Prodotto misto
Un architetto progetta un lucernario a forma di tetraedro e deve sapere quanta aria racchiude. Conosce solo le coordinate dei vertici: come si ricava il volume? Lo scopriremo con il prodotto misto.
Definizione e calcolo
Dati tre vettori $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ dello spazio, il prodotto misto è il numero $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$.
Se le componenti sono $\vec{a}=(a_1, a_2, a_3)$, $\vec{b}=(b_1, b_2, b_3)$, $\vec{c}=(c_1, c_2, c_3)$, il prodotto misto è il determinante della matrice che ha per righe le componenti: $$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$$
Il motivo: sviluppando il determinante lungo la prima riga si ottiene proprio il prodotto scalare di $\vec{a}$ con il prodotto vettoriale $\vec{b}\times\vec{c}$. Il risultato è un numero, non un vettore.
Dati i vettori $\vec{u} = (2, -1, 3)$, $\vec{v} = (0, 4, 1)$ e $\vec{w} = (1, 1, -2)$, calcola il valore del prodotto misto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ utilizzando la…
Dati i vettori $\vec{u} = (2, -1, 3)$, $\vec{v} = (0, 4, 1)$ e $\vec{w} = (1, 1, -2)$, calcola il valore del prodotto misto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ utilizzando la definizione basata sul determinante delle sue componenti.
Dati tre vettori linearmente indipendenti $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$ tali che il loro prodotto misto è $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 4$, calcola, motivando e…
Dati tre vettori linearmente indipendenti $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$ tali che il loro prodotto misto è $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 4$, calcola, motivando e applicando le proprietà dei determinanti, il valore del prodotto misto dei vettori $\vec{x} = 2\vec{u}$, $\vec{y} = \vec{u} + \vec{v}$ e $\vec{z} = \vec{w} - \vec{v}$.
Volume di parallelepipedi e tetraedri
Il valore assoluto del prodotto misto è il volume del parallelepipedo che ha per spigoli i tre vettori: $V = |[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|$.
Perché? $|\vec{b}\times\vec{c}|$ è l'area della base e $\vec{a}\cdot\hat{n}$ è l'altezza, cioè la proiezione di $\vec{a}$ sulla direzione perpendicolare alla base. Base per altezza dà il volume.
Il tetraedro con gli stessi spigoli è la sesta parte del parallelepipedo: $V_{\text{tetraedro}} = \dfrac{1}{6}\,|[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|$.
Da $V = \text{area di base} \cdot \text{altezza}$ ricaviamo l'altezza: $h = \dfrac{|[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|}{|\vec{b}\times\vec{c}|}$. Questa $h$ è la distanza dell'estremo di $\vec{a}$ dal piano di $\vec{b}$ e $\vec{c}$. Se $\alpha$ è l'angolo tra $\vec{a}$ e quel piano, allora $h = |\vec{a}|\,\operatorname{sen}\alpha$, quindi $\operatorname{sen}\alpha = \dfrac{|[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|}{|\vec{a}|\,|\vec{b}\times\vec{c}|}$.
Uno studente di ingegneria sta progettando un pezzo con un programma CAD. La base del pezzo è definita dai vettori $\vec{a} = (3, 0, 0)$ e $\vec{b} = (0, 5, 0)$, mentre…
Uno studente di ingegneria sta progettando un pezzo con un programma CAD. La base del pezzo è definita dai vettori $\vec{a} = (3, 0, 0)$ e $\vec{b} = (0, 5, 0)$, mentre il terzo vettore che definisce la profondità è $\vec{c} = (1, 2, 4)$. Calcola il volume del parallelepipedo formato da questi tre vettori.
Si considera un hangar di stoccaggio a forma di parallelepipedo in cui tre spigoli concorrenti in un vertice sono i vettori $\vec{u} = (3, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 4, 0)$…
Si considera un hangar di stoccaggio a forma di parallelepipedo in cui tre spigoli concorrenti in un vertice sono i vettori $\vec{u} = (3, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 4, 0)$ e $\vec{w} = (1, 2, 5)$.
- a) Calcola il volume totale dell'hangar.
- b) Se l'hangar viene suddiviso mediante un piano inclinato che passa per gli estremi dei tre vettori precedenti per creare un soppalco triangolare (tetraedro con l'origine), quale frazione del volume totale dell'hangar occuperebbe tale soppalco?
