Funzione trigonometrica

Determina il dominio e il codominio (insieme immagine) della funzione trigonometrica $f(x) = -4\cos(x) + 2$.

Calcola il periodo della funzione $g(t) = \sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)$.

Studia la simmetria (pari, dispari o nessuna) delle seguenti funzioni trigonometriche:

• $f(x) = x^2 \sin(x)$

• $g(x) = \cos(x) + x^4$

Determina i punti di intersezione con l'asse delle ascisse (asse X) della funzione $h(x) = 2\sin(x) - 1$ nell'intervallo $[0, 2\pi]$.

Calcola il valore della funzione $f(x) = \tan(x)$ nei seguenti valori esatti espressi in radianti:

• $x = \frac{3\pi}{4}$

• $x = \frac{5\pi}{3}$

Determina il dominio della funzione $f(x) = \frac{1}{2\cos(x) - 1}$ nell'intervallo $[0, 2\pi]$.

Determina il dominio della funzione $f(x) = \sqrt{\cos(x)} + \ln(\sin(x))$ ristretta all'intervallo $[0, 2\pi]$.

Data la funzione $y = 5 - 3\sin(2x)$, individua la sua ampiezza e la sua traslazione verticale rispetto alla funzione seno di base.

Scrivi l'espressione analitica di una funzione del tipo $f(x) = A\cos(Bx)$ sapendo che la sua ampiezza è $5$ e il suo periodo è $4\pi$.

Studiando la funzione $f(x) = -3\cos(2x) + 1$, Luca afferma sul suo quaderno:

«Poiché il coefficiente principale è $-3$, l'ampiezza dell'oscillazione è $-3$. Inoltre, poiché la $x$ è moltiplicata per $2$, la funzione compie i suoi cicli due volte più lentamente, quindi il periodo è $T = 2 \cdot 2\pi = 4\pi$. Infine, il codominio va da $-3 + 1$ a $3 + 1$, cioè $[-2, 4]$».

1. a) Individua, motivando, i due errori concettuali commessi da Luca nella sua spiegazione.
2. b) Spiega perché il codominio che ha ottenuto è numericamente corretto nonostante abbia ragionato male sull'ampiezza.
3. c) Scrivi i valori corretti e giustificati dell'ampiezza e del periodo di $f(x)$.

Scrivi l'espressione analitica di una funzione trigonometrica della forma $f(x) = A\cos(Bx) + D$ (con $A > 0$ e $B > 0$) che soddisfi contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1. Il suo codominio è l'intervallo $[-1, 7]$.

2. Il suo periodo fondamentale è $4$ unità.

3. In $x = 0$ la funzione raggiunge uno dei suoi massimi assoluti.

Giustifica passo dopo passo come deduci in modo motivato il valore di ciascuno dei parametri $A$, $B$ e $D$ a partire dalle proprietà geometriche date.

Trova l'espressione analitica della funzione $f(x) = A\sin(Bx) + C$ sapendo che:

• Il suo valore massimo è $4$ e il suo valore minimo è $-2$.

• Il suo periodo è $\pi$.

• Passa per il punto $(0, 1)$ ed è crescente in quell'istante.

Trova i valori dei parametri $a$, $b$ e $c$ (con $a > 0$ e $b > 0$) della funzione $f(x) = a\sin(bx) + c$ sapendo che:

• Il valore massimo della funzione è $10$.

• Il valore minimo della funzione è $2$.

• Il periodo della funzione è $\frac{\pi}{2}$.

Esprimi la funzione $f(x) = \sqrt{3}\sin(x) + \cos(x)$ nella forma $f(x) = A\sin(x + \alpha)$. A partire da questa nuova espressione, indica l'ampiezza e lo sfasamento della funzione.

Calcola il valore esatto in radianti delle seguenti espressioni con funzioni trigonometriche inverse, senza usare la calcolatrice:

• $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

• $\arccos(0)$

• $\arctan(\sqrt{3})$

Una telecamera di tracciamento è posta a $50\text{ m}$ dalla base di lancio di un razzo. Il razzo sale verticalmente.

• Esprimi l'angolo di elevazione $\theta$ della telecamera come funzione trigonometrica inversa dell'altezza $h$ del razzo.

• Calcola l'angolo di elevazione esatto (in radianti e in gradi) quando il razzo si trova a un'altezza di $50\sqrt{3}\text{ m}$.

Data la funzione $f(x) = 2\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + \pi$:

• Determina il suo dominio.

• Determina il suo codominio (insieme immagine).

Risolvi analiticamente l'equazione trigonometrica inversa: $\arcsin(x) = \arccos(x)$.

