Binomio di Newton e triangolo di Tartaglia
Quattro amici, Marco, Luca, Giulia e Sofia, devono scegliere due di loro per rappresentare la classe: in quanti modi? E quanto fa $(a+b)^{10}$ senza moltiplicare dieci volte? Le due domande hanno la stessa risposta: i coefficienti binomiali. Alla fine della pagina vedrai perché.
Coefficienti binomiali e triangolo di Tartaglia
Per $n \ge k \ge 0$ interi, il coefficiente binomiale si definisce così:
Per esempio $\binom{8}{3}=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=56$. Conviene semplificare prima di moltiplicare.
Tre proprietà si ricordano facilmente:
La formula di Stifel permette di costruire i coefficienti riga per riga: nel triangolo di Tartaglia ogni numero è la somma dei due che stanno sopra di esso, e ai lati ci sono sempre 1.
La riga $n$ contiene i numeri $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\dots,\binom{n}{n}$. Per esempio nella riga 5: $1,\,5,\,10,\,10,\,5,\,1$.
Calcola i coefficienti binomiali $\binom{8}{3}$, $\binom{10}{0}$ e $\binom{12}{10}$.
Calcola i coefficienti binomiali $\binom{8}{3}$, $\binom{10}{0}$ e $\binom{12}{10}$.
La formula del binomio di Newton
Sviluppiamo le prime potenze:
$(a+b)^1=a+b$
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
I coefficienti sono proprio le righe del triangolo. Il perché: sviluppando $(a+b)(a+b)\cdots(a+b)$ ($n$ fattori), il termine $a^{n-k}b^k$ si ottiene scegliendo $b$ in $k$ fattori su $n$, e questo si può fare in $\binom{n}{k}$ modi.
Scrivi le prime sei righe (dalla riga $n=0$ alla riga $n=5$) del triangolo di Tartaglia e usale per sviluppare $(a+b)^5$.
Scrivi le prime sei righe (dalla riga $n=0$ alla riga $n=5$) del triangolo di Tartaglia e usale per sviluppare $(a+b)^5$.
Sviluppa $(2x-1)^4$ usando la formula del binomio di Newton.
Sviluppa $(2x-1)^4$ usando la formula del binomio di Newton.
Termine generale e somme di coefficienti
Spesso non serve lo sviluppo completo, ma un solo termine. Il termine di indice $k$ (con $k=0,1,\dots,n$) è
$$T_{k+1}=\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$Il terzo termine corrisponde a $k=2$: attenzione allo scarto di uno.
Con $x^4$ si avrebbe $7-2k=4$, cioè $k=\frac32$ non intero: quel termine non esiste. Il termine centrale esiste se $n$ è pari (è quello con $k=\frac n2$); se $n$ è dispari ci sono due termini centrali.
Due casi particolari di $(1+1)^n$ e $(1-1)^n$ danno risultati utili:
$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n \qquad \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}=0 \quad (n\ge 1)$$Il primo dice che l'insieme di $n$ elementi ha $2^n$ sottoinsiemi; il secondo, che le somme dei coefficienti di indice pari e dispari sono uguali, quindi valgono $2^{n-1}$ ciascuna.
Determina il coefficiente del termine in $x^3$ nello sviluppo di $\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^7$... se il termine esiste; in caso contrario, spiega perché non esiste e…
Determina il coefficiente del termine in $x^3$ nello sviluppo di $\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^7$... se il termine esiste; in caso contrario, spiega perché non esiste e determina il termine in $x^{5}$.
Calcola il valore della somma $\displaystyle\sum_{k=0}^{6}\binom{6}{k}2^k$ e giustifica il risultato con il binomio di Newton.
Calcola il valore della somma $\displaystyle\sum_{k=0}^{6}\binom{6}{k}2^k$ e giustifica il risultato con il binomio di Newton.
Dimostra che, per ogni intero $n\ge 1$, vale $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}=0$ e deduci che la somma dei coefficienti binomiali di indice pari è uguale a…
Dimostra che, per ogni intero $n\ge 1$, vale
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}=0$
e deduci che la somma dei coefficienti binomiali di indice pari è uguale a quella dei coefficienti di indice dispari. Quanto vale ciascuna delle due somme?
Nello sviluppo di $\left(x^2+\dfrac{1}{x}\right)^n$ il coefficiente del terzo termine è 45. a) Determina $n$. b) Determina il termine indipendente da $x$, se esiste. c)…
Nello sviluppo di $\left(x^2+\dfrac{1}{x}\right)^n$ il coefficiente del terzo termine è 45.
- a) Determina $n$.
- b) Determina il termine indipendente da $x$, se esiste.
- c) Determina il termine centrale.
Applicazioni: calcolo approssimato e divisibilità
Se $b$ è piccolo, i primi termini bastano. Per $(1+h)^n$:
$$(1+h)^n=1+nh+\binom{n}{2}h^2+\binom{n}{3}h^3+\dots$$I termini successivi diventano rapidamente trascurabili.
Il binomio serve anche per la divisibilità: se scrivi un numero come $(1+m)^n$ con $m$ multiplo di $d$, tutti i termini tranne il primo sono multipli di $d$.
Vuoi chiudere il gancio iniziale? Scegliere $2$ persone su $4$ si fa in $\binom{4}{2}=6$ modi, e il $6$ è il numero centrale della riga 4. Il coefficiente di $a^2b^2$ in $(a+b)^4$ conta le stesse scelte: quale delle due lettere "pescare" in ciascun fattore.
Calcola, senza calcolatrice, $(1{,}02)^5$ con l'approssimazione di quattro cifre decimali, usando i primi termini dello sviluppo di $(1+0{,}02)^5$.
Calcola, senza calcolatrice, $(1{,}02)^5$ con l'approssimazione di quattro cifre decimali, usando i primi termini dello sviluppo di $(1+0{,}02)^5$.
Dimostra, usando il binomio di Newton, che $7^n-1$ è divisibile per 6 per ogni intero $n\ge 1$, scrivendo $7^n=(1+6)^n$ e sviluppando.
Dimostra, usando il binomio di Newton, che $7^n-1$ è divisibile per 6 per ogni intero $n\ge 1$, scrivendo $7^n=(1+6)^n$ e sviluppando.