Uno studio di architettura progetta un lucernario a forma di tetraedro i cui vertici sono i punti $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$, $C(2, 4, -1)$ e $D(0, 0, z)$. Calcola il…
Uno studio di architettura progetta un lucernario a forma di tetraedro i cui vertici sono i punti $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$, $C(2, 4, -1)$ e $D(0, 0, z)$. Calcola il valore della quota $z$ sapendo che il volume del lucernario è di $5$ unità cubiche e che il vertice $D$ si trova sul semiasse negativo delle $Z$.
Torna all'inizio: il volume del lucernario si ottiene dal prodotto misto dei vettori che uniscono un vertice agli altri tre, diviso per 6.
Complanarità
Tre vettori sono complanari quando il parallelepipedo si appiattisce e il volume è nullo. Quindi $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ sono complanari se e solo se $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0$.
Per quattro punti $A, B, C, D$: sono complanari se $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$. Un prodotto misto nullo equivale a dire che i vettori sono linearmente dipendenti.
Perpendicolare comune a due rette $r$ e $s$: la sua direzione è perpendicolare a entrambi i vettori direttori, quindi è $\vec{n} = \vec{d_r}\times\vec{d_s}$. Se $P\in r$ e $Q\in s$, il volume del parallelepipedo di spigoli $\vec{d_r}, \vec{d_s}, \vec{PQ}$ è $|\vec{PQ}\cdot\vec{n}|$, cioè area di base $|\vec{n}|$ per l'altezza, che è la componente di $\vec{PQ}$ lungo $\hat{n}$. Questa altezza misura quanto sono lontane le rette. Non cambia scegliendo altri punti, perché spostando $P$ su $r$ o $Q$ su $s$ la variazione di $\vec{PQ}$ è parallela a $\vec{d_r}$ o a $\vec{d_s}$, quindi perpendicolare a $\vec{n}$: il volume non dipende da $P$ e $Q$. Se vale $0$, le rette sono complanari.
Retta per due punti, piano per tre punti e forma implicita
Una retta per due punti $A$ e $B$ ha come vettore direzione $\vec{AB}$. Se $P_0(x_0; y_0; z_0)$ è un suo punto e $\vec{d}=(l, m, n)$ è la direzione, le equazioni parametriche sono $x=x_0+l\lambda$, $y=y_0+m\lambda$, $z=z_0+n\lambda$. Eliminando $\lambda$ si ottiene la forma continua $\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$, valida se $l, m, n$ sono tutti non nulli. Se una componente è nulla, la coordinata corrispondente resta costante: ad esempio, se $n=0$ si scrive $\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}$, $z=z_0$.
Un piano per $P_0$ con vettore normale $\vec{n}=(a, b, c)$ ha equazione cartesiana $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$. Se il piano deve essere parallelo a due rette, il vettore normale è il prodotto vettoriale dei loro vettori direzione.
Piano per tre punti non allineati $A, B, C$: un vettore normale è $\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}$ e si usa $A$ come punto del piano. Un quarto punto $P$ sta nel piano se $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AP}]=0$.
Una retta può essere data come intersezione di due piani (forma implicita). Per passare alla forma parametrica: il vettore direzione è il prodotto vettoriale dei due vettori normali; un punto si trova ponendo una coordinata uguale a un valore comodo e risolvendo il sistema nelle altre due. Poi si scrivono le equazioni parametriche o la forma continua.
Posizione reciproca di due rette $r$ e $s$ con direzioni $\vec{d_r}, \vec{d_s}$ e punti $P\in r$, $Q\in s$: se $\vec{d_r}$ e $\vec{d_s}$ sono proporzionali, le rette sono parallele (coincidenti se $Q\in r$). Altrimenti, se $[\vec{d_r}, \vec{d_s}, \vec{PQ}]=0$ sono incidenti, se è diverso da $0$ sono sghembe. Con un parametro si impone questa condizione.
Si vuole installare un cavo in fibra ottica che colleghi il punto $A(1, 4, -2)$ con il punto $B(3, -1, 0)$. Trova l'equazione della retta che passa per entrambi i punti…
Si vuole installare un cavo in fibra ottica che colleghi il punto $A(1, 4, -2)$ con il punto $B(3, -1, 0)$. Trova l'equazione della retta che passa per entrambi i punti in forma continua.
