Equazioni goniometriche lineari, omogenee e parametriche · Matematica 4° scientifico

Equazioni lineari: il metodo dell'angolo aggiunto

Un'equazione goniometrica lineare in seno e coseno ha la forma

$$a\sen x + b\cos x = c, \qquad a, b, c \in \mathbb{R},\ (a, b) \neq (0, 0).$$

Idea: trasformare il primo membro in un solo seno, perché un'equazione del tipo $\sen(\ldots) = k$ sai già risolverla.

Cerchiamo $R$ e $\varphi$ tali che $a\sen x + b\cos x = R\sen(x+\varphi)$. Per la formula di addizione

$$R\sen(x+\varphi) = R\cos\varphi\,\sen x + R\sen\varphi\,\cos x .$$

Confrontando i coefficienti basta imporre $R\cos\varphi = a$ e $R\sen\varphi = b$.

Perché $R=\sqrt{a^2+b^2}$? Elevando al quadrato le due condizioni e sommando si ottiene $R^2(\cos^2\varphi+\sen^2\varphi)=a^2+b^2$, e la relazione fondamentale dà $R^2=a^2+b^2$.

Perché la condizione $|c|\le R$? Il seno assume valori solo in $[-1;1]$, quindi $R\sen(x+\varphi)$ varia in $[-R;R]$.

Caso particolare $c = 0$. L'equazione $a\sen x + b\cos x = 0$ si risolve più in fretta. Se $\cos x = 0$, l'equazione diventerebbe $a\sen x=0$ con $\sen x=\pm1$, impossibile per $a\neq 0$. Quindi $\cos x\neq0$ e puoi dividere per $\cos x$ ottenendo $\operatorname{tg} x = -\dfrac{b}{a}$.

Un'equazione lineare con c ≠ 0

Risolvi $\sqrt{3}\sen x + \cos x = \sqrt{3}$ in $[0, 2\pi)$.

Qui $a=\sqrt3$, $b=1$, quindi $R=\sqrt{3+1}=2$. Siccome $|\sqrt3|\le 2$, l'equazione ha soluzioni.

Cerchiamo $\varphi$ con $\cos\varphi=\dfrac{\sqrt3}{2}$ e $\sen\varphi=\dfrac12$: è $\varphi=\dfrac{\pi}{6}$. Allora l'equazione diventa

$$2\sen\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3 \ \Longrightarrow\ \sen\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Con $x\in[0,2\pi)$ l'angolo $u=x+\frac{\pi}{6}$ varia in $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}\right)$. In questo intervallo $\sen u=\frac{\sqrt3}{2}$ per $u=\frac{\pi}{3}$ e $u=\frac{2\pi}{3}$ (il valore $\frac{7\pi}{3}$ è già fuori).

Ricava $x$ da $u=\frac{\pi}{3}$ e da $u=\frac{2\pi}{3}$.

$x=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}$ e $x=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$.

Per vedere il significato geometrico, prova a cambiare $a$, $b$ e $c$: la curva $a\sen x+b\cos x$ è sempre una sinusoide, e le soluzioni sono le intersezioni con la retta $y=c$.

Torniamo all'auditorium: $3\sen t+4\cos t = 5\sen(t+\varphi)$ con $R=\sqrt{9+16}=5$ e $\operatorname{tg}\varphi=\frac43$. La somma dei due suoni è una sinusoide di ampiezza $5$, non $7$: le due onde non sono in fase e non si sommano "per intero".

Esercitati★☆☆

Risolvi l'equazione $\sqrt{3}\,\sen x + \cos x = 0$ nell'intervallo $[0, 2\pi)$.

Risolvi

Esercitati★★☆

Risolvi l'equazione $\sqrt{3}\,\sen x - \cos x = \sqrt{2}$ nell'intervallo $[0, 2\pi)$, riconducendola alla forma $R\,\sen(x-\alpha)=\sqrt{2}$.

Risolvi

Esercitati★★☆

Un'onda sonora registrata in un auditorium di Bologna è descritta, in opportune unità, da $f(t)=3\sen t + 4\cos t$, con $t\in[0,2\pi)$. a) Scrivi $f(t)$ nella forma…

Un'onda sonora registrata in un auditorium di Bologna è descritta, in opportune unità, da $f(t)=3\sen t + 4\cos t$, con $t\in[0,2\pi)$.

a) Scrivi $f(t)$ nella forma $R\,\sen(t+\varphi)$.

b) Determina i valori di $t$ per cui $f(t)=2{,}5$.

