Interpretazioni della probabilità

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false, giustificando la tua risposta:

1. a) «Sono $20$ lanci di fila che non esce un $5$ con questo dado regolare. Secondo la legge dei grandi numeri, al prossimo lancio è molto probabile che esca finalmente un $5$.»
2. b) «Anche se negli ultimi $20$ lanci non è uscito nessun $5$, la probabilità che esca al successivo è ancora $\frac{1}{6}$: il caso non ha memoria.»

A tre studenti di quinto liceo vengono assegnate tre situazioni diverse per determinare la probabilità di un evento:

• Situazione 1 (Irene): Calcolare la probabilità che, estraendo due carte a caso da un mazzo di 40 carte, siano entrambe di coppe.

• Situazione 2 (Davide): Determinare la probabilità che una puntina da disegno, lanciata su un tavolo piano, resti appoggiata con la punta verso l'alto.

• Situazione 3 (Marina): Stimare la probabilità che un'azienda automobilistica italiana fallisca durante il prossimo anno fiscale.

1. a) Per ciascuna situazione, scegli motivando quale delle tre interpretazioni della probabilità (classica, frequentista o soggettiva) è adeguata.
2. b) Spiega perché nella Situazione 2 è un grave errore applicare la definizione classica di probabilità sostenendo che «ci sono solo due possibilità: punta in alto o punta in basso, quindi la probabilità è $1/2$». Quale procedimento empirico dovrebbe seguire Davide per ottenere una stima affidabile?
3. c) Nella Situazione 3, due analisti finanziari assegnano probabilità diverse ($0,05$ e $0,12$). Significa necessariamente che uno dei due ha commesso un errore di calcolo? Quale condizione matematica imprescindibile deve soddisfare l'assegnazione di ciascun analista per essere coerente?

Si lancia una puntina da disegno $400$ volte e cade con la punta rivolta verso l'alto in $260$ occasioni.

1. a) Stima la probabilità che la puntina cada con la punta rivolta verso l'alto.
2. b) Spiega perché in questo esperimento non si può applicare la definizione classica di probabilità.
3. c) Quale interpretazione della probabilità hai usato nel punto a)?

Con il computer è stato simulato il lancio ripetuto di una moneta e si è annotata la frequenza relativa di TESTA dopo $10$, $100$, $1.000$ e $10.000$ lanci, come mostra il grafico.

1. a) Verso quale valore sembra stabilizzarsi la frequenza relativa? Quale probabilità stimeresti per TESTA?
2. b) Quale legge giustifica questo comportamento? Enunciala con parole tue.
3. c) Spiega perché la stima con $10$ lanci è poco affidabile anche se l'esperimento è corretto.

Il comune di una città vuole stimare la proporzione di cittadini che fanno la raccolta differenziata ogni giorno. Un sondaggio su $2.000$ persone scelte a caso dà $1.340$ che affermano di farla ogni giorno.

1. a) Stima la probabilità che un cittadino scelto a caso faccia la raccolta differenziata ogni giorno e indica quale interpretazione della probabilità stai usando.
2. b) Un altro istituto ripete il sondaggio con solo $50$ persone e ottiene $31$ che la fanno ($0,62$). Quale delle due stime è più affidabile? Quale risultato teorico lo giustifica?
3. c) Scrivi una conclusione corretta sulla proporzione di cittadini che fanno la raccolta differenziata, citando il ruolo della dimensione del campione.

Dopo aver simulato $10.000$ lanci di una moneta con il computer, la frequenza relativa di TESTA è risultata $0,5003$. Due studenti commentano il risultato:

• Studente A: «La moneta è truccata, perché se fosse equa la frequenza relativa sarebbe esattamente $0,5$.»

• Studente B: «La probabilità esatta di TESTA con questa moneta è $0,5003$.»

1. a) Analizza l'errore di ciascuno dei due ragionamenti.
2. b) Scrivi una conclusione corretta su ciò che l'esperimento permette di affermare riguardo alla moneta.

Durante un laboratorio di probabilità in classe di Matematica, Sergio lancia una moneta equilibrata 8 volte consecutive e ottiene la seguente sequenza: T-T-T-T-T-T-T-T (otto teste di fila). Sergio afferma entusiasta:

«Al nono lancio, la probabilità che esca croce è molto maggiore di $0,5$, perché la legge dei grandi numeri esige che la frequenza di teste e croci si equilibri a breve termine, quindi la moneta deve compensare la serie».

1. a) Identifica e nomina la fallacia o l'errore di ragionamento in cui incorre Sergio.
2. b) Spiega formalmente perché la probabilità di ottenere croce al nono lancio è ancora esattamente $0,5$, basandoti sulla definizione di eventi indipendenti.
3. c) Chiarisci che cosa afferma realmente la legge dei grandi numeri: le serie passate si «compensano» nei lanci successivi o si «diluiscono» man mano che il numero totale di lanci aumenta? Giustifica la tua risposta con un ragionamento chiaro.

