Operazioni con i complessi in forma trigonometrica
In una ruota panoramica con 12 cabine, passare da una cabina alla successiva significa ruotare di $30^\circ$ attorno al centro. Dopo 12 passaggi si torna alla cabina di partenza. Come si descrive questo moto con i numeri complessi? In forma algebrica servirebbero conti lunghissimi. In forma trigonometrica basta moltiplicare, e alla fine della pagina vedrai perché.
In questa pagina scriviamo $z=\rho(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)$, con modulo $\rho=|z|$ e argomento $\theta$ espresso in radianti, con $\theta\in[0;2\pi)$ oppure $(-\pi;\pi]$. Negli esercizi trovi anche la scrittura abbreviata $\rho_\theta$ con $\theta$ in gradi, che equivale a $\rho(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)$: nella teoria la useremo solo come promemoria. Per esempio $30^\circ=\frac{\pi}{6}$, $90^\circ=\frac{\pi}{2}$, $360^\circ=2\pi$: negli esercizi convertili in radianti.
Prodotto e quoziente
Perché? Moltiplica $z_1=\rho(\cos\alpha+i\operatorname{sen}\alpha)$ per $z_2=\sigma(\cos\beta+i\operatorname{sen}\beta)$:
$$z_1z_2=\rho\sigma\left[(\cos\alpha\cos\beta-\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta)+i(\operatorname{sen}\alpha\cos\beta+\cos\alpha\operatorname{sen}\beta)\right]$$Le parentesi sono proprio le formule di addizione di $\cos(\alpha+\beta)$ e $\operatorname{sen}(\alpha+\beta)$, quindi $z_1z_2=\rho\sigma[\cos(\alpha+\beta)+i\operatorname{sen}(\alpha+\beta)]$.
Per il quoziente, il numero $\left(\frac{\rho}{\sigma}\right)_{\alpha-\beta}$ moltiplicato per $\sigma_\beta$ dà, per la regola del prodotto, $\rho_\alpha$. Quindi è proprio $\frac{z_1}{z_2}$.
Geometricamente, moltiplicare per $\sigma_\beta$ vuol dire dilatare la distanza dall'origine di un fattore $\sigma$ e ruotare di un angolo $\beta$.
Dati i numeri complessi $z_1 = 4_{30^\circ}$ e $z_2 = 3_{60^\circ}$, calcola il loro prodotto $z_1 \cdot z_2$ esprimendo il risultato in forma trigonometrica.
Dati i numeri complessi $z_1 = 4_{30^\circ}$ e $z_2 = 3_{60^\circ}$, calcola il loro prodotto $z_1 \cdot z_2$ esprimendo il risultato in forma trigonometrica.
Calcola il quoziente $\frac{12_{150^\circ}}{3_{45^\circ}}$ ed esprimi il risultato in forma trigonometrica.
Calcola il quoziente $\frac{12_{150^\circ}}{3_{45^\circ}}$ ed esprimi il risultato in forma trigonometrica.
Esegui la seguente operazione combinata ed esprimi il risultato in forma trigonometrica: $$ \frac{2_{20^\circ} \cdot 6_{70^\circ}}{4_{40^\circ}} $$
Esegui la seguente operazione combinata ed esprimi il risultato in forma trigonometrica:
$$ \frac{2_{20^\circ} \cdot 6_{70^\circ}}{4_{40^\circ}} $$Coniugato e opposto
Il coniugato di $z=\rho(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)$ ha la stessa parte reale e parte immaginaria opposta: è il simmetrico di $z$ rispetto all'asse reale. Il suo modulo è $\rho$ e il suo argomento è $-\theta$. L'opposto $-z$ è il simmetrico rispetto all'origine: stesso modulo, argomento aumentato di $180^\circ$.
Dato il numero complesso $z = 3_{50^\circ}$, esprimi il suo coniugato $\bar{z}$ e il suo opposto $-z$ in forma trigonometrica.
Dato il numero complesso $z = 3_{50^\circ}$, esprimi il suo coniugato $\bar{z}$ e il suo opposto $-z$ in forma trigonometrica.
Dati i numeri complessi $z_1 = 4_{45^\circ}$ e $z_2 = 2_{120^\circ}$: a) Prima di calcolare, fai una stima ragionata: in quale quadrante del piano complesso si troverà…
Dati i numeri complessi $z_1 = 4_{45^\circ}$ e $z_2 = 2_{120^\circ}$:
- a) Prima di calcolare, fai una stima ragionata: in quale quadrante del piano complesso si troverà il prodotto $z_1 \cdot z_2$? La sua distanza dall'origine sarà maggiore o minore di quella di $z_1$? Ragiona in modo analogo per il quoziente $\dfrac{z_1}{z_2}$.
