Calcolo dei determinanti

Un giovane streamer sta analizzando la crescita del suo canale. Per confrontare l'impatto di due suoi video, organizza i dati di "Like" e "Condivisioni" in una matrice $A$ di ordine $2 \times 2$: ogni riga corrisponde a un video e ogni colonna a un tipo di dato. Calcola il determinante della matrice $A$ per ottenere un indice di risonanza:

$$A = \begin{pmatrix} 120 & 45 \\ 30 & 10 \end{pmatrix}$$

Calcola il valore del determinante della matrice $B$ utilizzando la regola di Sarrus. Questa matrice rappresenta l'inventario dei componenti (chip, schermi e batterie) di tre magazzini di un negozio di tecnologia:

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$

Un'azienda di logistica utilizza una matrice triangolare superiore per organizzare in modo efficiente i suoi percorsi di consegna. Calcola il determinante della matrice $L$ sapendo che per questo tipo di matrici il calcolo si semplifica enormemente:

$$L = \begin{pmatrix} 5 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Risolvi l'equazione matriciale $|X| = 0$, dove $X = A - \lambda I$, essendo $A$ la matrice data e $I$ la matrice identità di ordine 3. Trova i valori di $\lambda$ che annullano il determinante (autovalori):

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Data la matrice $M$, calcola il suo minore complementare $\alpha_{21}$ e il suo complemento algebrico $A_{21}$:

$$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Matteo deve calcolare il determinante della matrice $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$. Per risparmiare tempo, osserva che la seconda riga ha due zeri e decide di sviluppare secondo Laplace lungo tale riga. Il suo sviluppo scritto è:

$$|A| = 4 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 \cdot (6 - 5) = 4$$

Convinto del suo metodo, nell'esercizio successivo applica esattamente la stessa regola per calcolare il determinante della matrice $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & 5 & 0 \end{pmatrix}$, sviluppando secondo la terza riga:

$$|B| = 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 5 \cdot (-1 - 8) = 5 \cdot (-9) = -45$$

Nel correggerlo, la sua professoressa gli indica che il valore ottenuto per $|A|$ era casualmente corretto per la posizione dell'elemento, ma che in $|B|$ ha commesso un importante errore concettuale.

a) Individua l'errore concettuale commesso da Matteo nel calcolare $|B|$, spiegando con la definizione di complemento algebrico ($A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \alpha_{ij}$) quale elemento ha omesso.

b) Giustifica perché nella matrice $A$ il suo procedimento non ha alterato il risultato numerico finale.

c) Correggi il calcolo di $|B|$ e indica il suo valore reale.

Per calcolare il determinante della matrice di ordine $4 \times 4$:

$$M = \begin{pmatrix} 4 & 7 & -2 & 5 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 5 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$

si propongono due strade diverse:

• Strategia 1: Eseguire operazioni elementari tra le righe con il metodo di Gauss fino a ottenere una matrice triangolare superiore e moltiplicare gli elementi della diagonale principale.

• Strategia 2: Applicare lo sviluppo di Laplace secondo i complementi algebrici della seconda riga, riducendo il calcolo direttamente a un determinante di ordine 3.

a) Confronta le due strategie e spiega quale sia notevolmente più rapida ed efficiente per questa matrice in particolare, in base al numero di zeri che contiene.

b) Seguendo la strategia che hai scelto come preferibile, calcola con ragionamento il determinante di $M$ mostrando in dettaglio i calcoli intermedi.

Calcola il valore del seguente determinante di ordine 4 sviluppando secondo gli elementi della riga o della colonna che ritieni più adatta (metodo di Laplace):

$$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 5 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

Senza eseguire calcoli complessi, giustifica perché i seguenti determinanti valgono $0$ utilizzando le proprietà dei determinanti:

1. a) $D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 4 \end{vmatrix}$

1. b) $D_2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 4 \\ 10 & 20 & 30 \end{vmatrix}$

1. c) $D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \end{vmatrix}$

Data la matrice quadrata $A$ di ordine 3, si sa che il suo determinante è $|A| = -2$. Utilizza le proprietà dei determinanti per calcolare in modo argomentato il valore di:

a) $|A^3|$

b) $|3 \cdot A^t|$

c) $|A^{-1} \cdot (2A)|$

d) Il determinante della matrice risultante dallo scambio delle prime due righe di $A$ e dalla moltiplicazione della terza riga per $-5$.

