Solidi di rotazione e principio di Cavalieri

Cilindro, cono e sfera

Un solido di rotazione si ottiene facendo ruotare di un giro completo una figura piana attorno a una retta, detta asse.

• Un rettangolo che ruota attorno a un suo lato genera un cilindro circolare retto.

• Un triangolo rettangolo che ruota attorno a un cateto genera un cono circolare retto.

• Un semicerchio che ruota attorno al suo diametro genera una sfera.

Nel cono il raggio $r$, l'altezza $h$ e l'apotema $a$ (il segmento che va dal vertice a un punto della circonferenza di base) formano un triangolo rettangolo. Per il teorema di Pitagora

Ecco le formule da ricordare (il perché è nella geometria dello sviluppo piano: la superficie laterale del cilindro è un rettangolo $2\pi r \times h$, quella del cono un settore circolare di raggio $a$ e arco $2\pi r$).

Il volume del cono è un terzo di quello del cilindro con la stessa base e la stessa altezza.

Il principio di Cavalieri e il volume della sfera

Come si arriva a $\frac{4}{3}\pi r^3$? Con un'idea di Bonaventura Cavalieri (allievo di Galileo).

Pensa a due pile di fogli: se cambi la disposizione dei fogli ma ogni foglio ha la stessa area, il volume della pila non cambia.

Confrontiamo due solidi di altezza $r$ appoggiati sullo stesso piano:

• una semisfera di raggio $r$;

• un cilindro di raggio $r$ e altezza $r$ da cui togliamo un cono con vertice nel centro di una base e base uguale all'altra base.

Taglia a distanza $x$ dalla base (con $0 \le x \le r$).

• Semisfera. La sezione è un cerchio. Per Pitagora il suo raggio $\rho$ soddisfa $\rho^2 + x^2 = r^2$, quindi l'area è $\pi(r^2 - x^2)$.

• Cilindro meno cono. La sezione è una corona circolare: cerchio esterno di raggio $r$, cerchio interno di raggio $x$ (il cono ha raggio uguale alla distanza dal vertice, perché altezza e raggio sono uguali). L'area è $\pi r^2 - \pi x^2 = \pi(r^2 - x^2)$.

Le aree sono uguali a ogni quota, quindi i volumi coincidono:

Raddoppiando si ottiene la sfera: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Calotta sferica e segmento sferico

Un piano che taglia una sfera di raggio $R$ la divide in due parti. Ciascuna ha una superficie curva, la calotta sferica, e racchiude un solido, il segmento sferico a una base. Sia $h$ l'altezza della calotta.

Il centro $O$, il centro del cerchio di base e un punto della circonferenza di base formano un triangolo rettangolo con cateti $R - h$ e $r$ e ipotenusa $R$:

Le formule (che si dimostrano con il principio di Cavalieri o con l'integrale, in quinta):

Nota che l'area della calotta dipende solo da $R$ e da $h$, non dalla posizione del piano. Con $h = 2R$ ritrovi $4\pi R^2$, con $h = R$ la semisfera: $\frac{2}{3}\pi R^3$.

Solidi composti e figure che ruotano

Molti problemi chiedono di sommare o sottrarre solidi semplici, oppure di capire che solido genera una figura che ruota. Metodo:

1. disegna la figura e individua i solidi semplici;

2. per l'area, somma solo le parti di superficie esterna (le facce di contatto non contano);

3. per il volume, somma o sottrai i volumi.

Per le figure che ruotano, prima chiediti quale solido nasce.

Problemi con parametro

Nei problemi più impegnativi non ci sono numeri, ma lettere e angoli. Il trucco è esprimere tutte le grandezze con una sola incognita, spesso un angolo, usando la trigonometria nel triangolo della sezione assiale.

Per una sfera inscritta in un cono ricorda che la sfera è tangente alla base e alla superficie laterale, quindi nella sezione assiale il suo centro è l'incentro del triangolo e la circonferenza è la circonferenza inscritta. Se il cono è equilatero, la sezione assiale è un triangolo equilatero, in cui altezza e raggio inscritto sono legati da $h = 3R$.

Per cercare il valore massimo di un volume che dipende da $\alpha$ puoi usare la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica, come nell'esempio qui sotto. Se ti trovi con un prodotto di potenze di $\operatorname{sen}\alpha$ e $\cos\alpha$, ti può servire la relazione fondamentale $\operatorname{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ per ridurre tutto a una sola funzione, ad esempio $\cos\alpha$.

Vuoi sapere quanto gelato c'è nel cono con la pallina? Il cono è un solido di rotazione, la pallina che sporge è una semisfera: basta sommare $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ e $\frac{2}{3}\pi r^3$. Con $r = 2{,}5$ cm e $h = 9$ cm, il cono contiene $\frac{1}{3}\pi \cdot 6{,}25 \cdot 9 = 18{,}75\pi \approx 58{,}9$ cm³ e la semisfera $\frac{2}{3}\pi \cdot 15{,}625 \approx 32{,}7$ cm³.

In sintesi

• Cilindro, cono e sfera sono solidi di rotazione. Nel cono $a^2 = r^2 + h^2$.

• Cilindro: $A_t = 2\pi r(h + r)$, $V = \pi r^2 h$. Cono: $A_t = \pi r(a + r)$, $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Sfera: $A = 4\pi r^2$, $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

• Principio di Cavalieri: solidi con sezioni di uguale area a ogni quota hanno lo stesso volume. Così si ottiene il volume della sfera.

• Calotta: $A = 2\pi R h$; segmento sferico a una base: $V = \frac{\pi h^2(3R - h)}{3}$; raggio di base da $r^2 = R^2 - (R-h)^2$.

• Nei solidi composti conta solo la superficie esterna; per le figure che ruotano riconosci prima il solido generato.

• Nei problemi con parametro usa la sezione assiale e la trigonometria per esprimere tutto con una sola variabile.