Probabilità totale e teorema di Bayes

Secondo i rapporti sulla mobilità dei viaggiatori su una tratta ferroviaria italiana, il $50\,\%$ degli utenti viaggia sui servizi di Alta Velocità (Frecciarossa/Italo), il $30\,\%$ sui regionali veloci e il restante $20\,\%$ sui treni regionali. I registri di puntualità indicano che la probabilità di subire un ritardo superiore a $15$ minuti è del $2\,\%$ in Alta Velocità, del $6\,\%$ sui regionali veloci e del $10\,\%$ sui regionali.

1. a) Giustifica che i tipi di treno formano un sistema completo di eventi e definisci con chiarezza gli eventi coinvolti.
2. b) Calcola la probabilità che un viaggiatore scelto a caso su quella tratta arrivi a destinazione con più di $15$ minuti di ritardo.
3. c) Se un viaggiatore scelto a caso ha subito un ritardo superiore a $15$ minuti, calcola la probabilità che il suo viaggio sia stato in Alta Velocità. Commenta il risultato: perché questa probabilità è relativamente bassa nonostante la metà dei biglietti venduti corrisponda a tale servizio?

In un liceo, gli studenti dell'ultimo anno possono scegliere tra due piattaforme per svolgere i propri lavori nel cloud: il $65\%$ utilizza Google Workspace e il resto utilizza Microsoft 365. Si sa che il $20\%$ degli utenti di Google utilizza strumenti di intelligenza artificiale per redigere bozze, mentre in Microsoft lo fa il $15\%$.

Calcola la probabilità che uno studente scelto a caso utilizzi l'intelligenza artificiale per le sue bozze.

Un servizio di corriere utilizza tre percorsi per consegnare pacchi in una città: Percorso Nord ($50\%$), Percorso Sud ($30\%$) e Percorso Centro ($20\%$). I ritardi nella consegna si verificano il $2\%$ delle volte sul percorso Nord, il $4\%$ sul Sud e il $10\%$ sul percorso Centro.

Determina la percentuale totale di pacchi consegnati in ritardo in questa città.

In un centro di alto rendimento per gli e-sport, i giocatori si allenano su tre piattaforme diverse: PC, console e dispositivi mobili. Il $50\ \%$ dei giocatori usa il PC, il $30\ \%$ usa la console e i restanti i dispositivi mobili. Si è osservato che il rendimento cala per affaticamento visivo nel $8\ \%$ dei giocatori su PC, nel $5\ \%$ di quelli su console e nel $12\ \%$ di quelli che usano dispositivi mobili.

1. a) Calcola la probabilità che un giocatore scelto a caso presenti affaticamento visivo.

1. b) Se scegliamo un giocatore e vediamo che soffre di affaticamento visivo, qual è la probabilità che si alleni abitualmente con un dispositivo mobile?

Una catena di supermercati vende yogurt di due fornitori diversi. Il $40\%$ proviene dal Fornitore A e il $60\%$ dal Fornitore B. Il controllo di qualità indica che il $5\%$ degli yogurt del Fornitore A presenta difetti di confezionamento, mentre per il Fornitore B questo difetto compare solo nel $2\%$ dei casi.

Se compriamo uno yogurt e verifichiamo che ha un difetto di confezionamento, qual è la probabilità che provenga dal Fornitore A?

Un servizio di streaming musicale classifica i suoi utenti in tre categorie: «Free» (con pubblicità), «Premium» e «Family». Il $60\ \%$ sono utenti Free, il $30\ \%$ Premium e il $10\ \%$ Family. Si sa che il $80\ \%$ degli utenti Free ascolta più di 2 ore al giorno, mentre questa percentuale è del $90\ \%$ per i Premium e del $95\ \%$ per i Family.

1. a) Scelto un utente a caso, qual è la probabilità che ascolti musica 2 ore o meno al giorno?

1. b) Se scegliamo un utente che ascolta più di 2 ore al giorno di musica, qual è la probabilità che appartenga alla modalità «Premium»?

Un'azienda di cybersicurezza utilizza tre sistemi di intelligenza artificiale ($S_1$, $S_2$ e $S_3$) per rilevare tentativi di accesso non autorizzato in una rete aziendale. Il sistema $S_1$ gestisce il $45 \%$ degli allarmi, il $S_2$ il $35 \%$ e il $S_3$ il resto.

Da verifiche precedenti si sa che, tra gli allarmi emessi da ciascun sistema, sono falsi allarmi (un accesso legittimo viene segnalato come attacco) il $2 \%$ di quelli di $S_1$, il $5 \%$ di quelli di $S_2$ e il $8 \%$ di quelli di $S_3$. Gli altri allarmi di ciascun sistema corrispondono ad attacchi reali. D'altra parte, la probabilità che un sistema ignori un attacco reale (falso negativo) è del $1 \%$ in tutti i casi; è un dato che non ti servirà per questo problema.

A un certo momento, sul pannello di controllo scatta un allarme che segnala un attacco.

1. a) Rappresenta la situazione mediante un diagramma ad albero indicando le probabilità di ogni ramo.

1. b) Calcola la probabilità che l'allarme emesso sia realmente un falso allarme.

1. c) Se si conferma che l'allarme era un falso allarme, qual è la probabilità che sia stato generato dal sistema $S_3$?

