Definizioni di probabilità

Si lancia un dado dodecaedrico (12 facce) perfettamente equilibrato, con le facce numerate da 1 a 12. Si annota il risultato della faccia superiore. Definisci per elencazione lo spazio campionario $E$ e i seguenti eventi:

• $A$: "Ottenere un numero multiplo di 3".

• $B$: "Ottenere un numero primo".

• $C$: "Ottenere un numero maggiore di 10".

In un esperimento aleatorio lo spazio campionario è $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$. Dati gli eventi $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ e $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, determina per elencazione i seguenti eventi risultanti dalle operazioni tra di essi:

• $A \cup B$

• $A \cap B$

• $A - B$

• $\overline{A} \cap B$

In un centro meteorologico si definisce l'evento $L$: "Domani piove" e l'evento $V$: "Domani c'è vento". Esprimi in linguaggio ordinario il significato dei seguenti eventi algebrici:

• $\overline{L} \cap \overline{V}$

• $L \cup V$

• $V - L$

In uno studio clinico su un nuovo ceppo virale si osserva un gruppo di pazienti. Si definiscono gli eventi $F$: "Il paziente presenta febbre" e $T$: "Il paziente presenta tosse". Esprimi in notazione insiemistica (intersezioni, unioni, complementari) i seguenti eventi descritti in linguaggio naturale:

• Il paziente presenta almeno uno dei due sintomi.

• Il paziente presenta febbre ma non tosse.

• Il paziente non presenta nessuno dei due sintomi.

• Il paziente presenta esattamente un sintomo.

Siano $A$ e $B$ due eventi di uno stesso esperimento aleatorio tali che $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ e $P(A \cup B) = 0,7$. Giustifica matematicamente se gli eventi $A$ e $B$ sono compatibili o incompatibili basandoti sugli assiomi della probabilità.

In una verifica di Matematica si propone un esperimento aleatorio in cui due eventi hanno probabilità $P(A) = 0,65$ e $P(B) = 0,55$. Manuel scrive nel suo compito la seguente risoluzione:

«Applicando il terzo assioma di Kolmogorov, la probabilità che si verifichi almeno uno dei due è $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,65 + 0,55 = 1,20$. Poiché questo risultato è maggiore di $1$ e contraddice l'assioma dell'evento certo, deduco che i dati dell'enunciato sono errati e che tali eventi non possono coesistere in nessun esperimento reale».

1. a) Individua e spiega con argomentazioni i due errori concettuali che commette Manuel in relazione alle condizioni richieste dal terzo assioma e alla definizione di eventi compatibili.
2. b) Senza modificare i valori di $P(A)$ e $P(B)$, correggi la risoluzione di Manuel determinando l'intervallo di valori possibili per $P(A \cap B)$ che garantiscono che l'esperimento sia matematicamente coerente.

Un gioco consiste nel lanciare ripetutamente una moneta equilibrata finché non esce la prima "Testa" ($C$), con un limite massimo di 3 lanci (se al terzo lancio esce "Croce" ($X$), il gioco termina comunque).

• Scrivi lo spazio campionario $E$ di questo esperimento.

• Assegna la probabilità corrispondente a ciascun evento elementare giustificando la tua risposta.

Da un mazzo di carte spagnole da 40 si estrae una carta a caso. Utilizzando la definizione classica di probabilità, calcola la probabilità dei seguenti eventi elementari e composti:

• $A$: "Estrarre un cavallo".

• $B$: "Estrarre una carta di coppe".

• $C$: "Estrarre una figura di denari" (le figure sono fante, cavallo e re).

Si ha un'urna opaca che contiene 5 palline rosse, 3 palline blu e 2 palline verdi, tutte identiche al tatto. Se si estrae una pallina a caso, calcola la probabilità di:

• Ottenere una pallina blu.

• Non ottenere una pallina rossa.

• Ottenere una pallina che sia rossa o verde.

Si lanciano simultaneamente due dadi cubici equilibrati, uno rosso e uno blu. Aiutandoti con lo spazio campionario bidimensionale, calcola la probabilità che:

• La somma dei punteggi sia esattamente 8.

• Il valore assoluto della differenza tra i punteggi sia 2.

In un'urna ci sono $n$ palline bianche e 6 palline nere. Si estrae una pallina a caso. Se si sa che la probabilità di estrarre una pallina bianca è $\frac{3}{5}$, imposta un'equazione per trovare il valore di $n$ e determina il numero totale di palline nell'urna.

