Risoluzione dei triangoli qualunque

In un triangolo $ABC$ sono noti i lati $a = 5$ cm e $b = 8$ cm, e l'angolo compreso tra essi $C = 60^\circ$. Calcola la lunghezza del lato $c$.

I tre lati di un triangolo misurano $a = 3$ m, $b = 5$ m e $c = 7$ m. Determina la misura dell'angolo di maggiore ampiezza di tale triangolo.

In un triangolo sono noti i seguenti dati: $a = 12$ m, $b = 8$ m e l'angolo $A = 120^\circ$. Calcola la misura dell'angolo $B$.

Elena risolve in classe di Matematica un esercizio di delimitazione di un terreno triangolare $ABC$ di cui si conoscono $a = 14\text{ m}$, $b = 20\text{ m}$ e l'angolo $A = 35^\circ$. Presenta alla lavagna il seguente svolgimento:

«Applico il teorema del seno:

Poiché i tre angoli sommano $180^\circ$, abbiamo $C = 180^\circ - 35^\circ - 55^\circ = 90^\circ$. Poiché il triangolo risulta rettangolo in $C$, calcolo il lato rimanente $c$ usando il teorema di Pitagora: $c = \sqrt{20^2 - 14^2} = \sqrt{204} \approx 14,28\text{ m}$».

1) Individua e spiega in dettaglio i due errori concettuali commessi da Elena:

a) Perché la sua deduzione per l'angolo $B$ è incompleta e omette una soluzione geometrica valida?

b) Anche supponendo che l'angolo $C$ fosse di $90^\circ$, perché l'impostazione che fa del teorema di Pitagora è falsa?

2) Risolvi il problema con totale rigore: determina i due possibili triangoli che soddisfano i dati iniziali, indicando per ciascuno di essi i valori degli angoli $B$ e $C$ e la lunghezza del lato $c$.

3) Se recintare il perimetro del terreno costa $45\text{ \euro/m}$, calcola la differenza economica che comporterebbe optare per una configurazione o per l'altra.

In un triangolo $ABC$, gli angoli $A$ e $B$ misurano rispettivamente $30^\circ$ e $105^\circ$. Se il lato opposto all'angolo $A$ ha lunghezza $a = 8$ cm, trova la lunghezza del lato $c$ (opposto all'angolo $C$).

In un triangolo isoscele, il lato diverso (la base) misura $12$ m e gli angoli uguali misurano $75^\circ$ ciascuno. Determina la lunghezza dei lati uguali utilizzando il teorema dei seni.

In un triangolo $ABC$, il lato $a$ misura $10$ cm e l'angolo opposto $A$ misura $45^\circ$. Calcola il raggio $R$ della circonferenza circoscritta a tale triangolo.

Trova l'area di un triangolo $ABC$ di cui conosciamo i lati $b = 14$ cm, $c = 20$ cm e l'angolo da essi formato, $A = 60^\circ$.

I lati adiacenti di un parallelogramma misurano $6$ cm e $10$ cm, e formano un angolo ottuso di $120^\circ$. Calcola la lunghezza della diagonale maggiore del parallelogramma.

In un triangolo $ABC$ di lati $a=13$ cm, $b=14$ cm e $c=15$ cm, si tracciano la circonferenza circoscritta di raggio $R$ e la circonferenza inscritta di raggio $r$. Calcola l'area del triangolo utilizzando la formula di Erone e, a partire da essa, ricava i valori esatti di $R$ e $r$.

Due barche partono contemporaneamente da un porto seguendo rotte rettilinee che formano tra loro un angolo di $75^\circ$. La prima barca naviga a una velocità costante di $15$ nodi e la seconda a $20$ nodi. Calcola la distanza in miglia nautiche che separerà le due barche dopo $2$ ore di navigazione.

Due rimorchiatori trainano una chiatta mediante due cavi che formano tra loro un angolo di $45^\circ$. Se le tensioni esercitate dai cavi sono di $4500$ N e $6000$ N, determina il modulo della forza risultante e l'angolo che tale risultante forma con il cavo che esercita la forza di $6000$ N.

Per misurare l'altezza $h$ di un aerogeneratore, ci posizioniamo in un punto $A$ del suolo e misuriamo l'angolo di elevazione fino al punto più alto, ottenendo $40^\circ$. Avanziamo di $30$ metri in linea retta verso la base dell'aerogeneratore fino a raggiungere un punto $B$, da cui il nuovo angolo di elevazione è di $55^\circ$. Calcola l'altezza dell'aerogeneratore.

Un drone di sorveglianza si trova in un punto $C$ e osserva un tratto rettilineo di strada delimitato da due città $A$ e $B$ che distano $5$ km tra loro. Gli angoli di depressione dal drone verso le città sono tali che, nel triangolo formato, l'angolo in $A$ è di $35^\circ$ e l'angolo in $B$ è di $62^\circ$. Calcola l'altitudine a cui vola il drone rispetto alla strada.

