Dipendenza e indipendenza. Basi

Due droni di sorveglianza si spostano nello spazio seguendo traiettorie rettilinee definite dai vettori $\vec{u} = (2, -4, 6)$ e $\vec{v} = (-1, 2, -3)$. Determina se i droni si muovono in direzioni parallele analizzando la dipendenza lineare dei loro vettori direzione.

Un sistema di sensori laser richiede che due fasci di luce siano paralleli. Il primo fascio segue la direzione del vettore $\vec{d_1} = (3, k, -1)$ e il secondo quella del vettore $\vec{d_2} = (6, -4, -2)$. Trova il valore del parametro $k$ affinché i vettori siano linearmente dipendenti e, quindi, i fasci siano paralleli.

Si considerano i punti dello spazio $A(1, 2, -1)$, $B(2, 3, 1)$ e $C(3, 4, 3)$.

1. a) Trova i vettori $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$.
2. b) A partire dalle loro componenti, stabilisci se i punti $A, B$ e $C$ sono allineati.

Dati i vettori $\vec{u} = (1, 2, 3)$, $\vec{v} = (2, 0, 1)$ e $\vec{w} = (3, 2, 4)$, dimostra senza eseguire calcoli complessi (osservando la relazione tra le loro componenti) che l'insieme $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ è linearmente dipendente.

Verifica se i vettori $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$, $\vec{e_2} = (1, 1, 0)$ e $\vec{e_3} = (1, 1, 1)$ possono formare una base di $\mathbb{R}^3$. A tal fine, giustifica se sono linearmente indipendenti utilizzando il determinante della matrice che formano.

Stabilisci se è vera o falsa la seguente affermazione, motivando la risposta: "Nello spazio tridimensionale $\mathbb{R}^3$, qualsiasi insieme formato da quattro vettori non nulli è sempre linearmente dipendente". Porta un esempio semplice a sostegno della risposta.

Per verificare se i vettori $\vec{u} = (1, 2, 0)$, $\vec{v} = (2, 1, 0)$ e $\vec{w} = (3, 3, 0)$ formano una base di $\mathbb{R}^3$, Marco scrive il seguente ragionamento nel suo compito in classe:

«Verifico se sono proporzionali a due a due:

• $\vec{u}$ e $\vec{v}$ non sono proporzionali perché $\frac{1}{2} \neq \frac{2}{1}$.

• $\vec{u}$ e $\vec{w}$ non sono proporzionali perché $\frac{1}{3} \neq \frac{2}{3}$.

• $\vec{v}$ e $\vec{w}$ non sono proporzionali perché $\frac{2}{3} \neq \frac{1}{3}$.

Poiché nessuna coppia di vettori ha la stessa direzione, i tre vettori sono linearmente indipendenti e, quindi, costituiscono una base di $\mathbb{R}^3$».

1. a) Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale commesso da Marco.
2. b) Spiega, senza eseguire calcoli algebrici e osservando soltanto la terza componente dei vettori, perché era evidente fin dall'inizio che non potevano formare una base dello spazio tridimensionale.
3. c) Applica il calcolo del determinante $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ mediante la regola di Sarrus per dare la giustificazione analitica formale che smentisce la conclusione di Marco.

Dati i vettori $\vec{u} = (1, 2, -1)$ e $\vec{v} = (0, 1, 2)$, determina il valore del parametro reale $k$ affinché il vettore $\vec{w} = (2, k, 0)$ sia combinazione lineare di $\vec{u}$ e $\vec{v}$. Quale relazione geometrica hanno i tre vettori per quel valore di $k$?

Studia la dipendenza o indipendenza lineare dell'insieme di vettori $S = \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ al variare del parametro $m \in \mathbb{R}$, essendo $\vec{a} = (m, 1, 1)$, $\vec{b} = (1, m, 1)$ e $\vec{c} = (1, 1, m)$.

Un drone di sorveglianza si sposta seguendo traiettorie rettilinee definite da vettori. Se i vettori direzione di tre droni sono $\vec{d_1} = (1, 3, a)$, $\vec{d_2} = (4, 1, 2)$ e $\vec{d_3} = (a, -1, 0)$, calcola i valori di $a$ per i quali le traiettorie dei tre droni sarebbero contenute in piani paralleli tra loro (cioè i vettori sono complanari).

