Esercizi: Posizioni reciproche

Un satellite di osservazione segue una traiettoria lineare nello spazio definita dalla retta $r: (x, y, z) = (1, 2, 0) + \lambda(2, -1, 3)$. Si vuole verificare se il satellite passerà esattamente per un punto di controllo situato in $P(5, 0, 6)$. Determina se il punto $P$ appartiene alla traiettoria del satellite.

Nella progettazione di un edificio intelligente sono state definite due superfici piane corrispondenti al soffitto e al pavimento di un piano tecnico. Le equazioni dei piani sono $\pi_1: 2x - y + 3z - 5 = 0$ e $\pi_2: 4x - 2y + 6z + 8 = 0$. Analizza la posizione reciproca dei due piani per confermare se sono paralleli.

Un raggio laser si propaga lungo la retta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{3}$ e incide su una lastra di vetro piana di equazione $\pi: x + y + z - 1 = 0$. Determina la posizione reciproca tra il raggio laser e la lastra. Nel caso in cui si intersechino, calcola le coordinate del punto di impatto.

Date le rette $r$ e $s$ espresse mediante le loro equazioni parametriche:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ e $s: \begin{cases} x = \mu \\ y = 1 + \mu \\ z = 2 - \mu \end{cases}$

Studia la posizione reciproca confrontando i loro vettori direttori. Sono parallele o hanno direzioni diverse?

Verifica se la retta $r$, definita come intersezione dei piani $x + y = 2$ e $x - y = 0$, è parallela al piano coordinato $XY$ (il piano $z = 0$). Motiva la risposta basandoti sul vettore direttore della retta.

Un architetto utilizza un software di progettazione per collocare una trave strutturale rappresentata dalla retta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y+1}{-2} = \dfrac{z-4}{4}$. Determina se la trave è perpendicolare al piano della facciata $\pi: 3x - 2y + 4z + 1 = 0$. Giustifica la risposta.

Dati i punti $A(1, 0, -1)$, $B(2, 1, 0)$ e $C(3, 2, 1)$, determina la posizione reciproca della retta passante per $A$ e $B$ rispetto alla retta passante per $B$ e $C$. Si tratta della stessa retta (coincidenti) oppure sono rette incidenti nel punto $B$?

Determina il valore del parametro $k$ affinché i piani $\pi_1: x + ky + z - 2 = 0$ e $\pi_2: 2x - 4y + 2z + 1 = 0$ siano paralleli. Per tale valore di $k$, i piani potrebbero essere coincidenti? Giustifica la risposta osservando i termini noti.

Studia la posizione reciproca delle seguenti rette $r$ e $s$. Nel caso in cui siano incidenti, calcola le coordinate del punto di intersezione:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -2\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$

$s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-4}{-1}$

Considera il piano $\pi: 2x - y + az + 3 = 0$ e la retta $r$ che passa per i punti $A(1, 0, -1)$ e $B(2, 1, 0)$. Determina il valore del parametro $a \in \mathbb{R}$ affinché la retta sia parallela al piano. Per tale valore di $a$, la retta è contenuta nel piano? Giustifica la risposta.

Due droni di sorveglianza aerea seguono traiettorie rettilinee definite dalle rette $r$ e $s$. Il centro di controllo deve sapere se esiste qualche rischio di collisione (se le traiettorie si intersecano). Le equazioni delle traiettorie sono:

$r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{3}$

$s: \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$

Determina la posizione reciproca delle due traiettorie.

Discuti, in funzione del parametro reale $m$, la posizione reciproca dei seguenti tre piani:

$\pi_1: mx + y + z = 1$

$\pi_2: x + my + z = m$

$\pi_3: x + y + mz = m^2$

Determina l'equazione cartesiana del piano che contiene la retta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$ ed è parallelo alla retta $s: \begin{cases} x = t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$. Qual è la posizione reciproca delle rette $r$ e $s$?

Un fascio di piani ha come asse la retta $r: \begin{cases} 3x - y + z = 2 \\ x + 2y - z = 1 \end{cases}$. Trova quale dei piani del fascio passa per il punto $P(1, 1, 1)$. Una volta ottenuto, determina la posizione reciproca di questo piano con l'asse $OY$.

Si proietta un raggio laser dal punto $A(2, 3, 5)$ nella direzione del vettore $\vec{v} = (1, -1, -2)$. Il raggio colpisce una parete metallica rappresentata dal piano $\pi: x + 2y + z = 12$.

1. a) Determina le coordinate del punto di impatto.
2. b) Studia la posizione reciproca della traiettoria del laser e della retta $s: \begin{cases} x = 3 + \mu \\ y = 2 \\ z = 3 - 2\mu \end{cases}$.

