Prodotto scalare
Un blocco di calcestruzzo viene trascinato da una gru lungo un cantiere: la forza e lo spostamento sono due vettori, ma l'energia spesa, il lavoro, è un semplice numero. Come si ottiene un numero da due vettori? Con il prodotto scalare, che ti permette anche di misurare angoli e di riconoscere vettori perpendicolari senza fare alcun disegno.
Due espressioni per la stessa operazione
Perché le due espressioni coincidono? Disegna il triangolo con lati $\vec u$, $\vec v$ e $\vec u - \vec v$. Per il teorema di Carnot:
$$|\vec u - \vec v|^2 = |\vec u|^2 + |\vec v|^2 - 2|\vec u|\,|\vec v|\cos\alpha$$Con le componenti, invece, $|\vec u - \vec v|^2 = (u_1-v_1)^2 + (u_2-v_2)^2 = |\vec u|^2 + |\vec v|^2 - 2(u_1v_1 + u_2v_2)$. Confrontando i due risultati si ottiene $u_1v_1 + u_2v_2 = |\vec u|\,|\vec v|\cos\alpha$.
Dati i punti del piano $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ e $C(0, 5)$, calcola il valore del prodotto scalare $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
Dati i punti del piano $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ e $C(0, 5)$, calcola il valore del prodotto scalare $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
Sapendo che i moduli di due vettori sono $|\vec{a}| = 4$ e $|\vec{b}| = 6$ e che l'angolo da essi formato è $60^\circ$, calcola il valore esatto del loro prodotto…
Sapendo che i moduli di due vettori sono $|\vec{a}| = 4$ e $|\vec{b}| = 6$ e che l'angolo da essi formato è $60^\circ$, calcola il valore esatto del loro prodotto scalare $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
L'angolo tra due vettori
Calcola l'angolo formato dai vettori $\vec{u} = (1, \sqrt{3})$ e $\vec{v} = (-\sqrt{3}, 1)$.
Calcola l'angolo formato dai vettori $\vec{u} = (1, \sqrt{3})$ e $\vec{v} = (-\sqrt{3}, 1)$.
Calcola il valore (o i valori) del parametro $k$ affinché l'angolo formato dai vettori $\vec{u} = (k, 3)$ e $\vec{v} = (1, -2)$ sia esattamente $135^\circ$.
Calcola il valore (o i valori) del parametro $k$ affinché l'angolo formato dai vettori $\vec{u} = (k, 3)$ e $\vec{v} = (1, -2)$ sia esattamente $135^\circ$.
Vettori ortogonali
Un trucco utile: un vettore perpendicolare a $(a; b)$ è $(-b; a)$, perché $a\cdot(-b) + b\cdot a = 0$.
Dati i vettori $\vec{u} = (3, -2)$ e $\vec{v} = (4, 5)$, calcola il loro prodotto scalare e stabilisci se sono ortogonali.
Dati i vettori $\vec{u} = (3, -2)$ e $\vec{v} = (4, 5)$, calcola il loro prodotto scalare e stabilisci se sono ortogonali.
Trova il valore del parametro $m$ affinché i vettori $\vec{p} = (m, -3)$ e $\vec{q} = (6, 2)$ siano perpendicolari.
Trova il valore del parametro $m$ affinché i vettori $\vec{p} = (m, -3)$ e $\vec{q} = (6, 2)$ siano perpendicolari.
Verifica, utilizzando esclusivamente il prodotto scalare, se il triangolo di vertici $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(1, 12)$ è rettangolo, acutangolo od ottusangolo. Indica…
Verifica, utilizzando esclusivamente il prodotto scalare, se il triangolo di vertici $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(1, 12)$ è rettangolo, acutangolo od ottusangolo. Indica in quale vertice si trova l'angolo retto, nel caso in cui ci sia.
Proiezione di un vettore su un altro
In un cantiere, una gru trascina un blocco di calcestruzzo applicando una forza costante rappresentata dal vettore $\vec{F} = (450, 600)$ espressa in newton. Il blocco…
In un cantiere, una gru trascina un blocco di calcestruzzo applicando una forza costante rappresentata dal vettore $\vec{F} = (450, 600)$ espressa in newton. Il blocco subisce uno spostamento rettilineo dato dal vettore $\vec{d} = (12, 5)$ in metri. Sapendo che il lavoro meccanico è definito come $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$, calcola il lavoro compiuto dalla gru e l'angolo formato dalla forza applicata e dallo spostamento.
Nello sviluppo di un motore fisico per un videogioco, un personaggio si sposta seguendo la direzione e il verso del vettore $\vec{d} = (8, 4)$. La gravità in questo…
Nello sviluppo di un motore fisico per un videogioco, un personaggio si sposta seguendo la direzione e il verso del vettore $\vec{d} = (8, 4)$. La gravità in questo ambiente virtuale è definita dal vettore $\vec{g} = (0; -9,8)$. Calcola la proiezione ortogonale del vettore gravità sulla direzione del movimento del personaggio.
Proprietà del prodotto scalare
Utilizzando le proprietà del prodotto scalare, sviluppa e calcola il valore dell'espressione $(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ sapendo che $|\vec{u}| = 5$…
Utilizzando le proprietà del prodotto scalare, sviluppa e calcola il valore dell'espressione $(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ sapendo che $|\vec{u}| = 5$ e $|\vec{v}| = 3$.
Dimostra, utilizzando esclusivamente le proprietà algebriche del prodotto scalare, che le diagonali di un qualsiasi rombo sono perpendicolari tra loro. Nota: Puoi…
Dimostra, utilizzando esclusivamente le proprietà algebriche del prodotto scalare, che le diagonali di un qualsiasi rombo sono perpendicolari tra loro.
Nota: Puoi modellizzare i lati del rombo mediante due vettori $\vec{u}$ e $\vec{v}$ con la stessa origine e lo stesso modulo ($|\vec{u}| = |\vec{v}|$). Esprimi le diagonali in funzione di $\vec{u}$ e $\vec{v}$.
In sintesi
Riprendiamo la gru: il lavoro è $\vec F \cdot \vec d$, cioè la forza per la proiezione dello spostamento nella sua direzione.