- b) Verifica le tue stime calcolando in modo esatto il prodotto $z_1 \cdot z_2$ e il quoziente $\dfrac{z_1}{z_2}$ in forma trigonometrica, riducendo gli argomenti all'intervallo $[0^\circ, 360^\circ)$.
- c) A partire dal risultato del quoziente, calcola il suo inverso $\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)^{-1}$ in forma trigonometrica e verifica se il suo modulo è $0,5$ e se il suo argomento coincide con quello che otterresti calcolando direttamente $\dfrac{z_2}{z_1}$.
Moltiplicare è ruotare e dilatare
Moltiplicare per $\sigma_\beta$ è una trasformazione del piano: ogni punto $z$ viene ruotato di $\beta$ attorno all'origine e la sua distanza dall'origine viene moltiplicata per $\sigma$. Se $\sigma=1$ è una pura rotazione.
Un caso importante è $i=1_{90^\circ}$: moltiplicare per $i$ significa ruotare di $90^\circ$ in senso antiorario.
Una barca naviga nella direzione e alla distanza indicate dal vettore associato al numero complesso $z = 10_{30^\circ}$. Per motivi meteorologici, il capitano decide di…
Una barca naviga nella direzione e alla distanza indicate dal vettore associato al numero complesso $z = 10_{30^\circ}$. Per motivi meteorologici, il capitano decide di effettuare una virata di $90^\circ$ in senso antiorario mantenendo la stessa distanza. Per quale numero complesso in forma trigonometrica deve moltiplicare $z$ per ottenere la sua nuova traiettoria, e qual è la posizione finale?
Un drone da esplorazione sottomarina parte dall'origine e si sposta in linea retta fino al punto corrispondente all'affisso del numero complesso $z_1 = 2_{45^\circ}$ (in…
Un drone da esplorazione sottomarina parte dall'origine e si sposta in linea retta fino al punto corrispondente all'affisso del numero complesso $z_1 = 2_{45^\circ}$ (in chilometri). Successivamente, il centro di controllo gli invia un'istruzione equivalente a moltiplicare la sua posizione attuale per il complesso $z_2 = 3_{90^\circ}$. Calcola le coordinate polari della sua posizione finale e spiega quale trasformazione geometrica ha subito rispetto al suo vettore posizione iniziale.
Nella progettazione del software di un braccio robotico, la posizione finale dell'effettore si calcola applicando una rotazione e un ridimensionamento alla sua posizione…
Nella progettazione del software di un braccio robotico, la posizione finale dell'effettore si calcola applicando una rotazione e un ridimensionamento alla sua posizione iniziale $z_0 = 5_{20^\circ}$. Questa trasformazione equivale a moltiplicare $z_0$ per la radice cubica del numero complesso $W = 27_{150^\circ}$ che ha il suo argomento nel primo quadrante. Determina la posizione finale dell'effettore in forma trigonometrica e l'angolo totale di rotazione applicato rispetto alla posizione iniziale.
Formula di De Moivre: le potenze
Elevare a potenza è moltiplicare un numero per se stesso più volte. Se applichi $n$ volte la regola del prodotto, il modulo diventa $\rho^n$ e l'argomento si somma $n$ volte a se stesso, cioè diventa $n\theta$.
Dimostrazione per induzione. Per $n=1$ la formula è vera. Supponi che valga per $n$ e calcola
$z^{n+1}=z^n\cdot z=\rho^n(\cos n\theta+i\operatorname{sen}n\theta)\cdot\rho(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)$.
Per la regola del prodotto, $z^{n+1}=\rho^{n+1}[\cos(n\theta+\theta)+i\operatorname{sen}(n\theta+\theta)]=\rho^{n+1}[\cos((n+1)\theta)+i\operatorname{sen}((n+1)\theta)]$. La formula vale quindi anche per $n+1$, dunque per ogni $n$.
Da forma algebrica a trigonometrica
Per scrivere $z=a+ib$ in forma trigonometrica: $\rho=\sqrt{a^2+b^2}$ e $\theta$ tale che $\cos\theta=\frac a\rho$, $\operatorname{sen}\theta=\frac b\rho$. Controlla sempre il quadrante di $z$: $\operatorname{tg}\theta=\frac ba$ non basta, perché dà due angoli.
Utilizzando la formula di De Moivre, calcola la potenza $(2_{40^\circ})^3$ ed esprimi il risultato in forma trigonometrica.