Consideriamo il punto $P(1, 0, -1)$ e le rette: $r: x = y = z$ $s: \begin{cases} x = 3 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$ Trova l'equazione generale del piano…
Consideriamo il punto $P(1, 0, -1)$ e le rette:
$r: x = y = z$
$s: \begin{cases} x = 3 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$
Trova l'equazione generale del piano $\pi$ che passa per il punto $P$ ed è parallelo a entrambe le rette. Successivamente, determina l'equazione di una terza retta $k$ che passi per il punto $P$, sia contenuta nel piano $\pi$ e sia perpendicolare alla retta $r$.
Verifica in modo motivato se i vettori $\vec{a} = (1, 2, -1)$, $\vec{b} = (3, 0, 2)$ e $\vec{c} = (4, 2, 1)$ sono complanari. A tale scopo, calcola il loro prodotto…
Verifica in modo motivato se i vettori $\vec{a} = (1, 2, -1)$, $\vec{b} = (3, 0, 2)$ e $\vec{c} = (4, 2, 1)$ sono complanari. A tale scopo, calcola il loro prodotto misto e giustifica la risposta in base al risultato ottenuto.
Verifica se i punti $P(1, 2, -1)$, $Q(3, 0, 2)$, $R(2, 1, 4)$ e $S(5, -2, 7)$ sono complanari utilizzando il prodotto misto. Nel caso non lo siano, calcola il volume del…
Verifica se i punti $P(1, 2, -1)$, $Q(3, 0, 2)$, $R(2, 1, 4)$ e $S(5, -2, 7)$ sono complanari utilizzando il prodotto misto. Nel caso non lo siano, calcola il volume del tetraedro che ha questi quattro punti come vertici.
Un gruppo di ingegneri sta progettando un pezzo di supporto per un satellite a forma di parallelepipedo. La base è definita dai vettori $\vec{u} = (2, -1, 0)$ e…
Un gruppo di ingegneri sta progettando un pezzo di supporto per un satellite a forma di parallelepipedo. La base è definita dai vettori $\vec{u} = (2, -1, 0)$ e $\vec{v} = (1, 2, 1)$. Il terzo vettore che definisce il pezzo è $\vec{w} = (k, 1, k+1)$.
- a) Se si sa che la proiezione del vettore $\vec{w}$ sul prodotto vettoriale $\vec{u} \times \vec{v}$ ha una lunghezza di $3$ unità, determina il valore di $k$.
- b) Stabilisci se esiste un valore di $k$ che renda il pezzo piatto (volume nullo).
Proprietà e parametri
Proprietà che discendono dai determinanti: il prodotto misto cambia segno scambiando due vettori; è lineare in ciascun vettore; è nullo se due vettori sono uguali o proporzionali; non cambia con una permutazione ciclica: $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}]$.
Quando ci sono parametri, si calcola il determinante in funzione del parametro e si impone la condizione richiesta: $=0$ per la complanarità, $=\pm 6V$ per un volume dato di un tetraedro.
Dati i vettori $\vec{u} = (1, 0, 1)$ e $\vec{v} = (2, 1, -1)$, trova un terzo vettore $\vec{w}$ della forma $(0, 0, z)$ tale che il volume del parallelepipedo definito…
Dati i vettori $\vec{u} = (1, 0, 1)$ e $\vec{v} = (2, 1, -1)$, trova un terzo vettore $\vec{w}$ della forma $(0, 0, z)$ tale che il volume del parallelepipedo definito dai tre sia esattamente di 5 unità cubiche.
Si considera il tetraedro di vertici $A(1, 0, 1)$, $B(k, 1, 1)$, $C(1, k, 0)$ e $D(1, 1, k)$. a) Determina i valori del parametro reale $k$ per i quali il volume del…
Si considera il tetraedro di vertici $A(1, 0, 1)$, $B(k, 1, 1)$, $C(1, k, 0)$ e $D(1, 1, k)$.
- a) Determina i valori del parametro reale $k$ per i quali il volume del tetraedro è di $2$ unità cubiche.
- b) Per $k = 2$, trova l'altezza del tetraedro che parte dal vertice $D$ sulla faccia formata dai vertici $A$, $B$ e $C$.
Dimostra vettorialmente, utilizzando le proprietà del prodotto misto, che per tre vettori qualsiasi $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \mathbb{R}^3$ vale: $$[\vec{a} +…
Dimostra vettorialmente, utilizzando le proprietà del prodotto misto, che per tre vettori qualsiasi $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \mathbb{R}^3$ vale:
$$[\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}] = 2 \cdot [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$$Interpreta geometricamente il risultato confrontando il volume di un parallelepipedo originale con quello formato dalle somme dei suoi vettori direttori.