Siano $C_1, C_2, C_3$ le tre colonne di una matrice quadrata $M$ di ordine 3, tali che il suo determinante è $|M| = -5$. Calcola, giustificando ogni passaggio con la proprietà corrispondente, il valore del determinante della matrice le cui colonne sono:

$$| 3C_1 - C_2, \quad 2C_3, \quad C_2 + C_1 |$$

Calcola il valore del determinante della matrice $M$ di ordine 4 trasformandola prima in una matrice triangolare superiore mediante il metodo di Gauss (facendo comparire zeri sotto la diagonale principale):

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Un sistema di posizionamento GPS utilizza quattro satelliti per triangolare una posizione nello spazio. Il volume del tetraedro formato dai quattro satelliti è legato al valore assoluto del determinante della matrice delle loro coordinate. Calcola in modo argomentato il valore del seguente determinante di ordine 4, che rappresenta una configurazione specifica di questi satelliti:

$$\Delta = \begin{vmatrix} a+1 & a & a & a \\ a & a+1 & a & a \\ a & a & a+1 & a \\ a & a & a & a+1 \end{vmatrix}$$

Esprimi il risultato come polinomio in $a$ semplificato al massimo.

Considera la matrice simmetrica di ordine $4 \times 4$:

$$C = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$$

a) Stima: Se tutti gli elementi fuori dalla diagonale principale fossero zeri, la matrice risultante sarebbe diagonale e il suo determinante varrebbe $4^4 = 256$. Ragiona concettualmente se ti aspetti che il determinante reale $|C|$ sia maggiore o minore di $256$, considerando che la presenza di valori positivi fuori dalla diagonale rende le righe «più dipendenti» tra loro.

b) Calcola: Per triangolarizzare la matrice senza introdurre frazioni:

1. Sostituisci la prima riga con la somma delle quattro righe ($F_1 \to F_1 + F_2 + F_3 + F_4$) ed estrai dal determinante il fattore comune che ne risulta.

2. Nella matrice che ne risulta, sottrai la prima riga da ciascuna delle altre ($F_i \to F_i - F_1$ per $i = 2, 3, 4$) per ottenere una matrice triangolare superiore.

3. Ottieni il valore numerico esatto di $|C|$ moltiplicando gli elementi della diagonale.

c) Verifica e generalizza: Confronta il valore esatto con la tua stima iniziale. Poi generalizza il ragionamento per dedurre una formula chiusa per il determinante di una matrice di ordine $n \times n$ che abbia il valore $k$ su tutta la diagonale principale e il valore $1$ in tutte le restanti posizioni.

Determina per quali valori del parametro reale $k$ la matrice $A$ non ha inversa. Per farlo, poni il suo determinante uguale a zero e risolvi l'equazione risultante:

$$A = \begin{pmatrix} k & 1 & 2 \\ 2 & k+1 & 0 \\ 1 & k & 1 \end{pmatrix}$$

Risolvi la seguente equazione di terzo grado utilizzando le proprietà dei determinanti per scomporre in fattori il polinomio risultante:

$$\begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 2 & x & 3 \\ 2 & 3 & x \end{vmatrix} = 0$$

Indica passo dopo passo le operazioni elementari eseguite sulle righe o sulle colonne.

In una rete di telecomunicazioni, la capacità di flusso è modellata mediante il determinante della matrice di adiacenza $W$. Si definisce $W$ come:

$$W = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}$$

1. a) Dimostra, senza sviluppare il determinante con la regola di Sarrus, che $W = (b-a)(c-a)(c-b)$.
2. b) Se i nodi $a, b, c$ rappresentano frequenze di trasmissione, quale condizione devono soddisfare affinché il determinante sia diverso da zero? Giustifica l'importanza di questa condizione per l'indipendenza dei segnali.

In un programma di grafica, l'area di un triangolo con un vertice nell'origine $(0,0)$ e gli altri due in $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ si può calcolare come la metà del valore assoluto del determinante formato dalle loro coordinate. Calcola l'area del triangolo formato dai punti $(0,0)$, $(4, 2)$ e $(1, 5)$.

Un gruppo tecnico di un'azienda pubblica sta elaborando una relazione per il Catasto su un appezzamento di uliveto in provincia di Foggia. Nella mappa topografica ufficiale, i confini del terreno determinano un triangolo i cui tre vertici hanno coordinate $A(1, 1)$, $B(7, 3)$ e $C(3, 8)$ (misurate in ettometri, $\text{hm}$).

In cartografia, l'area di una regione triangolare piana di vertici $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ e $(x_3, y_3)$ si calcola mediante l'espressione:

$$\text{Area} = \frac{1}{2} \cdot |\det(M)|, \quad \text{dove } M = \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix}$$

a) Per calcolare $|M|$ in modo efficiente senza ricorrere alla regola di Sarrus, applica operazioni elementari tra le righe ($F_2 \to F_2 - F_1$ e $F_3 \to F_3 - F_1$) per ottenere due zeri nella terza colonna, e sviluppa poi secondo i complementi algebrici di tale colonna.

b) Calcola l'area risultante dell'appezzamento e interpreta il risultato esprimendolo in ettari ($1\text{ hm}^2 = 1\text{ ha}$).

c) Il proprietario confinante sostiene che una casetta per l'irrigazione situata nelle coordinate $D(5, 2)$ si trovi esattamente allineata sul confine rettilineo che unisce $A$ e $B$. Imposta il determinante corrispondente per verificare l'allineamento e concludi con ragionamento se l'affermazione è vera o falsa senza disegnare i punti.