Simmetrie nello spazio

In un software di progettazione di videogiochi, un oggetto situato nel punto $P(4, -2, 6)$ deve essere riflesso rispetto a un punto di controllo (centro di simmetria) situato in $M(1, 3, 2)$. Calcola le coordinate del punto simmetrico $P'$ in cui apparirà l'oggetto riflesso.

Si sa che il punto $A'(0, 8, -4)$ è il simmetrico di $A(2, -2, 6)$ rispetto a un centro di simmetria $C$. Determina le coordinate di tale centro $C$ utilizzando la relazione del punto medio.

Un architetto sta progettando una struttura metallica e deve collocare due supporti in punti simmetrici rispetto al centro di una trave principale. Se uno dei supporti deve trovarsi nel punto $P(3, -2, 4)$ e il centro della trave si trova in $M(1, 2, 1)$, determina le coordinate in cui deve essere posto il secondo supporto $P'$.

Calcola il punto simmetrico di $Q(3, -5, 7)$ rispetto al piano coordinato $XY$.

Suggerimento: ricorda che l'equazione del piano $XY$ è $z = 0$.

Dato il punto $P(1, 0, 1)$, determina il suo simmetrico rispetto al piano $\pi: x + y + z = 5$ seguendo questi passi:

1. Determina la retta $r$ perpendicolare a $\pi$ che passa per $P$.

2. Calcola il punto di intersezione $M$ tra la retta $r$ e il piano $\pi$ (piede della perpendicolare).

3. Utilizza $M$ come punto medio per determinare il simmetrico $P'$.

Calcola le coordinate del punto $Q$, simmetrico del punto $P(1, 0, 5)$ rispetto al piano di equazione $\pi: 2x + y - z - 3 = 0$. Spiega brevemente i passaggi seguiti (determinazione della retta perpendicolare, punto di intersezione e punto medio).

Determina il punto simmetrico di $P(1, 2, 3)$ rispetto alla retta $r$ che coincide con l'asse $OX$.

Calcola il punto simmetrico di $B(5, 5, 5)$ rispetto alla retta $s$ data da:

Nota: questa è una retta verticale, parallela all'asse $OZ$, che passa per il punto $(1, 2, 0)$.

La figura mostra la vista dall'alto (piano $XY$): la retta $s$, essendo verticale, appare come un punto, e si vede anche la proiezione di $B$.

Data la retta $r$ definita dalle equazioni parametriche:

$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$

Determina il punto simmetrico di $A(3, 2, 1)$ rispetto a tale retta.

Si proietta un fascio di luce laser che segue la traiettoria della retta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{1}$. Il raggio incide su una superficie metallica levigata situata nel piano $XY$ (piano $z=0$). Calcola l'equazione della retta $s$ che contiene il raggio riflesso.

Nota: la retta riflessa è la simmetrica della retta incidente rispetto al piano di incidenza.

Considera i punti $A(1, 1, 1)$ e $B(3, 5, 5)$. Trova l'equazione del piano $\pi$ che funge da "piano di simmetria" tra i due punti (cioè il piano rispetto al quale $A$ e $B$ sono simmetrici).

Un drone di sorveglianza si trova nel punto $A(1, -2, 3)$. Per evitare di essere rilevato da un radar, deve spostarsi al punto $B(5, 4, 1)$ effettuando uno scalo tecnico su una piattaforma piana rappresentata dal piano $\pi: x - y + 2z - 2 = 0$. Determina le coordinate di un punto $P$ su tale piano in modo che il percorso totale $AP + PB$ sia minimo.

Indicazione: utilizza la simmetria del punto $A$ rispetto al piano $\pi$ per risolvere questo problema di ottimizzazione geometrica.