Utilizzando la formula di De Moivre, calcola la potenza $(2_{40^\circ})^3$ ed esprimi il risultato in forma trigonometrica.
Calcola il valore di $(1 - \sqrt{3}i)^5$. Per farlo, trasforma prima la base in forma trigonometrica, applica la formula di De Moivre e fornisci il risultato finale in…
Calcola il valore di $(1 - \sqrt{3}i)^5$. Per farlo, trasforma prima la base in forma trigonometrica, applica la formula di De Moivre e fornisci il risultato finale in forma algebrica.
Utilizza la formula di De Moivre per sviluppare la potenza $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partire dal risultato, uguagliando le parti reali e immaginarie, dimostra…
Utilizza la formula di De Moivre per sviluppare la potenza $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partire dal risultato, uguagliando le parti reali e immaginarie, dimostra le identità trigonometriche dell'angolo triplo:
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$\cos(3\alpha) = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$
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$\sin(3\alpha) = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$
L'inverso e le somme
Trova l'inverso del numero complesso $z = 5_{120^\circ}$ esprimendo il risultato finale in forma trigonometrica.
Trova l'inverso del numero complesso $z = 5_{120^\circ}$ esprimendo il risultato finale in forma trigonometrica.
In un circuito in corrente alternata, l'impedenza totale $Z_T$ di due componenti collegati in parallelo si calcola con la formula…
In un circuito in corrente alternata, l'impedenza totale $Z_T$ di due componenti collegati in parallelo si calcola con la formula $\frac{1}{Z_T} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2}$. Se le impedenze dei componenti sono $Z_1 = 10_{30^\circ} \ \Omega$ e $Z_2 = 10_{-30^\circ} \ \Omega$, trova l'impedenza totale $Z_T$ in forma trigonometrica. Suggerimento: passa alla forma algebrica per eseguire la somma.
Considera il numero complesso $w = \dfrac{\sqrt{3}+i}{1-i}$. a) Prima di operare analiticamente, fai una stima ragionata: Confronta i moduli del numeratore e del…
Considera il numero complesso $w = \dfrac{\sqrt{3}+i}{1-i}$.
- a) Prima di operare analiticamente, fai una stima ragionata:
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Confronta i moduli del numeratore e del denominatore. A partire da questo confronto, deduci se gli affissi delle potenze successive $w, w^2, w^3, \ldots, w^n$ formeranno una spirale che si allontana dall'origine, una che converge verso l'origine o se rimarranno su una circonferenza fissa.
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Analizza gli argomenti del numeratore e del denominatore per stimare se può esistere una potenza $w^n$ (con $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 1$) il cui risultato sia un numero reale strettamente positivo. Ti aspetti che il più piccolo $n$ con questa proprietà sia un valore piccolo o un multiplo notevole?
- b) Verifica le tue stime:
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Trasforma il numeratore e il denominatore in forma trigonometrica e ottieni l'espressione esatta di $w$ in forma trigonometrica.
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Applica la formula di De Moivre per determinare in modo esatto il più piccolo intero positivo $n$ tale che $w^n$ sia un numero reale positivo, impostando e risolvendo la condizione sull'argomento.
- c) Per tale valore minimo di $n$, calcola il valore esatto di $w^n$ e del suo inverso $(w^n)^{-1}$ in forma trigonometrica e algebrica, e valuta se il modulo ottenuto conferma la tua congettura iniziale sull'allontanamento dall'origine.
Radici n-esime
L'equazione $x^2=4$ ha due soluzioni reali, $\pm2$. In $\mathbb{C}$ l'equazione $z^n=w$, con $w\ne0$, ha esattamente $n$ soluzioni: sono le radici n-esime di $w$.
Perché? Cerchiamo $z=\rho_\theta$ con $z^n=\sigma_\beta$. Per De Moivre $z^n=(\rho^n)_{n\theta}$. Due numeri complessi sono uguali se hanno lo stesso modulo e argomenti che differiscono per multipli di $360^\circ$. Quindi $\rho^n=\sigma$ e $n\theta=\beta+360^\circ k$. Da qui $\theta=\frac{\beta+360^\circ k}{n}$. Per $k=n$ l'argomento aumenta di una vuota rotazione completa $360^\circ$ e le soluzioni si ripetono, per questo ci si ferma a $k=n-1$.
Se l'equazione ha la forma $(z-z_0)^n=w$, poni $u=z-z_0$: risolvi $u^n=w$ come sopra e poi ricava $z=u+z_0$ per ogni radice.
Calcola le due radici quadrate del numero complesso $16_{120^\circ}$ ed esprimi i risultati in forma trigonometrica.