Durante la campagna di prevenzione degli incendi della Regione Toscana, due torri di avvistamento forestale, Torre Almadén ($A$) e Torre Yelmo ($B$), poste a una distanza di $12\text{ km}$ in linea retta, rilevano una colonna di fumo in un punto $C$. Gli osservatori prendono come riferimento il segmento rettilineo $AB$: dalla torre $A$ si osserva il fumo sotto un angolo di $48^\circ$, e dalla torre $B$, sotto un angolo di $74^\circ$ (entrambe le visuali sono dirette dallo stesso lato della retta $AB$).

1) Modellizza geometricamente la situazione e calcola la distanza in linea retta da ciascuna delle due torri al focolaio dell'incendio $C$.

2) Per intervenire sul terreno si valutano due opzioni:

• Un elicottero antincendio con base nella torre $A$, che decolla immediatamente e vola in linea retta verso il fuoco a una velocità costante di $190\text{ km/h}$.

• Un'autobotte fuoristrada con base nella torre $B$, che avanza a una media di $45\text{ km/h}$ su piste forestali, percorrendo un tragitto reale stimato il $25\,\%$ più lungo della distanza in linea retta.

Calcola il tempo di percorrenza (in minuti e secondi) di ciascun mezzo e determina, motivando, quale raggiungerà per primo il focolaio.

Un terreno agricolo ha la forma di un quadrilatero $ABCD$. Le misure dei suoi lati sono $AB = 50$ m, $BC = 40$ m, $CD = 30$ m e $DA = 60$ m. Sapendo che l'angolo nel vertice $B$ è di $70^\circ$, calcola l'area totale del terreno dividendolo in due triangoli.

In un triangolo $ABC$ si sa che il lato $a = 10$ cm, l'angolo $B = 30^\circ$ e che l'area totale del triangolo è di $20\sqrt{3}$ cm$^2$. Imposta un sistema per trovare il valore esatto dei lati $b$ e $c$, e determina la misura degli angoli $A$ e $C$.

Dato il triangolo $ABC$ con lati $a = 7$ cm, $b = 5$ cm e $c = 8$ cm. Si traccia la bisettrice interna dell'angolo $C$, che interseca il lato $AB$ nel punto $D$. Applicando il teorema del coseno per trovare l'angolo $C$ e utilizzando le proprietà delle aree o il teorema del seno, calcola la lunghezza esatta del segmento bisettrice $CD$ (indicato come $x$).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un ettagono regolare (poligono di $7$ lati uguali) è inscritto in una circonferenza di raggio $10$ cm. Utilizzando il teorema del coseno e/o del seno nei triangoli centrali, calcola il perimetro e l'area di tale ettagono.

I lati di un triangolo sono dati dalle espressioni $x$, $x+2$ e $x+4$ centimetri. Sapendo che l'angolo di ampiezza maggiore del triangolo misura $120^\circ$, imposta l'equazione corrispondente, trova il valore esatto di $x$ e calcola il perimetro del triangolo.

Dimostra geometricamente o mediante i teoremi trigonometrici (del seno e del coseno) che in qualsiasi triangolo $ABC$ vale la relazione delle proiezioni: $a = b \cos C + c \cos B$. In seguito, utilizza questa identità insieme al teorema del seno per dimostrare la formula del seno della somma di due angoli: $\sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$.

Una piramide regolare a base quadrata ha il lato di base di $100$ m. Sapendo che l'angolo diedro formato da due facce triangolari adiacenti è di $105^\circ$, imposta la geometria della sezione trasversale adeguata e calcola l'altezza totale della piramide.

Sfida del tema. Riprogetta la rete di monitoraggio ambientale del tuo comune utilizzando il visualizzatore ufficiale dell'Istituto Geografico Militare (IGM).

1. Raccolta dei dati e conteggio: Seleziona 4 punti elevati del tuo territorio. Applica le tecniche di calcolo combinatorio ($C_{4,3}$) per calcolare quanti triangoli di copertura diversi potresti formare. Scegline uno, annota le sue coordinate o distanze ed esprimi i suoi angoli sia in gradi sessagesimali sia in radianti.

2. Risoluzione del triangolo qualunque: Determina tutti i lati e gli angoli incogniti di tale triangolo applicando con precisione i teoremi del seno e del coseno in GeoGebra o in un foglio di calcolo.

3. Calcolo di altezze e rapporti composti: Per installare un'antenna su uno dei vertici, imposta il calcolo mediante la risoluzione di triangoli rettangoli con visuali successive (ad esempio, a distanze $d$ e $2d$, o con angoli $\alpha$ e $2\alpha$). Utilizza le formule di duplicazione o di sottrazione degli angoli per ricavare l'altezza della torre senza misurarla direttamente.

4. Proposta motivata: Elabora una breve relazione tecnica con la cattura della mappa, lo sviluppo analitico dei rapporti trigonometrici impiegati e le conclusioni sulla copertura.

Verranno valutati:

• Rigore nella conversione da gradi a radianti e nell'uso delle identità (somma/sottrazione o duplicazione).

• Risoluzione algebrica e geometrica corretta di triangoli rettangoli e qualunque mediante i teoremi del seno e del coseno.

• Applicazione adeguata del calcolo combinatorio e precisione con i dati cartografici reali.