Probabilità condizionata

In una convention di appassionati di gaming, si sorteggia una console di ultima generazione tra i presenti. Partecipano 120 persone di Roma, 80 di Milano e 50 di Napoli. Inoltre, si sa che il 60 % dei partecipanti totali è minorenne. Se si sceglie un vincitore a caso, calcola:

1. a) Lo spazio campionario associato alla provenienza dei partecipanti.

1. b) La probabilità che il vincitore sia di Roma.

1. c) La probabilità che il vincitore sia maggiorenne.

In un liceo sono stati raccolti i dati di 200 studenti dell'ultimo anno su due eventi: $A$ (superare il compito di Matematica) e $B$ (frequentare abitualmente la biblioteca della scuola). Il registro mostra che 120 frequentano la biblioteca, 90 superano il compito e 60 fanno entrambe le cose.

Marco vuole calcolare la probabilità che uno studente superi Matematica sapendo che frequenta la biblioteca, e scrive nel suo compito:

1. a) Identifica con precisione quale probabilità ha realmente calcolato Marco e spiega qual è l'errore concettuale della sua impostazione rispetto alla definizione di probabilità condizionata e al cambio di spazio campionario.
2. b) Correggi il calcolo determinando il valore corretto di $P(A|B)$.
3. c) Giustifica formalmente se per questo gruppo di studenti frequentare la biblioteca e superare Matematica sono eventi statisticamente indipendenti.

Un'urna contiene 5 palline bianche e 3 palline nere. Si estraggono successivamente due palline con reinserimento (la prima viene rimessa nell'urna prima di estrarre la seconda). Rappresenta la situazione con un diagramma ad albero e calcola:

1. a) La probabilità che entrambe le palline siano bianche.
2. b) La probabilità che la prima sia nera e la seconda bianca.
3. c) La probabilità che le due palline siano dello stesso colore.

In una scuola di lingue, il 40 % degli studenti è iscritto al corso di Tedesco ($A$). Tra gli iscritti a Tedesco, il 30 % frequenta anche le lezioni di conversazione ($C$). Se si sceglie a caso uno studente della scuola, determina:

1. a) La probabilità che uno studente sia iscritto a Tedesco e frequenti le lezioni di conversazione.
2. b) Sapendo che uno studente è iscritto a Tedesco, qual è la probabilità che non frequenti le lezioni di conversazione?

Si estraggono successivamente e senza reinserimento due carte da un mazzo di 40 carte italiane. Calcola le seguenti probabilità:

1. Che la seconda carta sia un Re, sapendo che la prima era un Asso.

2. Che la seconda carta sia un Re, sapendo che anche la prima era un Re.

3. Che le due carte siano figure (Fante, Cavallo o Re).

4. Sapendo che la seconda carta è un Denaro, qual è la probabilità che anche la prima lo fosse?

Siano $A$ e $B$ due eventi indipendenti associati a un esperimento aleatorio, tali che $P(A) = 0,4$ e $P(B) = 0,5$. Trova le seguenti probabilità:

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(A \cup B)$
3. c) $P(A|B)$
4. d) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$

In un controllo di qualità di una fabbrica di componenti elettronici, si sa che l'evento $F$ (il componente ha un difetto di saldatura) ha probabilità $P(F) = 0,08$, e l'evento $C$ (il componente ha un difetto di involucro) ha probabilità $P(C) = 0,12$. Se i due eventi sono indipendenti, calcola:

1. La probabilità che un componente abbia entrambi i difetti.

2. La probabilità che abbia almeno un difetto.

3. La probabilità che non abbia alcun difetto.

4. Sapendo che il componente ha un difetto di involucro, qual è la probabilità che non abbia difetto di saldatura?

Un sistema di sicurezza per un server critico è composto da due componenti, $C_1$ e $C_2$, collegati in parallelo, il che significa che il sistema funziona se almeno uno dei componenti funziona. La probabilità che il componente $C_1$ si guasti in un anno è $0,05$ e quella che si guasti $C_2$ è $0,08$. I guasti dei componenti sono eventi indipendenti.

Calcola:

1. a) La probabilità che il sistema funzioni correttamente per un anno.
2. b) Sapendo che il sistema ha funzionato correttamente, qual è la probabilità che il componente $C_1$ si sia guastato?

Si realizza uno studio sul possesso di animali domestici in un gruppo di 100 persone. I risultati sono riportati nella seguente tabella di contingenza:

1. a) Completa la tabella di contingenza.
2. b) Se scegliamo una persona a caso, qual è la probabilità che abbia cane e gatto?
3. c) Sapendo che la persona scelta ha il cane, qual è la probabilità che abbia anche il gatto?

