regola di Sarrus: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$
Trova il valore del determinante della matrice $B$ utilizzando la regola di Sarrus:
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$Data una matrice quadrata $A$ di ordine $3$ il cui determinante è $|A| = 4$, utilizza le proprietà dei determinanti per calcolare con ragionamento il valore dei seguenti…
Data una matrice quadrata $A$ di ordine $3$ il cui determinante è $|A| = 4$, utilizza le proprietà dei determinanti per calcolare con ragionamento il valore dei seguenti determinanti:
- a) $|A^t \cdot A^{-1}|$
- b) $|2 \cdot A \cdot A^t|$
- c) Il determinante della matrice ottenuta scambiando le prime due righe di $A$ e moltiplicando la terza colonna per $-3$.
Rango con un parametro
Se la matrice contiene un parametro $k$, calcola il determinante, trova i valori di $k$ che lo annullano e studia a parte il rango in quei casi.
Se una matrice $3 \times 3$ ha $|A| = 0$, il rango è 2 se esiste un minore di ordine 2 non nullo, ed è 1 se tutti i minori di ordine 2 sono nulli (e c'è un elemento non nullo).
Se la matrice ha colonne nulle o molti zeri, conviene scartare le colonne nulle e orlare un minore non nullo scelto bene: spesso è più rapido della riduzione di Gauss (riduzione a scala), che comunque conserva il rango perché le trasformazioni elementari sulle righe non lo modificano.
Per una matrice rettangolare con parametro si usano i minori orlati: si sceglie un minore di ordine 2 non nullo e si aggiungono (si "orlano") una riga e una colonna alla volta. Il rango resta 2 se tutti i minori orlati di ordine 3 sono nulli.
Studia il rango della seguente matrice $A$ al variare del parametro reale $k$: $A = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$ Determina per…
Studia il rango della seguente matrice $A$ al variare del parametro reale $k$:
$A = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$
Determina per quali valori di $k$ il rango è $1$, $2$ o $3$.
Determina il rango della matrice $B$ al variare del parametro reale $a$: $B = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & -1 & a & 1 \\ 1 & 10 & -3 & 5 \end{pmatrix}$ Ricorda…
Determina il rango della matrice $B$ al variare del parametro reale $a$:
$B = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & -1 & a & 1 \\ 1 & 10 & -3 & 5 \end{pmatrix}$
Ricorda che per una matrice di dimensioni $3 \times 4$, il rango massimo possibile è $3$.
Considera la matrice di dimensioni $3 \times 4$: $$C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & -1 \\ 6 & 0 & 7 & 8 \end{pmatrix}$$ Per determinare il rango di $C$,…
Considera la matrice di dimensioni $3 \times 4$:
$$C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & -1 \\ 6 & 0 & 7 & 8 \end{pmatrix}$$Per determinare il rango di $C$, due compagni propongono strade diverse:
-
Strategia 1 (riduzione di Gauss): applicare trasformazioni elementari per righe fino a rendere triangolare la matrice.
-
Strategia 2 (minori orlati): scartare le colonne nulle e orlare un minore non nullo di ordine 2 scelto bene.
- a) Analizza la struttura della matrice $C$ (osserva in particolare la seconda colonna e la posizione degli zeri) e giustifica quale delle due strategie richiede meno operazioni per argomentare il rango.
- b) Seguendo la strategia che hai giustificato come più conveniente nel punto precedente, calcola con ragionamento $\operatorname{rg}(C)$ mostrando tutti i passaggi e i determinanti o le combinazioni utilizzate.