Determina se i punti $P(1, 2, -1)$, $Q(3, 1, 1)$, $R(0, 5, -2)$ e $S(k, 0, 4)$ sono complanari in funzione del valore di $k$. Per svolgere questa analisi, utilizza la dipendenza lineare dei vettori con origine in $P$ ed estremi negli altri punti.

Si considerano i vettori $\vec{u} = (1, -1, 2)$, $\vec{v} = (2, 0, 3)$ e $\vec{w} = (0, 2, -1)$. Si vuole verificare se $\vec{w}$ è complanare con $\vec{u}$ e $\vec{v}$. Due compagni di classe propongono di risolverlo in modi diversi:

• Metodo di Matteo: Calcolare direttamente il determinante $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ mediante la regola di Sarrus.

• Metodo di Elena: Impostare l'uguaglianza vettoriale $\vec{w} = a\cdot\vec{u} + b\cdot\vec{v}$ come un sistema di tre equazioni in due incognite ($a$ e $b$), risolverlo con due di esse e verificare se la terza è soddisfatta.

1. a) Applica il metodo di Matteo per determinare se $\vec{w}$ è complanare con $\vec{u}$ e $\vec{v}$.
2. b) Applica il metodo di Elena per trovare, se esistono, gli scalari $a$ e $b$ che esprimono $\vec{w}$ come combinazione lineare di $\vec{u}$ e $\vec{v}$.
3. c) Confronta i due procedimenti: se in una verifica ti chiedono solo «questi tre vettori sono complanari?», quale sceglieresti e perché? In che cosa cambierebbe la tua scelta se ti chiedessero inoltre «esprimi il vettore $\vec{w}$ in funzione di $\vec{u}$ e $\vec{v}$»?

Costruisci tre vettori dello spazio tridimensionale, $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$, che soddisfino contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1. Nessuno dei tre vettori ha componenti nulle (nessuna componente può essere $0$).

2. Nessuna coppia di vettori è proporzionale (cioè non ci sono due vettori con la stessa direzione).

3. L'insieme $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ è linearmente dipendente.

Per riuscirci:

1. a) Spiega la strategia che hai seguito per costruirli a partire dalla definizione di combinazione lineare.
2. b) Scrivi le componenti numeriche dei tuoi tre vettori.
3. c) Verifica formalmente che sono dipendenti calcolando il determinante formato dalle loro componenti e controllando che il suo valore sia esattamente $0$.

In un motore grafico di un videogioco, la posizione di un oggetto è definita mediante la combinazione lineare di due vettori di base: $\vec{a} = (1, 0, 2)$ e $\vec{b} = (0, -1, 3)$. Calcola le coordinate del vettore risultante $\vec{w}$ se si applica la seguente operazione:

Se un vettore $\vec{v}$ ha coordinate $(3, -2, 5)$ rispetto alla base canonica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, esprimilo come combinazione lineare di tali vettori unitari.

Dimostra, motivando i passaggi, che se i vettori $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ sono linearmente indipendenti, allora anche i vettori $\{\vec{u} + \vec{v}, \vec{v} + \vec{w}, \vec{w} + \vec{u}\}$ sono linearmente indipendenti e, quindi, formano una base di $\mathbb{R}^3$.

Considera i punti dello spazio $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 1)$ e $C(2, 0, m)$.

1. a) Trova il vettore $\vec{AB}$ e il vettore $\vec{AC}$.
2. b) Determina il valore di $m$ affinché il vettore $\vec{v} = (3, -3, -3)$ sia linearmente dipendente da $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$.
3. c) Per il valore di $m$ trovato, scrivi $\vec{v}$ come combinazione lineare di $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$.

Dati i vettori della base canonica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, si definiscono i vettori:

Giustifica se l'insieme $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ è una base di $\mathbb{R}^3$. Se un vettore $\vec{x}$ ha coordinate $(1, 2, 3)$ nella base canonica, quali saranno le sue coordinate nella base $B' = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$?

Un'unità di droni da ricognizione del dispositivo antincendio boschivo sulla Sierra di Gredos (qui: sulle Alpi) utilizza tre vettori di spostamento elementare calibrati nei suoi motori (misurati in chilometri sugli assi Est, Nord e Quota):

$\vec{d}_1 = (2, 1, 0,5)$, $\vec{d}_2 = (1, 3, 1)$ e $\vec{d}_3 = (4, -1, k)$, dove $k$ è un parametro di risposta verticale regolabile via software.