Date le rette $r$ e $s$, dimostra che sono sghembe e determina l'equazione del piano che contiene $s$ ed è parallelo a $r$:

$r: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{1}$

$s: \frac{x-1}{-1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}$

In un progetto di design industriale, tre superfici sono definite mediante i seguenti piani nello spazio:

$\pi_1: x + ay + z = a$

$\pi_2: ax + y + (a-1)z = 1$

$\pi_3: x + y + z = 1$

Discuti la posizione reciproca dei tre piani al variare del parametro reale $a$. Nei casi in cui i tre piani si intersecano in una retta (formando un fascio di piani), ottieni l'equazione parametrica di tale retta.

Si considera la traiettoria di un drone rappresentata dalla retta $r$ che passa per il punto $A(1, 2, -1)$ e ha come vettore direttore $\vec{v} = (k, 1, 2)$. Inoltre, un pannello solare è contenuto nel piano $\pi$ definito dai punti $P(1, 0, 1)$, $Q(0, 2, 3)$ e $R(2, 1, 0)$.

Determina il valore del parametro $k$ affinché la traiettoria del drone sia parallela al pannello solare. Per tale valore di $k$, esiste una retta $s$ contenuta nel piano $\pi$ che sia perpendicolare a $r$? Giustifica la risposta basandoti sulla posizione reciproca degli elementi.

Date le rette $r$ e $s$ definite da:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$

$s: \frac{x-4}{2} = \frac{y+1}{m} = z$

1. a) Studia la posizione reciproca di $r$ e $s$ al variare del parametro $m$.
2. b) Per il valore di $m$ per cui le rette si incontrano, trova l'equazione del piano $\pi$ che le contiene.
3. c) Se $m=0$, le rette sono sghembe. Trova l'equazione della retta $t$ che passa per l'origine degli assi e interseca contemporaneamente $r$ e $s$.

Un architetto progetta una struttura in cui tre travi di sostegno devono convergere in un punto. Le facce dei pilastri principali poggiano sui piani:

$\pi_1: x + 2y - z = 3$

$\pi_2: 2x - y + z = 1$

$\pi_3: 5x + ay + bz = 5$

Calcola i valori di $a$ e $b$ in modo che:

1. a) I tre piani si intersechino in un'unica retta (la trave di sostegno comune).
2. b) I tre piani non abbiano alcun punto in comune e si intersechino a due a due (formando un prisma infinito). Spiega quale relazione devono soddisfare i ranghi della matrice dei coefficienti e della matrice completa in questo caso.

Sia la retta $r$ definita dall'intersezione dei piani $\sigma_1: x + y = 2$ e $\sigma_2: x - z = 1$. Consideriamo anche il piano $\pi: 2x + y - z = k$.

1. a) Determina il valore di $k$ affinché la retta $r$ sia contenuta nel piano $\pi$.
2. b) Per un valore di $k$ diverso da quello trovato nel punto precedente, la retta $r$ e il piano $\pi$ sono paralleli. In questa situazione, calcola l'equazione di una nuova retta $s$ che sia la proiezione ortogonale di $r$ sul piano $\pi$.
3. c) Studia la posizione reciproca di questa nuova retta $s$ con l'asse $OY$.

Sono date le rette $r$ e $s$ di equazioni:

$r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$

$s: \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + z = 1 \end{cases}$

1. a) Dimostra analiticamente che le rette $r$ e $s$ sono sghembe.
2. b) Trova l'equazione della perpendicolare comune a entrambe le rette.
3. c) Determina la posizione reciproca di questa perpendicolare comune con il piano coordinato $XZ$.

Consideriamo una famiglia di piani che dipendono da un parametro $\alpha \in \mathbb{R}$:

$\pi_\alpha: \alpha x + y + z = \alpha$

E la retta $r$ che passa per i punti $M(1, 1, 1)$ e $N(2, 3, 0)$.

1. a) Studia la posizione reciproca della retta $r$ e del piano $\pi_\alpha$ al variare di $\alpha$.
2. b) Esiste qualche valore di $\alpha$ per cui il piano $\pi_\alpha$ contenga la retta $r$?
3. c) Per $\alpha = 0$, trova il punto simmetrico di $M$ rispetto al piano $\pi_0$ e verifica se la retta che unisce $M$ con il suo simmetrico è incidente, parallela o coincidente con la retta $r$.

In un sistema di coordinate stellari, vengono rilevati due segnali radio lineari:

$L_1: (x, y, z) = (1, 0, 2) + \lambda(1, -1, 1)$

$L_2: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-m}{2}$

1. a) Determina il valore di $m$ affinché le traiettorie dei segnali siano incidenti.
2. b) Per il valore di $m$ trovato, calcola il punto di impatto $I$.
3. c) Considera un satellite situato nel piano $\pi: x + y + z = 10$. Determina la posizione reciproca della retta $L_1$ rispetto a questo piano e calcola, se esiste, la distanza minima tra il segnale $L_1$ e il satellite (rappresentato dal piano).