In una verifica si chiede di semplificare la funzione composta $g(x) = \arccos(\cos x)$ e di calcolarne il valore esatto per $x = \frac{7\pi}{4}$. Marta scrive nel suo compito:

«Poiché l'arcocoseno è la funzione inversa del coseno, le due funzioni si annullano direttamente, quindi $\arccos(\cos x) = x$ per qualsiasi numero reale $x$. Di conseguenza, $\arccos\left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right) = \frac{7\pi}{4}$».

1. a) Spiega in modo rigoroso perché il ragionamento generale di Marta è falso. Nella tua spiegazione devi fare riferimento esplicito alla mancanza di iniettività della funzione coseno in $\mathbb{R}$ e a come è definito formalmente il codominio della funzione arcocoseno.
2. b) Trova il valore numerico esatto di $\arccos\left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right)$, giustificando il risultato mediante la circonferenza goniometrica o le proprietà di simmetria delle funzioni trigonometriche.
3. c) Deduci una formula semplificata per $g(x) = \arccos(\cos x)$ che sia valida specificamente quando $x$ appartiene all'intervallo $[\pi, 2\pi]$.

L'altezza $h$ (in metri) a cui si trova una cabina di una ruota panoramica rispetto al suolo in funzione del tempo $t$ (in minuti) è data dal grafico allegato.

A partire dal grafico, determina l'espressione analitica della funzione nella forma $h(t) = A\cos(Bt) + C$. Giustifica il valore dei parametri $A$, $B$ e $C$.

La profondità dell'acqua $d$ (in metri) all'ingresso di un porto varia con le maree e può essere modellizzata dalla funzione $d(t) = 12 + 4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, dove $t$ è il tempo in ore trascorso dalla mezzanotte ($t=0$).

• Qual è la profondità massima e minima dell'acqua nel porto?

• A che ora del giorno si raggiunge la profondità massima la prima e la seconda volta?

La tensione $V$ (in volt) di un circuito in corrente alternata in funzione del tempo $t$ (in secondi) è data da $V(t) = 311\sin(100\pi t)$.

• Calcola la frequenza della corrente (numero di cicli completi al secondo).

• Determina il primo istante $t > 0$ in cui la tensione raggiunge il suo valore massimo di $311$ V.

La posizione di un peso appeso a una molla che oscilla verticalmente è modellizzata dalla funzione $y(t) = -5\cos(4\pi t)$, dove $y$ è lo spostamento in cm rispetto alla posizione di equilibrio ($y=0$) e $t$ è il tempo in secondi.

• Qual è l'ampiezza e il periodo del moto?

• In quale istante $t > 0$ il peso passa per la prima volta per la posizione di equilibrio?

In una giornata primaverile a Bologna, la temperatura esterna $T$ (in $^{\circ}\text{C}$) nell'arco di un giorno intero è approssimata ragionevolmente dal modello:

dove $t$ è il tempo in ore trascorse dalla mezzanotte ($t = 0$).

1. a) Senza fare calcoli analitici con la formula, stima intuitivamente a che ora del giorno ti aspetteresti la temperatura minima e quella massima, e quale valore di temperatura ti aspetteresti verso le $12:00$ di mezzogiorno e verso le $18:00$.
2. b) Ora calcola con l'espressione analitica i valori esatti della temperatura massima, della minima e della temperatura alle $12:00$ ($t = 12$) e alle $18:00$ ($t = 18$).
3. c) Confronta le tue stime precedenti con i risultati ottenuti dal modello: le tue aspettative coincidono con il grafico di un coseno riflesso e traslato? Giustifica la coerenza del risultato fisico con l'espressione matematica.

In una città, il numero di ore di luce solare nel corso dell'anno può essere approssimato da una funzione del tipo $L(t) = A\cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - C)\right) + D$, dove $t$ è il giorno dell'anno ($t=1$ è il 1° gennaio).

Sapendo che il giorno con più ore di luce è il 21 giugno ($t=172$) con $15$ ore, e il giorno con meno ore di luce è il 21 dicembre ($t=355$) con $9$ ore:

• Trova i valori dei parametri $A$, $C$ e $D$.

• Stima il numero di ore di luce il 21 marzo ($t=80$).

Nel porto di Genova, il fenomeno delle maree produce un'oscillazione periodica del livello dell'acqua. In una particolare giornata di maree vive, si registrano i seguenti dati ufficiali di alta e bassa marea:

• Una bassa marea (livello minimo dell'acqua) si verifica alle 03:00 con una quota di $0,8\text{ m}$.

• La successiva alta marea (livello massimo dell'acqua) si verifica alle 09:12 ($t = 9,2\text{ h}$) raggiungendo $4,6\text{ m}$.

• Il ciclo di marea è semidiurno e ha un periodo completo di $12,4\text{ ore}$.

