Angoli tra rette e piani nello spazio

Un architetto sta progettando la copertura inclinata di un palazzetto dello sport. Nel suo progetto la struttura di sostegno principale segue la direzione della retta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{2}$, mentre il pavimento del palazzetto si trova sul piano orizzontale $\pi: z = 0$. Calcola l'angolo formato dalla trave di sostegno con il pavimento.

Calcola l'angolo formato dalla retta $r$ passante per i punti $A(1, 0, 1)$ e $B(2, 1, 2)$ con il piano di equazione generale $\pi: x + y + 1 = 0$.

Calcola l'angolo acuto formato dalla retta $r$, passante per i punti $A(1, 0, -2)$ e $B(3, -1, 1)$, con il piano $\pi$ di equazione generale $2x + y - 3z + 4 = 0$. Esprimi il risultato in gradi, primi e secondi.

Un braccio robotico industriale in uno stabilimento di assemblaggio deve spostarsi lungo una guida rettilinea $r$ che passa per l'origine delle coordinate $O(0,0,0)$ e per il punto $P(1, -1, 0)$. Il braccio deve operare su una lastra metallica inclinata che coincide con il piano $\pi$ contenente i punti $A(2, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ e $C(0, 0, 2)$. Calcola l'angolo formato dalla traiettoria del robot con la lastra di lavoro.

Data la retta $s: \frac{x}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+2}{2}$ e il piano $\pi: 3x - 2y + z - 5 = 0$, verifica se la retta e il piano sono paralleli o se, al contrario, si intersecano formando un angolo determinato. Nel caso si intersechino, calcola tale angolo.

Determina il valore del parametro $k$ affinché la retta $r: \frac{x-1}{k} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ sia perpendicolare al piano $\pi: 2x + 4y - 2z + 7 = 0$. Qual è l'angolo che formano in questo caso?

Data la retta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = -1 - \lambda \end{cases}$ e il piano $\pi \equiv x + ky + 2z - 1 = 0$, determina il valore del parametro reale $k$ sapendo che l'angolo formato dalla retta e dal piano è $30^\circ$.

Determina l'equazione cartesiana del piano $\pi$ che contiene la retta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z}{1}$ ed è perpendicolare al piano $\sigma \equiv x - y + z + 3 = 0$. Una volta trovato, verifica quale sia l'angolo formato dalla retta $r$ con tale piano $\pi$. Il risultato era prevedibile? Motiva la risposta.

Calcola il seno dell'angolo formato dalla retta $r$, definita come intersezione dei piani $\pi_1: x - y = 0$ e $\pi_2: y - z = 0$, con il piano $\pi_3: x + y + 2z - 4 = 0$. (Suggerimento: ricava prima il vettore direttore della retta $r$ mediante il prodotto vettoriale dei vettori normali di $\pi_1$ e $\pi_2$).

Determina l'angolo formato dalla retta $r$, definita come intersezione dei piani $\pi_1 \equiv x - y = 0$ e $\pi_2 \equiv 2y + z = 1$, con il piano $\alpha \equiv 3x - z = 0$.

Nella progettazione di un auditorium all'avanguardia si prevede una trave di sostegno che segue la direzione della retta $s$, definita dall'intersezione dei piani:

$s \equiv \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$

Si desidera che questa trave formi un angolo $\alpha$ con il piano della facciata principale $\pi \equiv x + ay + z = 3$. Sapendo che $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{6}$, calcola il valore del coefficiente $a$ della facciata.

Considera la retta $s$ definita dall'intersezione di piani:

e la retta $r$ data in forma continua:

Si definisce il fascio di piani passanti per la retta $s$, la cui equazione è data da $\pi_\lambda: (x - z) + \lambda(y - 3) = 0$ con $\lambda \in \mathbb{R}$, al quale si aggiunge il piano complementare $\pi_\infty: y - 3 = 0$.

1. a) Determina i valori di $\lambda$ per i quali l'angolo $\alpha$ formato dalla retta $r$ e dal piano $\pi_\lambda$ è esattamente $45^\circ$. Scrivi l'equazione generale di ciascuno dei piani ottenuti.
2. b) Verifica analiticamente se il piano complementare $\pi_\infty: y - 3 = 0$ forma anch'esso $45^\circ$ con $r$.
3. c) Spiega geometricamente se esiste un piano di questo fascio che possa essere strettamente perpendicolare alla retta $r$. A tal fine, analizza la condizione necessaria che dovrebbero soddisfare i vettori direttori delle due rette $\vec v_s$ e $\vec v_r$, senza dover risolvere sistemi di equazioni complessi.

Determina l'angolo formato dalla retta $r: \begin{cases} x + y = 2 \\ z = 1 \end{cases}$ con il piano coordinato $OXY$ ($z = 0$). Spiega brevemente il significato geometrico del risultato ottenuto.

È stato installato un pannello solare rappresentato dal piano $\pi \equiv x + y + az + d = 0$. Si sa che il pannello passa per il punto $P(1, 2, 1)$ e che, per massimizzarne l'efficienza, deve formare un angolo di $60^\circ$ con l'asse $OZ$ (la verticale).

Calcola i possibili valori del parametro $a$ (supponi $a > 0$).

Calcola l'angolo formato dalla retta $r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ con ciascuno dei piani coordinati. La somma di questi tre angoli è $180^\circ$? Giustifica la risposta utilizzando i concetti di vettori direttori e normali.