L'app del meteo annuncia: «domani, $70\ \%$ di probabilità di pioggia».

1. a) Spiega che cosa significa questa affermazione: si tratta di una probabilità classica, frequentista o soggettiva? Su quali dati pensi che si basi?
2. b) Tre amici assegnano probabilità alla partita di sabato. Il primo dice: «vince la mia squadra con probabilità $0,5$, pareggia con $0,3$ e perde con $0,3$». Il secondo dice: «vince con $0,6$, pareggia con $0,3$ e perde con $0,1$». Sono coerenti entrambe le assegnazioni? Perché?
3. c) Può essere «sbagliata» una probabilità soggettiva anche se è coerente? Commenta brevemente.

Tre persone parlano della probabilità che l'autobus delle 8:00 arrivi in ritardo:

• Persona 1: «Negli ultimi $200$ giorni di scuola è arrivato in ritardo $24$, quindi la probabilità è $0,12$.»

• Persona 2: «L'autobus arriva puntuale o in ritardo: due casi possibili, quindi la probabilità di arrivare in ritardo è $\frac{1}{2}$.»

• Persona 3: «Direi che c'è una probabilità del $40\ \%$ che arrivi in ritardo; è quello che mi sembra in base alla mia esperienza.»

1. a) Identifica a quale interpretazione della probabilità (frequentista, classica o di Laplace, e soggettiva) corrisponde ciascuna affermazione.
2. b) Il ragionamento di una delle persone è errato. Di quale si tratta e perché?
3. c) Quali dati raccoglieresti per migliorare ciascuna delle tre stime?

In un baraccone da luna park si gioca a «il disco della fortuna»: si lascia cadere un disco di $2\ \text{cm}$ di diametro su una griglia di quadrati di $5\ \text{cm}$ di lato, come mostra la figura, e si vince se il disco cade senza toccare nessuna riga.

1. a) Calcola la probabilità teorica di vincere. (Suggerimento: la posizione del disco è determinata dal suo centro; ragiona su in quale regione di ogni quadrato deve cadere il centro.)
2. b) Un giocatore lancia il disco $300$ volte e vince $114$. Calcola la frequenza relativa di vincita e confrontala con la probabilità teorica.
3. c) Il risultato sperimentale contraddice la probabilità teorica? Motiva la tua risposta.

Si lancia una freccetta contro un bersaglio circolare formato da tre cerchi concentrici di raggi $r$, $2r$ e $3r$. Supponendo che la freccetta colpisca sempre il bersaglio e che la probabilità di colpire una regione sia direttamente proporzionale alla sua area, calcola la probabilità che la freccetta colpisca la corona circolare intermedia (la regione compresa tra il cerchio di raggio $r$ e quello di raggio $2r$).

Alla sagra patronale di un comune si progetta un baraccone con un bersaglio quadrato di $60\text{ cm} \times 60\text{ cm}$. All'interno del bersaglio verrà dipinta una fascia circolare (un anello concentrico con il centro del quadrato) compresa tra due raggi $r_1$ e $r_2$, con $0 < r_1 < r_2 \le 30\text{ cm}$. Si assume che l'impatto di ogni freccetta sia completamente casuale e si modellizza con una distribuzione uniforme su tutta la superficie del quadrato.

1. a) Se il raggio interno è fissato a $r_1 = 10\text{ cm}$, determina in modo inverso il valore esatto del raggio esterno $r_2$ affinché la probabilità geometrica che una freccetta cada nella fascia con premio sia esattamente uguale a $0,20$.
2. b) Immagina che l'organizzazione decida di cambiare il progetto e di dipingere soltanto un cerchio centrale pieno di raggio $R$. Se l'organizzatore afferma: «Per triplicare la probabilità di colpire il cerchio, basta triplicare il suo raggio $R$», stabilisci algebricamente se la sua affermazione è vera o falsa e calcola per quale fattore esatto bisognerebbe moltiplicare il raggio $R$ per triplicare la probabilità.

In un viale di Bologna, un semaforo pedonale funziona con un ciclo periodico di 100 secondi suddivisi in tre fasi continue: 60 secondi di rosso, 5 secondi di giallo lampeggiante (avviso di fine passaggio) e 35 secondi di verde. Un pedone arriva al semaforo in un istante $t$ completamente casuale e uniforme all'interno del ciclo.

1. a) Prima di calcolare, fai una stima motivata: credi che la probabilità che il pedone debba aspettare più di 30 secondi prima che il semaforo diventi verde sia maggiore, minore o uguale a $50\,\%$? Giustifica qualitativamente la tua previsione basandoti sulla durata delle fasi.
2. b) Modella matematicamente il problema mediante la probabilità geometrica sull'intervallo $[0, 100]$ e calcola la probabilità esatta che il pedone debba aspettare più di 30 secondi fino all'inizio della fase verde.
3. c) Verifica se il risultato ottenuto conferma la tua stima iniziale. Quindi confuta il seguente commento di un passante: «Poiché arrivando al semaforo ci sono per me solo due stati possibili (aspettare o non aspettare), la probabilità di aspettare è $1/2$ per la definizione classica di probabilità».

