Inversa di una matrice mediante i determinanti

In un videogioco di strategia, le coordinate di trasformazione di un'unità sono gestite mediante la matrice $B$:

$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

Trova la matrice aggiunta, $Adj(B)$, e verifica se la matrice $B$ ammette matrice inversa calcolando prima il suo determinante.

Calcola la matrice inversa $A^{-1}$ della seguente matrice utilizzando il metodo dei determinanti:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

Ricorda che la formula è $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$.

Un ingegnere sta progettando un sistema di controllo automatico. Affinché il sistema sia stabile, la matrice dei coefficienti $M$ non deve essere singolare (il suo determinante deve essere diverso da zero). Data la matrice:

$M = \begin{pmatrix} m & 4 \\ 1 & m \end{pmatrix}$

Determina per quali valori del parametro reale $m$ la matrice $M$ è singolare e, quindi, il sistema non avrebbe inversa.

Data la matrice $A$ dipendente dal parametro reale $k$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & k & 3 \\ 4 & 1 & -k \end{pmatrix}$$

1. a) Determina, motivando, per quali valori di $k$ la matrice $A$ non ha matrice inversa.
2. b) Per il caso $k = 0$, calcola la matrice inversa $A^{-1}$ utilizzando il metodo dei complementi algebrici.

Considera la matrice $A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$.

1. a) Trova il polinomio $P(x) = |A|$.
2. b) Determina i valori di $x$ per i quali $A$ non ha inversa.
3. c) Per i valori di $x$ per cui $A$ è invertibile, trova l'espressione di $A^{-1}$ in funzione di $x$.
4. d) Verifica che per $x=0$ vale $A^{-1} = \frac{1}{2}(A^2 - 3I)$.

Si sa che il determinante di una matrice quadrata $X$ di ordine 3 è $|X| = -4$. Senza calcolare gli elementi delle matrici, ottieni il valore dei seguenti determinanti:

• a) $|X^{-1}|$

• b) $|X^2|$

• c) $|X \cdot X^t|$

Siano $A$ e $B$ due matrici quadrate di ordine 3 tali che $|A| = 2$ e $|B| = -3$. Utilizzando le proprietà dei determinanti, calcola il valore dei seguenti determinanti:

1. a) $|A^t \cdot B|$
2. b) $|(2A)^{-1}|$
3. c) $|A \cdot B^{-1} \cdot A^2|$
4. d) $|B \cdot adj(B)|$ (Ricorda la relazione tra una matrice, la sua aggiunta e il suo determinante).

Una delle applicazioni più interessanti dei determinanti in geometria è il calcolo delle aree. L'area di un triangolo i cui vertici sono $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ e $(x_3, y_3)$ è data dalla formula:

$Area = \frac{1}{2} \cdot | \det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} |$

Calcola l'area del triangolo rappresentato nel seguente grafico, i cui vertici sono $P(1, 1)$, $Q(5, 2)$ e $R(2, 4)$.

Risolvi l'equazione matriciale $A \cdot X = B$, dove:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$

Per farlo, calcola prima l'inversa di $A$ mediante i determinanti e ricava la matrice $X$.

Risolvi la seguente equazione matriciale $X \cdot A + B = C$, dove:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Giustifica prima perché è possibile trovare la matrice inversa di $A$ e ricava l'incognita $X$ prima di eseguire i calcoli numerici.

Si sa che una matrice quadrata $A$ verifica la seguente uguaglianza: $A^2 - 5A + 6I = O$, dove $I$ è la matrice identità e $O$ è la matrice nulla.

1. a) Dimostra, motivando, che la matrice $A$ è invertibile.
2. b) Esprimi la matrice inversa $A^{-1}$ come combinazione lineare delle matrici $A$ e $I$.
3. c) Se $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, verifica che soddisfa l'equazione iniziale e trova la sua inversa utilizzando il risultato del punto (b).

Considera la matrice $M = \begin{pmatrix} a & 0 & 2 \\ a & a & 1 \\ 0 & a & -1 \end{pmatrix}$.

1. a) Calcola $|M|$ in funzione di $a$.
2. b) Determina il rango della matrice $M$ al variare di $a$.
3. c) Per $a = 1$, risolvi l'equazione matriciale $M \cdot X = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.