Risolvi

Altri due metodi: formule parametriche e sistema

L'angolo aggiunto non è l'unica strada. Ne esistono altre due, utili soprattutto quando $\varphi$ non è un angolo noto.

Formule parametriche

Poni $t=\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}$. Allora

$$\sen x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$$

L'equazione lineare diventa un'equazione algebrica di secondo grado in $t$. Ma attenzione: $\operatorname{tg}\frac{x}{2}$ non esiste per $x=\pi$, quindi $x=\pi$ va verificato a parte nell'equazione di partenza.

Sistema con la circonferenza goniometrica

Poni $X=\cos x$, $Y=\sen x$. L'equazione $a\sen x+b\cos x=c$ equivale al sistema

$$\begin{cases} aY+bX=c\\ X^2+Y^2=1\end{cases}$$

cioè all'intersezione tra una retta e la circonferenza goniometrica. Ogni punto d'intersezione corrisponde a un angolo $x$.

I due punti $(1;0)$ e $(0;1)$ corrispondono a $x=0$ e $x=\frac{\pi}{2}$: le stesse soluzioni di prima.

Esercitati★☆☆

Risolvi l'equazione lineare $\sen x + \cos x = 1$ nell'intervallo $[0, 2\pi)$, utilizzando il metodo che preferisci (sostituzione con le formule parametriche, metodo…

Risolvi l'equazione lineare $\sen x + \cos x = 1$ nell'intervallo $[0, 2\pi)$, utilizzando il metodo che preferisci (sostituzione con le formule parametriche, metodo dell'angolo aggiunto o sistema con la circonferenza goniometrica).

Risolvi

Equazioni omogenee

Un'equazione si dice omogenea di grado $n$ in seno e coseno se ogni termine ha grado totale $n$ in $\sen x$ e $\cos x$. Per esempio

$$\sen^2x-3\sen x\cos x+2\cos^2x=0$$

è omogenea di secondo grado: ogni termine è prodotto di due fattori fra seno e coseno.

Metodo. Dividi tutto per $\cos^n x$ e passa alla tangente. Prima però controlla che $\cos x=0$ non sia soluzione: se lo fosse, ci metteresti $\sen x=\pm1$ e verificheresti. In un'omogenea con termine $\sen^n x$ non nullo, se $\cos x=0$ resta $\sen^n x=0$, che è impossibile perché seno e coseno non si annullano insieme: quindi $\cos x=0$ non è mai soluzione.

Lo stesso metodo funziona per gradi più alti. Nell'omogenea di terzo grado $\sen^3x-2\sen x\cos^2x-\cos^3x=0$ dividi per $\cos^3x$ e ottieni $t^3-2t-1=0$, che si scompone in $(t+1)(t^2-t-1)=0$.

Esercitati★☆☆

Risolvi l'equazione omogenea di secondo grado $\sen^2 x - 3\sen x\cos x + 2\cos^2 x = 0$ nell'intervallo $[0, 2\pi)$.

Risolvi

Esercitati★★☆

Risolvi l'equazione $2\sen^2 x - \sen x\cos x - \cos^2 x = 0$ nell'intervallo $[0, 2\pi)$.

Risolvi

Esercitati★★★

Risolvi nell'intervallo $[0,\pi]$ l'equazione $\sen^3 x - 3\sen x\cos^2 x + \cos^3 x\,(\tan x - 1)=0$, indicando le condizioni di esistenza e verificando che le…

Risolvi nell'intervallo $[0,\pi]$ l'equazione

$\sen^3 x - 3\sen x\cos^2 x + \cos^3 x\,(\tan x - 1)=0$,

indicando le condizioni di esistenza e verificando che le soluzioni trovate siano accettabili.

Risolvi

Equazioni con parametro

Quando nell'equazione compare un parametro, ad esempio $\sen x+k\cos x=2$, dobbiamo discutere: per quali valori del parametro l'equazione ha soluzioni, e quante.

Con l'angolo aggiunto la discussione è immediata: $a\sen x+b\cos x=c$ equivale a $R\sen(x+\varphi)=c$, dunque

$$\sen(x+\varphi)=\frac{c}{R},$$

che ha soluzioni se e solo se $\left|\frac{c}{R}\right|\le1$. Il numero di soluzioni dipende dal valore di $\frac{c}{R}$ e dall'intervallo in cui varia $u=x+\varphi$.