In un sistema di cybersicurezza, un utente deve creare un PIN numerico di 4 cifre (da 0 a 9). Se il sistema genera un PIN casuale, calcola la probabilità che il PIN contenga esattamente due cifre uguali (per esempio, 1213 o 9904, ma non 2225 né 1122). Utilizza la definizione classica di probabilità e le tecniche di calcolo combinatorio.

In una fabbrica di componenti elettronici si sa che la probabilità che un chip abbia un difetto di saldatura è $0,05$, la probabilità che abbia un difetto nell'incapsulamento è $0,03$, e la probabilità che presenti entrambi i difetti contemporaneamente è $0,01$. Calcola la probabilità che un chip scelto a caso presenti almeno uno dei due difetti.

In un'azienda di sviluppo software la probabilità che un programma abbia un errore nell'interfaccia utente (evento $U$) è $0,45$. La probabilità che abbia un errore nel database (evento $D$) è $0,30$. Se la probabilità che abbia un errore nell'interfaccia ma non nel database è $0,25$, calcola la probabilità che il programma non abbia alcun errore.

Un analista finanziario valuta due fondi di investimento, $A$ e $B$. Stabilisce che la probabilità che il fondo $A$ sia redditizio è il doppio della probabilità che lo sia il fondo $B$. Inoltre, sa che la probabilità che almeno uno sia redditizio è $0,85$ e la probabilità che lo siano entrambi è $0,20$. Imposta un sistema di equazioni e calcola la probabilità che il fondo $A$ sia redditizio.

Si effettua un esperimento aleatorio consistente nel lanciare due dadi cubici equilibrati (con facce numerate da 1 a 6) e si definisce l'evento $S$: «ottenere almeno un 5 tra i due dadi». Per calcolare $P(S)$, due studenti propongono metodi diversi basati sugli assiomi:

• Metodo 1 (via evento contrario): Calcolare la probabilità dell'evento complementare $\overline{S}$ («non ottenere nessun 5 in nessuno dei dadi») e applicare $P(S) = 1 - P(\overline{S})$.

• Metodo 2 (via unione generale): Definire $A$: «esce 5 nel primo dado» e $B$: «esce 5 nel secondo dado», e calcolare $P(S) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

1. a) Sviluppa completamente entrambi i metodi, giustificando a ogni passaggio quale assioma o proprietà della probabilità sostiene ciascuna uguaglianza e applicando la definizione classica di probabilità. Verifica che entrambi i procedimenti portano allo stesso risultato.
2. b) Immagina che il gioco venga generalizzato al lancio simultaneo di 6 dadi equilibrati e si cerchi la probabilità di ottenere almeno un 5. Analizza e giustifica quale dei due metodi risulta chiaramente più efficiente e scalabile, spiegando le difficoltà algebriche che comporterebbe applicare l'altro.

Nella progettazione di un circuito logico, l'attivazione di un relè dipende dagli eventi $A$ e $B$ secondo l'espressione booleana che definisce l'evento $K$: $K = (A \cup B) \cap (\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{B})$.

Semplifica analiticamente l'espressione dell'evento $K$ utilizzando le proprietà dell'algebra degli eventi. Successivamente, calcola $P(K)$ sapendo che $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cup B) = 0,8$.

Osserva il seguente diagramma di Venn che rappresenta uno spazio campionario $E$ e due eventi $A$ e $B$. Sapendo che l'area di ciascuna regione è proporzionale alla sua probabilità, esprimi in notazione insiemistica la regione colorata in verde e calcola la sua probabilità se $P(A) = 0,55$, $P(B) = 0,40$ e $P(A \cap B) = 0,15$.

In un liceo, il $60\%$ degli studenti del terzo anno frequenta la materia di Fisica, il $50\%$ frequenta Disegno tecnico e un $20\%$ non frequenta nessuna delle due. Se si sceglie uno studente a caso, determina le seguenti probabilità utilizzando le proprietà assiomatiche e le leggi di De Morgan:

• Che frequenti entrambe le materie.

• Che frequenti Fisica ma non Disegno tecnico.

• Che frequenti esattamente una delle due materie.

Secondo l'indagine sulle tecnologie dell'informazione e della comunicazione nelle famiglie pubblicata dall'ISTAT, in una determinata regione la probabilità che un'abitazione scelta a caso disponga di connessione a internet in fibra ottica ($A$) è $P(A) = 0,82$, e la probabilità che abbia un abbonamento a una piattaforma di video on demand ($B$) è $P(B) = 0,64$. Inoltre, lo studio indica che la probabilità che una famiglia non disponga di nessuno di questi due servizi è $0,06$.