Due camion di consegna, $A$ e $B$, arrivano a una banchina di carico in modo indipendente e casuale tra le 12:00 e le 13:00. Il camion $A$ impiega 15 minuti per scaricare, mentre il camion $B$ ne impiega 10. Se un camion arriva e la banchina è occupata, deve aspettare. Utilizzando la probabilità geometrica (rappresentando il tempo di arrivo di $A$ sull'asse X e quello di $B$ sull'asse Y), calcola la probabilità che nessuno dei due camion debba aspettare l'altro.

Due ricercatrici, Alba e Beatrice, si sono date appuntamento nel laboratorio del Parco Tecnologico di Napoli tra le 10:00 e le 11:00 del mattino. Ciascuna arriverà in modo indipendente e a caso in un istante qualsiasi di quell'ora, con distribuzione uniforme. Alba aspetterà Beatrice al massimo 10 minuti, mentre Beatrice aspetterà Alba al massimo $k$ minuti (dove $0 < k \le 60$). Trascorso il rispettivo tempo di attesa, chi è arrivata se ne andrà.

Uno studente cerca di risolvere il problema per il caso $k = 10\text{ minuti}$ e ragiona così:

«Ciascuna ricercatrice può arrivare in uno qualsiasi dei 60 minuti dell'ora, quindi ci sono $60 \cdot 60 = 3600$ coppie di minuti possibili. Perché si incontrino, la differenza tra i loro minuti di arrivo deve essere al massimo 10 minuti (cioè $-10, -9, \dots, 0, \dots, 9, 10$), il che dà 21 differenze possibili. Per la definizione classica di probabilità, la probabilità di incontrarsi è $21/3600 \approx 0,0058$».

1. a) Spiega in dettaglio i due errori concettuali commessi dallo studente: uno sulla natura dello spazio campionario (discreto vs. continuo) e l'altro sulla non equiprobabilità delle differenze di arrivo.
2. b) Modella il problema mediante la probabilità geometrica nella regione $[0, 60] \times [0, 60]$ del piano cartesiano, dove $x$ e $y$ rappresentano rispettivamente i minuti di arrivo di Alba e Beatrice. Imposta le disequazioni che delimitano la regione favorevole e calcola la probabilità esatta di incontro quando $k = 10\text{ minuti}$.
3. c) Problema inverso: se la direzione del centro richiede che la probabilità che le due ricercatrici si incontrino sia esattamente $7/16 = 0,4375$, calcola il valore esatto dei minuti $k$ che Beatrice deve impegnarsi ad aspettare Alba.

Una cooperativa agricola di Bari analizza il rischio primaverile di subire danni a causa di due fenomeni meteorologici incompatibili nello stesso giorno: una gelata tardiva ($H$) o un'ondata di caldo precoce ($C$). Si dispone di una serie storica con i dati degli ultimi 200 giorni primaverili equivalenti, in cui ci sono stati 16 giorni di gelata e 24 giorni di ondata di caldo.

Tre enti presentano relazioni con proposte diverse:

• Relazione 1: Assegna $P(H) = 16/200 = 0,08$ e $P(C) = 24/200 = 0,12$, giustificando che queste frequenze riflettono fedelmente la legge dei grandi numeri.

• Relazione 2: Sostiene che, poiché non ci sono state gelate nelle ultime tre primavere, la probabilità di gelata per la prossima primavera deve salire almeno a $0,25$, perché «la natura tende a compensare le anomalie a breve termine per mantenere la media storica».

• Relazione 3: Aggiusta le probabilità secondo proiezioni climatiche dinamiche e propone un grado di fiducia motivato: $P(H) = 0,05$, $P(C) = 0,35$ e probabilità che il clima sia mite (senza gelata né ondata di caldo) uguale a $0,60$.

1. a) Classifica l'interpretazione della probabilità utilizzata in ciascuna delle tre relazioni (classica, frequentista, soggettiva o fallace).
2. b) Confuta con argomenti matematici l'affermazione della Relazione 2: spiega la differenza fondamentale tra «compensazione» (fallacia del giocatore) e «diluizione» (legge dei grandi numeri) quando il numero di anni osservati tende a infinito.
3. c) Verifica se l'assegnazione della Relazione 3 è coerente con gli assiomi di Kolmogorov della probabilità. In caso affermativo, calcola a partire da essa la probabilità che si verifichi qualche evento climatico estremo ($H \cup C$) e giustifica se è legittimo utilizzare probabilità soggettive nel prendere decisioni quando le condizioni storiche cessano di essere stazionarie.