Discussione di $\sen x + k\cos x = 2$

Per quali $k$ ci sono soluzioni? Risolvi per $k=\sqrt3$.

Il primo membro è $\sqrt{1+k^2}\,\sen(x+\varphi)$. Servono soluzioni di $\sen(x+\varphi)=\dfrac{2}{\sqrt{1+k^2}}$, quindi $\dfrac{2}{\sqrt{1+k^2}}\le1$.

Elevando al quadrato: $4\le1+k^2$, cioè $k^2\ge3$, ossia $k\le-\sqrt3$ oppure $k\ge\sqrt3$.

Per $k=\sqrt3$: $R=2$ e l'equazione diventa $2\sen\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=2$, cioè $\sen\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1$ (infatti $\cos\varphi=\frac12$, $\sen\varphi=\frac{\sqrt3}{2}$, $\varphi=\frac{\pi}{3}$).

Trova $x$ in $[0,2\pi)$ e spiega perché è unica. Pensa a quante volte il seno vale $1$ in un intervallo lungo $2\pi$.

$x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$, quindi $x=\frac{\pi}{6}$. Il valore massimo $1$ del seno si raggiunge una sola volta per periodo: la retta $y=2$ è tangente alla sinusoide $y=2\sen\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ nel suo punto di massimo, quindi il punto di tangenza è l'unica intersezione.

Quante soluzioni? Per $\sen u=s$ con $u$ che varia su un intervallo lungo $2\pi$ (tutta la circonferenza), di norma si hanno due soluzioni se $|s|<1$ e una per $s=\pm1$, nessuna se $|s|>1$. Ma se l'intervallo di $u$ comincia o finisce in un punto con valore intermedio, controlla caso per caso: l'estremo di sinistra è incluso, quello di destra no.

Esercitati★★★

Considera l'equazione parametrica $\sen x + k\cos x = 2$, con $k$ reale e $x\in[0,2\pi)$. a) Determina per quali valori di $k$ l'equazione ammette soluzioni. b) Per…

Considera l'equazione parametrica $\sen x + k\cos x = 2$, con $k$ reale e $x\in[0,2\pi)$.

a) Determina per quali valori di $k$ l'equazione ammette soluzioni.

b) Per $k=\sqrt{3}$ risolvi l'equazione.

c) Spiega perché per $k=\sqrt{3}$ la soluzione è unica.

Risolvi

Esercitati★★★

Discuti, al variare del parametro reale $a$, il numero di soluzioni nell'intervallo $[0,2\pi)$ dell'equazione $\cos x + \sen x = a$. Giustifica la risposta con…

Discuti, al variare del parametro reale $a$, il numero di soluzioni nell'intervallo $[0,2\pi)$ dell'equazione

$\cos x + \sen x = a$.

Giustifica la risposta con un'interpretazione geometrica sulla circonferenza goniometrica o con il grafico di una funzione opportuna.

Risolvi

Mettiti alla prova! 9 esercizi in questa sezione

★☆☆ Risolvi l'equazione $\sqrt{3}\,\sen x + \cos x = 0$ nell'intervallo $[0, 2\pi)$.★☆☆ Risolvi l'equazione lineare $\sen x + \cos x = 1$ nell'intervallo $[0, 2\pi)$,…★☆☆ Risolvi l'equazione omogenea di secondo grado $\sen^2 x - 3\sen x\cos x + 2\cos^2 x = 0$…

In sintesi

Lineare $a\sen x+b\cos x=c$: si scrive $R\sen(x+\varphi)=c$ con $R=\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos\varphi=\frac{a}{R}$, $\sen\varphi=\frac{b}{R}$; ha soluzioni se e solo se $|c|\le R$. Attenzione all'intervallo di $u=x+\varphi$.
Caso $c=0$: $\operatorname{tg}x=-\frac{b}{a}$.
Altri metodi: formule parametriche con $t=\operatorname{tg}\frac{x}{2}$ (verificando a parte $x=\pi$) oppure sistema retta più circonferenza goniometrica.
Omogenea di grado $n$: dividi per $\cos^nx$ e risolvi in $\operatorname{tg}x$, dopo aver controllato $\cos x=0$.
Parametrica: discuti con $\left|\frac{c}{R}\right|\le1$ e conta le soluzioni sull'intervallo di $u$; verifica sempre le condizioni di esistenza.