1. a) Modella l'informazione data esprimendo ciascun dato nel linguaggio formale della teoria degli insiemi e della probabilità (individuando contrari, unioni e intersezioni).
2. b) Dimostra passo per passo, utilizzando esclusivamente gli assiomi di Kolmogorov e le proprietà da essi dedotte, se gli eventi $A$ e $B$ sono compatibili o incompatibili.
3. c) Deduci formalmente la relazione tra $P(A - B)$ e le probabilità note, e calcola la probabilità che una famiglia scelta a caso disponga di fibra ottica ma non di una piattaforma video.

In un liceo la dirigenza realizza un sondaggio sulla mobilità sostenibile dei suoi studenti. I risultati indicano che la probabilità che uno studente scelto a caso utilizzi l'abbonamento dell'autobus metropolitano ($B$) è $P(B) = 0,75$, e la probabilità che utilizzi la pista ciclabile comunale ($C$) è $P(C) = 0,40$.

1. a) Prima di impostare qualsiasi calcolo algebrico, stima intuitivamente: è possibile che nessuno studente utilizzi entrambi i mezzi di trasporto contemporaneamente? Quale ritieni debba essere la percentuale minima di studenti che necessariamente combinano entrambi i mezzi?
2. b) Applica la formula generale della probabilità dell'unione, $P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(B \cap C)$, insieme all'assioma secondo cui nessuna probabilità può superare $P(E) = 1$, per calcolare il limite minimo di $P(B \cap C)$ e determinare anche il suo limite massimo. Confronta questi risultati con la tua stima precedente e valuta se la tua intuizione era corretta.

In un controllo di qualità si applicano due prove a una partita di prodotti. Si sa che la probabilità di superare la prova $A$ è $P(A) = 0,85$ e la probabilità di superare la prova $B$ è $P(B) = 0,75$. Senza conoscere la probabilità dell'intersezione, determina algebricamente il valore massimo e il valore minimo che può assumere la probabilità che un prodotto superi entrambe le prove, $P(A \cap B)$.

Un team di controllo di qualità analizza due eventi di arresto operativo, $A$ e $B$, in una linea di montaggio. Le probabilità stimate dipendono da un parametro di progetto $k \in \mathbb{R}$, in modo che $P(A) = k$, $P(B) = 2k - 0,1$ e si sa che la probabilità che la linea si fermi per almeno una delle due cause è $P(A \cup B) = 0,70$. Per requisiti di monitoraggio, si richiede che i due eventi possano coesistere con una probabilità che verifichi $P(A \cap B) \geq 0,10$.

1. a) Utilizzando gli assiomi di Kolmogorov, la proprietà dell'addizione per eventi compatibili e i limiti universali che $P(A \cap B)$ deve rispettare rispetto a $P(A)$ e $P(B)$, deduci con ragionamento l'intervallo dei valori ammissibili per il parametro $k$.
2. b) Per il valore minimo ammissibile di $k$ ottenuto nel punto precedente, imposta un problema inverso di progettazione: costruisci uno spazio campionario $E$ discreto e finito con il minor numero possibile di eventi elementari equiprobabili (per applicare la definizione classica di probabilità) e definisci per elencazione i sottoinsiemi che rappresentano $A$, $B$ e la loro intersezione, verificando che riproducano esattamente le probabilità calcolate.

A partire dalle serie storiche dell'Aeronautica Militare in una zona di montagna, si definiscono per un giorno invernale tre eventi: $L$ («precipitazioni sotto forma di pioggia o neve»), $N$ («cielo con nuvolosità compatta superiore al $80\,\%$) e $V$ («raffiche di vento forte superiori a $70\text{ km/h}$»). I dati indicano che $P(L) = 0,65$, $P(N) = 0,80$ e $P(V) = 0,35$. Inoltre, le leggi fisiche implicano che non può esserci precipitazione senza tale nuvolosità compatta ($L \subseteq N$).

1. a) Dimostra formalmente, utilizzando solo gli assiomi di Kolmogorov e la scomposizione di $N$ in unione di eventi incompatibili, che $P(L \cap N) = P(L)$ e che $P(\overline{L} \cap N) = P(N) - P(L)$. Calcola il valore numerico di entrambe le probabilità.
2. b) Senza assumere alcuna relazione previa di dipendenza o indipendenza fisica tra il vento $V$ e la nuvolosità $N$, deduci dagli assiomi l'intervallo numerico più stretto possibile $[m, M]$ all'interno del quale deve trovarsi con certezza la probabilità $P(N \cap V)$.
3. c) Un bollettino meteorologico preliminare assicura che «la probabilità che piova o ci sia vento forte è $P(L \cup V) = 0,20$». Dimostra per contraddizione logica, basandoti sulla proprietà di monotonia o sui limiti dell'intersezione, perché tale affermazione è matematicamente impossibile.