Un centro di preparazione sportiva analizza il rendimento dei suoi 120 atleti. Si osserva che 65 di loro seguono una dieta specifica, 70 svolgono allenamenti ad alta intensità e 40 soddisfano entrambe le condizioni.

1. Organizza i dati in una tabella di contingenza.

2. Se scegliamo un atleta a caso e risulta che non svolge allenamenti ad alta intensità, qual è la probabilità che segua la dieta specifica?

3. Se l'atleta scelto non segue la dieta, qual è la probabilità che non svolga nemmeno allenamenti ad alta intensità?

In una piattaforma di streaming, il $60\%$ degli utenti guarda serie di fantascienza (evento $S$) e il $45\%$ guarda documentari (evento $D$). Si sa che il $20\%$ degli utenti apprezza entrambi i generi. Se scegliamo a caso un utente che sappiamo guardare serie di fantascienza, calcola la probabilità che guardi anche documentari. Gli eventi "guardare serie di fantascienza" e "guardare documentari" sono indipendenti? Motiva la risposta.

Un'azienda di logistica consegna pacchi in tre distretti: Nord ($40\%$), Centro ($35\%$) e Sud ($25\%$). La percentuale di consegne in ritardo è del $5\%$ al Nord, del $8\%$ al Centro e del $12\%$ al Sud.

1. Se scegliamo un pacco a caso, qual è la probabilità che sia stato consegnato in orario?

2. Se un pacco è stato consegnato in ritardo, qual è la probabilità che fosse destinato al distretto Sud?

Un test per rilevare una vulnerabilità di sicurezza nei server informatici risulta positivo nel $98\%$ dei server realmente infetti. Tuttavia, dà un "falso positivo" (positivo su server sani) nel $2\%$ dei casi. Si stima che in una rete aziendale il $1\%$ dei server sia infetto.

1. Se un server risulta positivo al test, qual è la probabilità che sia realmente infetto?

2. Interpreta se il test è affidabile per un uso di massa in questa rete basandoti sul risultato precedente.

Un'azienda di corrieri utilizza tre percorsi diversi ($R_1, R_2, R_3$) per consegnare pacchi in una grande città. Il $30\%$ delle spedizioni è assegnato al percorso $R_1$, il $45\%$ al percorso $R_2$ e il resto al percorso $R_3$. Per esperienze passate si sa che le probabilità che un pacco arrivi in ritardo su ciascun percorso sono rispettivamente $4\%$, $6\%$ e $2\%$.

Se selezioniamo un pacco a caso e osserviamo che è arrivato in ritardo, qual è la probabilità che NON abbia seguito il percorso $R_2$?

Siano $A$ e $B$ due eventi tali che $P(A) = 0,4$, $P(B|A) = 0,25$ e $P(A' \cap B') = 0,45$.

1. Calcola $P(A \cap B)$.

2. Calcola $P(B)$.

3. Calcola $P(A|B)$.

4. Determina se gli eventi $A$ e $B$ sono compatibili e se sono indipendenti. Motiva le tue conclusioni.

Si lanciano contemporaneamente due dadi equilibrati a sei facce. Calcola la probabilità dei seguenti eventi:

1. a) Ottenere una somma dei punti uguale a 7.
2. b) Sapendo che nel primo dado è uscito un numero pari, qual è la probabilità che la somma sia 7?
3. c) Gli eventi "somma uguale a 7" e "primo dado pari" sono indipendenti? Giustifica la risposta confrontando $P(S=7|Par)$ con $P(S=7)$.

In un laboratorio di biotecnologie si studia la resistenza di un batterio a due tipi di antibiotici, $A$ e $B$. Si sa che la probabilità che il batterio sia resistente all'antibiotico $A$ è $P(A) = 0,65$ e la probabilità che sia resistente all'antibiotico $B$ è $P(B) = 0,48$. Inoltre, si è determinato che la probabilità che non sia resistente a nessuno dei due è del $12\%$.

Calcola, motivando:

1. a) La probabilità che il batterio sia resistente a $A$ sapendo che è resistente a $B$.
2. b) La probabilità che sia resistente a uno solo dei due antibiotici.
3. c) Gli eventi "essere resistente a $A$" ed "essere resistente a $B$" sono indipendenti? Giustifica la tua risposta mediante calcoli.