Calcola le due radici quadrate del numero complesso $16_{120^\circ}$ ed esprimi i risultati in forma trigonometrica.
Risolvi l'equazione $z^3 = -8i$. Trasforma prima il numero $-8i$ in forma trigonometrica prima di calcolare le radici ed esprimi i risultati finali sia in forma…
Risolvi l'equazione $z^3 = -8i$. Trasforma prima il numero $-8i$ in forma trigonometrica prima di calcolare le radici ed esprimi i risultati finali sia in forma trigonometrica sia in forma algebrica.
Risolvi l'equazione $z^4 + 81 = 0$ nell'insieme dei numeri complessi. Esprimi le soluzioni in forma trigonometrica e rappresentale graficamente nel piano complesso (asse…
Risolvi l'equazione $z^4 + 81 = 0$ nell'insieme dei numeri complessi. Esprimi le soluzioni in forma trigonometrica e rappresentale graficamente nel piano complesso (asse reale orizzontale e asse immaginario verticale).
Poligoni regolari e radici dell'unità
Le radici n-esime di $w$ sono i vertici di un poligono regolare di $n$ lati inscritto nella circonferenza di centro l'origine e raggio $\sqrt[n]{|w|}$. Di conseguenza, per trovare l'area o il perimetro basta conoscere il raggio $R$ e il numero di lati. Ad esempio, il lato di un poligono regolare di $n$ lati inscritto in una circonferenza di raggio $R$ è $\ell=2R\operatorname{sen}\frac{180^\circ}{n}$, per il teorema della corda.
Le radici dell'equazione $z^n=1$ si chiamano radici n-esime dell'unità: hanno modulo $1$, argomenti $\frac{360^\circ k}{n}$, e uno dei vertici è sempre $1$.
Un'altra proprietà: la somma delle radici n-esime dell'unità (con $n\ge2$) è $0$, perché il poligono regolare è simmetrico rispetto all'origine e i vettori si compensano. Algebricamente, le radici sono $1,q,q^2,\dots,q^{n-1}$ con $q=1_{360^\circ/n}$, e la somma di una progressione geometrica dà $\dfrac{q^n-1}{q-1}=\dfrac{1-1}{q-1}=0$.
Vuoi chiudere il cerchio della ruota panoramica? Le 12 cabine sono le radici dodicesime di $1$: si passa dall'una alla successiva moltiplicando per $1_{30^\circ}$. Dopo $12$ passaggi si ottiene $(1_{30^\circ})^{12}=1_{360^\circ}=1$: la cabina di partenza. E la somma delle posizioni delle 12 cabine, viste come vettori dal centro, è nulla.
Trova l'area del triangolo i cui vertici sono gli affissi delle radici cubiche del numero complesso $z = 64_{90^\circ}$.
Trova l'area del triangolo i cui vertici sono gli affissi delle radici cubiche del numero complesso $z = 64_{90^\circ}$.
Un sistema di crittografia genera chiavi basate sulle coordinate degli affissi delle soluzioni dell'equazione $z^5 + 32 = 0$. Calcola tutte le soluzioni in forma…
Un sistema di crittografia genera chiavi basate sulle coordinate degli affissi delle soluzioni dell'equazione $z^5 + 32 = 0$. Calcola tutte le soluzioni in forma trigonometrica e determina il perimetro del poligono regolare che formano.
Calcola la somma delle sei radici seste dell'unità ($z^6 = 1$). Giustifica la tua risposta in due modi diversi: algebricamente (utilizzando la somma di una progressione…
Calcola la somma delle sei radici seste dell'unità ($z^6 = 1$). Giustifica la tua risposta in due modi diversi: algebricamente (utilizzando la somma di una progressione geometrica o le proprietà delle radici) e geometricamente (interpretando gli affissi come vettori).
Equazioni con $z$ e $\bar z$
Se in un'equazione compaiono sia $z$ sia $\bar z$, scrivi $z=\rho_\theta$, quindi $\bar z=\rho_{-\theta}$. Poi applica De Moivre a entrambi i membri e uguaglia i moduli e gli argomenti, ricordando che gli argomenti possono differire per multipli di $360^\circ$. Ricorda anche il caso $z=0$.
Determina tutti i numeri complessi $z$ espressi in forma trigonometrica che soddisfano l'equazione $z^3 = (\bar{z})^2$, dove $\bar{z}$ è il coniugato di $z$.
Determina tutti i numeri complessi $z$ espressi in forma trigonometrica che soddisfano l'equazione $z^3 = (\bar{z})^2$, dove $\bar{z}$ è il coniugato di $z$.