1. a) Perché il drone possa manovrare verso qualsiasi punto dello spazio tridimensionale, i suoi tre movimenti elementari devono formare una base di $\mathbb{R}^3$. Determina il valore critico di $k$ per il quale i movimenti resterebbero confinati in un unico piano (cioè sarebbero linearmente dipendenti), impedendo il controllo totale del drone.
2. b) Se i tecnici impostano $k = 1\text{ km}$, giustifica con un ragionamento perché i tre vettori formano una base $B = \{\vec{d}_1, \vec{d}_2, \vec{d}_3\}$.
3. c) Per raggiungere un focolaio di incendio situato nella posizione relativa $\vec{p} = (7, 3, 2,5)\text{ km}$, calcola quante unità di ciascun movimento elementare $(a, b, c)$ deve programmare il pilota; cioè calcola le coordinate di $\vec{p}$ nella base $B$.

Dati i vettori dello spazio $\vec{a} = (1, 2, -1)$, $\vec{b} = (0, 1, 2)$ e $\vec{c} = (k, 1, -3)$, si chiede di:

1. a) Trovare il valore di $k$ affinché il vettore $\vec{v} = (3, 4, -7)$ si possa esprimere come combinazione lineare di $\vec{a}$, $\vec{b}$ e $\vec{c}$ in modo che i tre vettori siano linearmente dipendenti.

1. b) Se $k = 2$, formano una base di $\mathbb{R}^3$? In caso affermativo, calcola le coordinate del vettore $\vec{w} = (1, 1, 1)$ rispetto a tale base $B = \{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \}$.

Un gruppo di ingegneri sta progettando il sistema di navigazione di un satellite. Affinché il satellite possa orientarsi in qualsiasi direzione dello spazio tridimensionale, servono tre propulsori le cui direzioni di spinta siano linearmente indipendenti. Sono stati installati tre propulsori definiti dai vettori $\vec{u} = (1, m, 1)$, $\vec{v} = (m, 1, 1)$ e $\vec{w} = (1, 1, m)$.

Determina, motivando la risposta, per quali valori del parametro reale $m$ il sistema di propulsione non sarebbe in grado di manovrare in tutto lo spazio (cioè quando i vettori sono linearmente dipendenti). Nel caso in cui $m=1$, spiega geometricamente che cosa accade alle direzioni di spinta e se formano una base di $\mathbb{R}^3$.

Studia la dipendenza o indipendenza lineare dei seguenti vettori al variare dei parametri $a$ e $b$:

$\vec{u} = (a, 1, 0)$

$\vec{v} = (1, a, 1)$

$\vec{w} = (0, 1, b)$

Determina per quale relazione tra $a$ e $b$ i vettori sono complanari. Esiste qualche valore di $a$ per cui i vettori sono linearmente dipendenti indipendentemente dal valore di $b$? Giustifica la risposta.

Sia $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ una base di $\mathbb{R}^3$. Si considerano i vettori:

$\vec{x} = \vec{u} + \vec{v}$

$\vec{y} = \vec{v} + \vec{w}$

$\vec{z} = \vec{w} + \lambda\vec{u}$

1. a) Per quali valori di $\lambda$ l'insieme $\{\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\}$ non costituisce una base di $\mathbb{R}^3$?

1. b) Per $\lambda = 0$, esprimi il vettore $\vec{w}$ come combinazione lineare di $\vec{x}$, $\vec{y}$ e $\vec{u}$.

Dimostra che se tre vettori $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ sono linearmente indipendenti, allora i vettori $\vec{u} - \vec{v}$, $\vec{v} - \vec{w}$ e $\vec{w} - \vec{u}$ sono sempre linearmente dipendenti.

Dai un'interpretazione geometrica di questo risultato considerando i vettori come i lati di una figura chiusa nello spazio.

Nello sviluppo di un videogioco open world, la posizione di un personaggio è definita mediante una base non standard $B' = \{ \vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3} \}$. Sappiamo che questi vettori sono legati alla base canonica $B = \{ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \}$ nel modo seguente:

$\vec{u_1} = \vec{i} + \vec{j}$

$\vec{u_2} = \vec{j} + \vec{k}$

$\vec{u_3} = \vec{i} + \vec{k}$

1. a) Dimostra che $B'$ è una base di $\mathbb{R}^3$.