In un torneo di eSport, un giocatore arriva in finale. Può scegliere tra due strategie: Offensiva (la sceglie il $70\%$ delle volte) o Difensiva (il $30\%$). Se gioca in modo offensivo, vince la partita con probabilità $0,6$, mentre se gioca in modo difensivo la sua probabilità di vittoria è $0,4$.

Sapendo che il giocatore ha vinto la partita, calcola la probabilità che abbia usato una strategia difensiva.

Uno studio sulla mobilità sostenibile in una città indica che il $45\ \%$ degli spostamenti avviene con i mezzi pubblici, il $35\ \%$ in bicicletta o monopattino elettrico e il $20\ \%$ in auto privata. Si stima che la probabilità di arrivare in ritardo al lavoro sia 0,15 se si usano i mezzi pubblici, 0,05 se si usa la bicicletta/monopattino e 0,30 se si usa l'auto privata (a causa del traffico).

1. a) Calcola la probabilità che un cittadino scelto a caso arrivi puntuale al lavoro.

1. b) Se sappiamo che un lavoratore è arrivato in ritardo, qual è la probabilità che abbia viaggiato con la propria auto privata?

In un centro sportivo di alto rendimento, gli atleti si sottopongono a un controllo antidoping. Il $1 \%$ degli atleti assume una sostanza proibita. Il test utilizzato ha un'affidabilità del $98 \%$ (probabilità di risultare positivo se si è assunta la sostanza). Tuttavia, il test produce anche un $3 \%$ di «falsi positivi» (risultare positivo in atleti che non hanno assunto nulla).

1. a) Se un atleta risulta positivo al controllo, qual è la probabilità che abbia realmente assunto la sostanza?
2. b) Il comitato decide di effettuare un secondo test indipendente sullo stesso atleta se il primo è positivo. Se anche questo secondo test (con la stessa affidabilità) risulta positivo, qual è ora la probabilità che l'atleta sia colpevole? Giustifica se la fiducia nel verdetto è aumentata in modo significativo.

Un laboratorio farmaceutico sviluppa un test rapido per rilevare una carenza vitaminica che riguarda il $5\ \%$ della popolazione giovane. Le sperimentazioni cliniche mostrano che il test risulta positivo nel $96\ \%$ delle persone che hanno realmente la carenza. Tuttavia, dà anche un «falso positivo» nel $2\ \%$ delle persone sane.

1. a) Quale percentuale della popolazione totale risulterà positiva al test?

1. b) Se un giovane si sottopone al test e il risultato è positivo, qual è la probabilità reale che soffra di tale carenza vitaminica? Commenta se il risultato ti sembra alto o basso in relazione all'affidabilità del test.

In una campagna preventiva sulla sicurezza stradale della Polizia Stradale sulle strade extraurbane, si stima che il $1\,\%$ dei conducenti guidi dopo aver assunto sostanze non consentite ($S$). Il test salivare indicativo impiegato nei controlli ha una sensibilità del $98\,\%$ (se un conducente ha assunto sostanze, risulta positivo con probabilità $0{,}98$), ma presenta un tasso di falsi positivi del $4\,\%$ (nei conducenti che non hanno assunto sostanze, il test risulta positivo per errore con probabilità $0{,}04$).

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo numerico: se un conducente risulta positivo al controllo, stima in modo intuitivo e spiega brevemente se la probabilità che abbia realmente assunto sostanze sarà più vicina al $90\,\%$, al $50\,\%$ o inferiore al $25\,\%$.
2. b) Applica il teorema di Bayes per calcolare con rigore $P(S | \text{Positivo})$.
3. c) Confronta il valore ottenuto con la tua stima del punto a). Spiega quale fenomeno probabilistico determina questo risultato e perché la normativa richiede di inviare un secondo campione a un laboratorio tossicologico prima di avviare la sanzione.

In un programma di sanità pubblica del Servizio Sanitario Nazionale (SSN) per la diagnosi precoce del tumore del colon-retto nelle persone tra $50$ e $69$ anni, la prevalenza della patologia in questo gruppo demografico è del $0{,}5\,\%$. Il test del sangue occulto fecale utilizzato ha una sensibilità del $80\,\%$ (risulta positivo nel $80\,\%$ delle persone malate) e un tasso di falsi positivi del $3\,\%$ (risulta positivo nel $3\,\%$ delle persone sane). Un paziente risulta positivo allo screening e si vuole calcolare la probabilità che sia realmente affetto dalla malattia, $P(E | +)$.

1. a) Metodo 1 (algebra degli eventi): imposta formalmente il sistema completo di eventi, le probabilità a priori, le verosimiglianze e risolvi $P(E | +)$ applicando il teorema della probabilità totale e il teorema di Bayes.
2. b) Metodo 2 (frequenze naturali): modella la situazione a partire da una coorte ipotetica di $100.000$ persone. Costruisci una tabella di contingenza $2 \times 2$ con le quantità intere di individui sani/malati e positivi/negativi, e deduci direttamente da essa il valore di $P(E | +)$.
3. c) Valutazione critica: confronta i due metodi e giustifica con argomentazioni perché diverse ricerche di psicologia cognitiva e didattica della matematica sostengono che il Metodo 2 risulta molto più trasparente e riduce il bias cognitivo diagnostico rispetto alla formulazione algebrica astratta del Metodo 1.