Prodotto scalare

Un gruppo di ingegneri sta progettando la struttura di un sostegno per un'antenna di telecomunicazioni. Hanno definito due cavi di sostegno rappresentati dai vettori $\vec{u} = (2, -3, 1)$ e $\vec{v} = (4, 2, 5)$. Calcola il prodotto scalare dei due vettori per studiare l'angolo che formano nel nodo centrale.

Due droni di sorveglianza si trovano in posizioni fisse nello spazio. Il primo drone è nel punto $A(1, 2, -1)$ e il secondo nel punto $B(3, -2, 2)$. Se il centro di controllo è nell'origine delle coordinate $O(0, 0, 0)$, calcola il modulo del vettore posizione di ciascun drone, $|\vec{OA}|$ e $|\vec{OB}|$.

In un'attrazione di un parco divertimenti, due cavi tirano una cabina. Le direzioni dei cavi sono date dai vettori $\vec{u} = (1, 0, 1)$ e $\vec{v} = (0, 1, 1)$. Utilizzando la definizione di prodotto scalare, trova l'angolo $\alpha$ formato dai due cavi.

I vertici di un triangolo nello spazio sono $A(1, 2, 1)$, $B(3, -1, 0)$ e $C(-1, 0, 4)$.

• a) Calcola l'angolo interno nel vertice $A$.

• b) Utilizza il prodotto scalare per stabilire se il triangolo è acutangolo, rettangolo od ottusangolo.

Determina il valore di $k$ affinché l'angolo formato dai vettori $\vec{u} = (1, 1, 0)$ e $\vec{v} = (0, 1, k)$ sia esattamente $45^\circ$. Giustifica se il valore di $k$ ottenuto è unico o se esistono più orientamenti possibili per il vettore $\vec{v}$.

Determina il valore del parametro reale $k$ affinché i vettori $\vec{a} = (k, 4, -2)$ e $\vec{b} = (3, -2, 5)$ siano perpendicolari (ortogonali). Questo tipo di calcoli è fondamentale nella programmazione dei videogiochi per rilevare le collisioni tra superfici.

Si considerano i punti $A(1, 1, 1)$, $B(3, 1, 1)$ e $C(1, 4, 1)$.

1. a) Trova i vettori $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$.
2. b) Calcola il loro prodotto scalare $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
3. c) Giustifica se il triangolo $ABC$ ha un angolo retto nel vertice $A$.

Dati i vettori $\vec{u} = (m, 2, -1)$ e $\vec{v} = (3, m, m+2)$, determina i valori del parametro reale $m$ affinché i due vettori siano ortogonali. Se esistono più valori, spiega se i vettori che si ottengono nei vari casi hanno lo stesso modulo.

Un vettore vento ha componenti $\vec{w} = (3, -4, 12)$. In meteorologia è utile lavorare con direzioni normalizzate. Calcola il vettore unitario $\vec{u_w}$ con la stessa direzione e lo stesso verso di $\vec{w}$.

Dato il vettore $\vec{a} = (6, 2, -3)$, calcola la sua proiezione scalare sull'asse delle ascisse (asse $X$). Per farlo, utilizza il prodotto scalare di $\vec{a}$ con il versore di tale asse, $\vec{i} = (1, 0, 0)$. Rappresenta graficamente l'idea della proiezione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In fisica, il lavoro compiuto da una forza costante si definisce come il prodotto scalare del vettore forza per il vettore spostamento: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Se una forza $\vec{F} = (5, 3, 2)$ newton sposta un oggetto dal punto $P(0, 0, 0)$ al punto $Q(2, 4, 1)$ metri, calcola il lavoro compiuto espresso in joule.

Calcola la proiezione scalare e la proiezione vettoriale del vettore $\vec{a} = (1, -2, 5)$ sul vettore $\vec{b} = (3, 0, 4)$.

1. a) Calcola la proiezione scalare di $\vec{a}$ su $\vec{b}$.

1. b) Calcola la proiezione vettoriale di $\vec{a}$ su $\vec{b}$.

1. c) Interpreta graficamente se il vettore proiezione ha lo stesso verso di $\vec{b}$, basandoti sul segno del prodotto scalare $\vec{a}\cdot\vec{b}$ che hai ottenuto.

Un vettore $\vec{w}$ ha modulo 10 e i suoi primi due coseni direttori sono $\cos \alpha = 0,6$ e $\cos \beta = -0,8$.

• a) Determina il terzo coseno direttore, $\cos \gamma$.

• b) Trova le componenti del vettore $\vec{w}$.