1. b) Se un oggetto del gioco ha coordinate $(2, -4, 6)$ nella base canonica, determina le sue coordinate nella base $B'$.

Un architetto progetta una struttura tesa mediante tre cavi che convergono in un punto di ancoraggio $P$. Le direzioni dei cavi sono date dai vettori $\vec{v_1} = (1, 1, a)$, $\vec{v_2} = (a, 0, 1)$ e $\vec{v_3} = (2, 1, 1)$.

1. a) Perché l'ancoraggio sia stabile, i cavi non possono essere tutti nello stesso piano. Trova i valori di $a$ per cui la struttura collasserebbe, essendo i vettori linearmente dipendenti.

1. b) Per $a = 2$, viene applicata una forza totale di $\vec{F} = (5, 2, 4)$ nel punto $P$. Determina se questa forza si può scomporre in modo unico come somma di tensioni nelle direzioni dei cavi e, in caso affermativo, trova tale scomposizione.

Considera i punti $A(1, 0, 1)$, $B(0, 2, 1)$ e $C(2, 1, 0)$.

1. a) Trova un punto $D$ in modo che il vettore $\vec{AD}$ sia linearmente dipendente dal vettore $\vec{BC}$ e abbia modulo 6. La soluzione è unica?

1. b) Determina se il punto $E(5, -1, 4)$ appartiene al piano definito dai vettori $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$. Giustifica la risposta utilizzando il concetto di dipendenza lineare e di base.

Considera la base $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ di $\mathbb{R}^3$ formata dai vettori $\vec{u} = (10, 0, 0)$, $\vec{v} = (1, 10, 0)$ e $\vec{w} = (1, 1, 10)$, e il vettore obiettivo $\vec{x} = (12, 21, 30)$. Si cercano le coordinate $(a, b, c)_B$ tali che $\vec{x} = a\cdot\vec{u} + b\cdot\vec{v} + c\cdot\vec{w}$.

1. a) Stima: Prima di risolvere un qualsiasi sistema numerico, analizza la struttura dei vettori della base (osserva la posizione degli zeri e dei valori dominanti $10$):

• Quale vettore della base è l'unico in grado di contribuire alla terza componente ($z$)? Stima il valore esatto che deve avere $c$.

• Sapendo che quel valore di $c$ apporta già una quantità fissa alla seconda componente ($y$), attorno a quale valore deve collocarsi la coordinata $b$? Sarà maggiore o minore di $2,1$?

• Ragionando in modo analogo con la prima componente ($x$), stima se la coordinata $a$ risulterà maggiore o minore di $1$.

1. b) Calcola: Imposta il sistema lineare corrispondente a $\vec{x} = a\cdot\vec{u} + b\cdot\vec{v} + c\cdot\vec{w}$ e calcola con esattezza i valori di $a$, $b$ e $c$.
2. c) Valuta: Confronta le tue stime qualitative con i risultati esatti e spiega perché la disposizione triangolare di questa base provoca un «effetto a cascata» che corregge successivamente ogni coordinata dal basso verso l'alto.

Si considera l'insieme di vettori di $\mathbb{R}^3$ formato da $\vec{u} = (1, 1, 0)$, $\vec{v} = (1, 0, 1)$ e $\vec{w} = (0, 1, 1)$.

1. a) Dimostra che $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ è una base di $\mathbb{R}^3$ calcolando il volume del parallelepipedo da essi determinato, tramite il prodotto misto o il determinante.
2. b) Uno studente afferma con sicurezza: «Poiché $B$ non è la base canonica, è impossibile che un vettore non nullo abbia esattamente le stesse componenti nella base canonica e coordinate nella base $B$». Per verificare se ha ragione, imposta l'equazione vettoriale che traduce tale condizione:

Trasforma questa uguaglianza in un sistema lineare omogeneo, risolvilo motivando i passaggi e concludi se l'affermazione dello studente è vera o falsa.

1. c) Interpreta geometricamente l'insieme dei vettori che soddisfano la condizione precedente, indicando quale figura formano nello spazio e quale relazione hanno con i vettori della base $B$.