1. a) Costruisci, motivando, una funzione della forma $h(t) = A\cos(B(t - C)) + D$ (con $A > 0$) che modellizzi l'altezza dell'acqua in metri in funzione del tempo $t$ (in ore trascorse dalla mezzanotte, $t=0$). Giustifica la deduzione analitica dei quattro parametri $A$, $B$, $C$ e $D$.
2. b) Una nave mercantile necessita di un pescaggio minimo d'acqua di $3,65\text{ m}$ per poter entrare nell'imboccatura del porto senza incagliarsi. Imposta la disequazione trigonometrica corrispondente e determina algebricamente la fascia oraria della mattina (tra le 03:00 e le 15:00) in cui l'accesso al porto è sicuro per questa nave.

Per calcolare tutti gli asintoti verticali della funzione $f(x) = \tan\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$ nell'intervallo chiuso $[0, \pi]$, due studenti propongono due strategie diverse:

• Metodo A (analitico): Imporre la condizione di non definizione della tangente uguagliando l'argomento ai valori vietati generali, $2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$ con $k \in \mathbb{Z}$, ricavare $x$ e selezionare i valori interi di $k$ che danno soluzioni interne all'intervallo $[0, \pi]$.

• Metodo B (geometrico per trasformazioni): Prendere gli asintoti standard della tangente di base $x = -\frac{\pi}{2}$ e $x = \frac{\pi}{2}$, applicare su di essi prima lo sfasamento orizzontale (traslazione verso destra) e poi la compressione di scala orizzontale (fattore $1/2$), e a partire da lì sommare il nuovo periodo.

1. a) Applica entrambi i metodi indicando i passaggi intermedi e verifica che entrambi conducono alle stesse rette asintoto in $[0, \pi]$.
2. b) Confronta i due percorsi: quale ritieni più affidabile e meno soggetto a omettere soluzioni se l'intervallo richiesto fosse molto più ampio, ad esempio $[0, 10\pi]$? Giustifica la tua scelta.

Date le funzioni $f(x) = \sin(2x)$ e $g(x) = \sin(x)$, calcola analiticamente le coordinate esatte di tutti i punti di intersezione tra le due curve nell'intervallo $[0, 2\pi]$. (Suggerimento: usa la formula di duplicazione del seno).

Le vendite mensili $S$ (in migliaia di unità) di un prodotto stagionale sono modellizzate dalla funzione $S(t) = 120 + 20t + 50\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, dove $t$ è il tempo in mesi ($t=0$ corrisponde a gennaio).

• Calcola le vendite a gennaio ($t=0$) e a luglio ($t=6$).

• Dimostra analiticamente se le vendite a luglio sono maggiori o minori di quelle di gennaio e calcola la differenza esatta.

Si inscrive un rettangolo in un semicerchio di raggio $R = 10\text{ cm}$, in modo che la sua base poggi sul diametro del semicerchio, come mostra la figura.

Sia $\theta$ l'angolo formato dal raggio tracciato fino a un vertice superiore del rettangolo con il diametro.

• Esprimi l'area del rettangolo in funzione dell'angolo $\theta$. (Suggerimento: usa la formula di duplicazione del seno).

• Per quale valore di $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ l'area del rettangolo è massima e qual è tale valore massimo?

Sfida del tema. «Il polso energetico quotidiano». Indagherai la relazione tra clima e consumi nella tua regione per proporre misure di efficienza nel tuo ambiente.

1. Raccolta dei dati: Accedi ai siti di Terna e dell'Aeronautica Militare/ARPA. Registra in un foglio di calcolo i dati orari ($24$ ore di uno stesso giorno) di domanda elettrica e temperatura della tua provincia.

2. Modellizzazione in GeoGebra:

3. Modellizza l'oscillazione termica mediante una funzione trigonometrica $f(t) = A\cos(B(t-C)) + D$.

4. Adatta la curva della domanda mediante un polinomio $P(t)$ e calcola la sua funzione derivata $P'(t)$ per individuare le ore di crescita più rapida del consumo.

5. Modellizza il rendimento della climatizzazione in funzione della temperatura esterna impostando una funzione razionale e una con radici.

6. Rappresenta la risposta di saturazione della rete a un picco termico applicando modelli esponenziale e logaritmico.

7. Proposta motivata: Elabora una breve relazione (al massimo $2$ pagine) con i grafici sovrapposti, giustificando quale tipo di funzione descrive meglio ciascun fenomeno e fornendo indicazioni di risparmio basate sugli asintoti e sugli estremi individuati.

Sarà valutato:

• Rigore nell'importare dati reali e nel calibrare i parametri delle funzioni in GeoGebra.

• Uso corretto della derivata polinomiale e delle caratteristiche essenziali di ogni funzione (periodicità, asintoti, curvatura).

• Capacità critica di selezionare il modello ottimale e di giustificare matematicamente le proposte.