Siano $\vec{u}$ e $\vec{v}$ due vettori dello spazio tali che i loro moduli sono $|\vec{u}| = 4$ e $|\vec{v}| = 3$. Sapendo che l'angolo da essi formato è di $60^\circ$, calcola il valore del prodotto scalare dei vettori $\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$ e $\vec{b} = \vec{u} + 3\vec{v}$ utilizzando le proprietà distributiva e commutativa.

Siano $\vec{u}$ e $\vec{v}$ due vettori unitari. Dimostra che il vettore somma $\vec{u} + \vec{v}$ e il vettore differenza $\vec{u} - \vec{v}$ sono sempre perpendicolari tra loro, indipendentemente dalle componenti di tali vettori. Usa questo risultato per spiegare la relazione geometrica tra le diagonali di un rombo.

Dimostra, utilizzando le proprietà del prodotto scalare, che per due vettori qualsiasi $\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^3$ vale la seguente identità (nota come identità di polarizzazione):

Successivamente, utilizza questo risultato per calcolare il prodotto scalare di due vettori la cui somma e la cui differenza hanno moduli $|\vec{x} + \vec{y}| = 10$ e $|\vec{x} - \vec{y}| = 6$. Quale angolo formano tali vettori se sappiamo inoltre che i loro moduli sono uguali?

Sia $B = \{ \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3 \}$ una base di $\mathbb{R}^3$ non necessariamente ortonormale. Si conoscono i seguenti prodotti scalari tra i vettori della base:

• $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 = 2$, $\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 = 1$, $\vec{e}_3 \cdot \vec{e}_3 = 3$

• $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = -1$, $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 = 0$, $\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 = 1$

Calcola il modulo del vettore $\vec{u} = 2\vec{e}_1 - 3\vec{e}_2 + \vec{e}_3$ e determina il coseno dell'angolo che questo vettore $\vec{u}$ forma con il vettore $\vec{e}_1$.

In una struttura di ingegneria, una forza $\vec{F} = (4, -3, 2)$ newton agisce su un punto spostandolo dalla posizione $P(1, 1, 1)$ a $Q(5, 2, -3)$ (coordinate in metri). Calcola il lavoro compiuto dalla forza, ricordando che il lavoro è il prodotto scalare del vettore forza per il vettore spostamento $\vec{W} = \vec{F} \cdot \vec{d}$.

Determina tutti i vettori $\vec{w} = (x, y, z)$ dello spazio che soddisfano contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1. È ortogonale al vettore $\vec{u} = (1, 1, 0)$.

2. Forma un angolo di $45^\circ$ con il vettore $\vec{v} = (0, 1, 1)$.

3. Il suo modulo è $|\vec{w}| = \sqrt{6}$.

Una volta ottenuti i vettori, spiega con argomenti geometrici perché il problema ammette esattamente due soluzioni distinte (interpreta l'intersezione geometrica tra il piano di ortogonalità, il cono ad angolo costante e la sfera di raggio fissato).

Dati i vettori $\vec{u} = (m, 1, 1)$ e $\vec{v} = (1, m, 1)$, si chiede di:

1. a) Determinare i valori del parametro reale $m$ per i quali l'angolo formato da $\vec{u}$ e $\vec{v}$ sia esattamente di $60^\circ$.

1. b) Per il valore di $m=0$, trova un vettore $\vec{w}$ di modulo $\sqrt{6}$ che sia combinazione lineare di $\vec{u}$ e $\vec{v}$, e che sia inoltre ortogonale al vettore $\vec{a} = (1, 1, -1)$.

Nella progettazione di una struttura architettonica d'avanguardia, occorre collocare un cavo di tensione che unisca un punto fisso $P(1, 2, 3)$ con un punto variabile $Q$ situato su una trave metallica la cui traiettoria è data dalla retta $r: (x, y, z) = (2, 0, 1) + \lambda(1, -1, 0)$.

Si vuole che il cavo sia il più corto possibile. Utilizza il concetto di prodotto scalare e di proiezione per:

1. a) Determinare le coordinate del punto $Q$ che minimizza la lunghezza del cavo.
2. b) Verificare che, per tale punto, il vettore $\vec{PQ}$ è perpendicolare al vettore direzione della trave $r$.

Considera i punti dello spazio $A(1, 0, -1)$ e $B(3, 2, 1)$. Sia $r$ la retta che passa per il punto $C(0, 4, 3)$ e ha come direzione il vettore $\vec{d} = (1, 1, 1)$.

Determina se esiste un punto $P$ appartenente alla retta $r$ tale che i vettori $\vec{AP}$ e $\vec{BP}$ siano ortogonali. Esiste un'unica soluzione? Giustifica la risposta analizzando l'equazione di secondo grado che ottieni.